Suite look-and-say : quand une devinette devient chimie

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration.

Intervenant 20:08

Bonjour, ravie d'être là aussi pour plonger dans ce sujet.

Intervenant 10:11

Oui, parce que le sujet du jour est assez incroyable. Et pour commencer, j'aimerais qu'on s'imagine un instant en 1977. Ah oui,

Intervenant 20:19

une grande année.

Intervenant 10:19

C'est ça, on est à Belgrade, en Yougoslavie, et il y a les Olympiades internationales de mathématiques.

Intervenant 20:26

Les fameuses OIM.

Intervenant 10:27

C'est vraiment le rendez-vous des plus brillants esprits mathématiques de la planète.

Intervenant 20:31

Exactement.

Intervenant 10:32

Tous ces génies sont réunis. Et pourtant, ce qui circule dans les couloirs et qui rend littéralement fous tous ces chercheurs, ce n'est pas un problème complexe de géométrie ou, je ne sais pas, une conjecture indémontrable.

Intervenant 20:45

Non, pas du tout.

Intervenant 10:46

Non, c'est un jeu d'enfant. C'est une simple petite devinette avec quelques chiffres qui a été tirée de ce qui deviendra plus tard un article très célèbre, la suite aux doigts actifs.

Intervenant 20:56

Ouais, la fameuse suite.

Intervenant 10:58

Je vais vous la donner cette suite. Enfin, je vais la donner à nos auditeurs surtout. Le premier nombre, c'est 1. D'accord. Le deuxième, c'est 11. Ensuite, on a 21, puis 1211, suivi de 11121, et la dernière ligne de l'énoncé, c'est 312211. Et

Intervenant 21:21

la question, c'est de trouver la suite.

Intervenant 11:23

Voilà. La question enfantine. Quelle est la ligne suivante ?

Intervenant 21:28

C'est vraiment la parfaite entrée en matière. Parce que si cette suite a tellement frustré les mathématiciens présents à Belgrade à l'époque, c'est en fait parce qu'elle piège complètement notre cerveau.

Intervenant 11:39

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:40

Quand on a l'habitude des mathématiques classiques, on cherche des additions, on cherche des multiplications.

Intervenant 11:45

Ouais, des différences entre les termes, des suites géométriques.

Intervenant 21:48

Exactement. Mais la clé de cette énigme n'a absolument rien à rythmatique. C'est une règle linguistique en fait, purement visuelle.

Intervenant 11:56

D'accord.

Intervenant 21:56

C'est ce qu'on appelle le mécanisme du look-and-say, qui se traduit littéralement par « regarde et dis ».

Intervenant 12:01

Ok, donc si vous nous écoutez en ce moment, peut-être dans votre voiture ou dans les transports, essayez de visualiser cette première ligne avec nous. On part juste du chiffre 1. Oui. Comment est-ce que, juste par une règle linguistique, on passe à la deuxième ligne qui est 11 ?

Intervenant 22:16

C'est tout bête. Vous regardez la première ligne et vous décrivez ce que vous voyez.

Intervenant 12:19

À voix haute.

Intervenant 22:20

À voix haute, tout simplement. Vous voyez le chiffre 1. Et là, vous vous posez la question, combien y en a-t-il ?

Intervenant 12:27

Bah, y en a

Intervenant 22:28

1. Voilà. Donc vous dites 1. 1. Et si vous écrivez ce que vous venez de dire avec des chiffres, ça donne 1 1 suivi d'un 1. Donc 11. Ah

Intervenant 12:39

ouais, c'est tellement littéral que ça en devient contre-intuitif, en fait.

Intervenant 22:42

C'est souvent le cas avec ce genre de problème.

Intervenant 12:44

Donc pour la ligne suivante, je fais pareil. Je regarde ma ligne 11, je vois deux fois le chiffre 1, donc je dis à voix haute 2 1. Et du coup j'écris le chiffre 2, puis le chiffre 1, ce qui me donne 21.

Intervenant 22:59

C'est exactement ça. Et sur cette nouvelle ligne, le 21, qu'est-ce que vous lisez de gauche à droite ?

Intervenant 13:05

Euh, alors je vois un chiffre 2 suivi d'un chiffre 1, donc je dis 1 2 1 1.

Intervenant 23:11

Oui.

Intervenant 13:12

Et si j'écris ça en chiffres, c'est un 1 avec un 2 puis un 1 avec un 1. Donc 12 puis 11. Soit 12 11.

Intervenant 23:20

Et voilà, vous avez totalement compris le mécanisme.

Intervenant 13:23

D'accord. Alors, poussons la logique jusqu'à la fameuse ligne demandée par l'énigme de 1977. La dernière ligne qu'ils avaient, c'était 3-1-2-2-1-1.

Intervenant 23:34

Allez-y, je vous écoute.

Intervenant 13:35

Donc si je la lis rigoureusement de gauche à droite, je vois d'abord un 3, ensuite un 1, puis deux 2, et enfin deux 1. C'est ça. Donc en l'écrivant, j'obtiens 13-11-22-21. La ligne du mystère est donc 13-11-22-21.

Intervenant 23:53

Vous auriez fait fureur à Belgrade.

Intervenant 13:55

C'est

Intervenant 23:56

sûr. L'énigme est résolue.

Intervenant 13:58

Et pour la petite histoire, c'est très exactement cette astuce qui a fait s'arracher les cheveux à des milliers de lecteurs francophones en 1992. Ah

Intervenant 24:05

oui, dans le livre de Werber ?

Intervenant 14:06

Ouais, quand Bernard Werber l'a inséré dans son roman « Le jour des fourmis ».

Intervenant 24:10

Tout à fait.

Intervenant 14:10

Et en fait, la plupart des gens, une fois qu'ils ont trouvé la solution, ils l'ont prise pour une simple curiosité logique et ils sont passés à autre chose. Ce

Intervenant 24:18

qui est normal.

Intervenant 14:18

Oui, sauf que l'objectif de notre plongée d'aujourd'hui, c'est justement de montrer que ce petit jeu naïf, il cache un paysage mathématique d'une profondeur, mais vertigineuse.

Intervenant 24:29

Ah, ça oui.

Intervenant 14:30

Parce que, on est bien d'accord, une fois la devinette résolue, n'importe qui s'arrêterait là.

Intervenant 24:35

N'importe qui, oui. Mais pas un mathématicien de la trompe du britannique John Horton Conway.

Intervenant 14:40

Conway.

Intervenant 24:40

Quel personnage.

Intervenant 14:42

À l'époque, Conway est un esprit complètement bouillonnant à l'Université de Cambridge. Et lui, au lieu de s'arrêter au petit jeu de réflexion, il se pose une question très simple, mais fondamentale.

Intervenant 24:53

Laquelle ?

Intervenant 14:54

Il se dit, que se passe-t-il si l'on continue ce processus de lecture à l'infini ?