17 juil. 2018 · 18 min
Raisonner en maths : de l’intuition à la démonstration
Dans cet épisode audio, suivez le passage de l’intuition à la preuve, puis découvrez comment contraires, cas et récurrence organisent une démonstration.
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Intervenant 1
Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente.
Intervenant 2
Bonjour tout le monde.
Intervenant 1
Imaginez qu'une règle vous semble absolument parfaite. On la teste une fois, ça marche. On la teste dix fois, cent fois, ça fonctionne toujours.
Intervenant 2
Et là, notre cerveau est totalement convaincu d'avoir compris le schéma.
Intervenant 1
Exactement. Et pourtant, au cent-unième essai, sans prévenir, bim, tout s'effondre.
Intervenant 2
C'est la douche froide.
Intervenant 1
Ah ça oui. L'évidence était un piège, en fait. Et c'est pour ça qu'aujourd'hui, on plonge dans un article vraiment passionnant. Ça s'intitule « Raisonner, c'est résoudre ».
Intervenant 2
Un très bon article,
Intervenant 1
ouais. L'idée, c'est de décortiquer comment les mathématiques nous protègent de nos propres illusions. Parce que souvent, on voit les maths comme une application un peu aveugle de formules froides.
Intervenant 2
Alors que c'est tout l'inverse.
Intervenant 1
Voilà, c'est l'art d'organiser la pensée pour éviter l'anarchie intellectuelle en fait. Et j'aime bien utiliser une analogie pour commencer.
Intervenant 2
Je vous écoute.
Intervenant 1
On voit souvent les maths comme un bâtiment fini, un immense gratte-ciel en verre, impeccable, lisse. Mais aujourd'hui, on va plutôt visiter le chantier. On met les casques, on passe derrière les barrières et on va observer les bâtisseurs.
Intervenant 2
Ah, j'adore cette image du chantier. Ça me fait penser à Henri Poincaré en 1905. Le fameux
Intervenant 1
mathématicien ?
Intervenant 2
Tout à fait. Dans son livre « La valeur de la science », il disait en gros que la science se fait avec des faits, exactement comme une maison se fait avec des pierres.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Mais il ajoutait un truc crucial. Un tas de pierres jetées sur le sol, ce n'est pas une maison.
Intervenant 1
C'est juste un tas de cailloux, quoi.
Intervenant 2
Voilà. Il faut un architecte. Avant de couler le ciment de la logique pure, il faut d'abord trouver les bonnes pierres.
Intervenant 1
Mais justement, d'où elles viennent, ces premières pierres ? Parce qu'avant de noircir un tableau avec des équations de partout...
Intervenant 2
Il faut bien avoir l'idée de ce qu'on cherche.
Intervenant 1
C'est ça. Comment on sait dans quelle direction aller ?
Intervenant 2
Eh bien, ça commence dans ce que l'article appelle les raisonnements de l'ombre. Ouh,
Intervenant 1
ça sonne mystérieux,
Intervenant 2
ça. Un peu, oui. Ce sont toutes les étapes avant la vraie démonstration. Et la toute première, c'est l'induction.
Intervenant 1
C'est-à-dire faire des déductions ?
Intervenant 2
Pas exactement. L'induction, c'est partir de cas particuliers pour oser formuler une règle générale.
Intervenant 1
Un exemple peut-être ?
Intervenant 2
Bien sûr. On cherche tous les points dans l'espace depuis lesquels on peut regarder un segment sous un angle droit.
Intervenant 1
D'accord, on place un point au hasard qui respecte ça. Ouais.
Intervenant 2
Puis un deuxième, puis un troisième. Et là, en reculant un peu, on s'aperçoit que ces points ont l'air de dessiner un cercle parfait.
Intervenant 1
Ah ouais, je vois le genre.
Intervenant 2
On n'a encore absolument rien prouvé mathématiquement. Mais l'intuition est là. On a un suspect.
Intervenant 1
On repère un motif, en fait. Et on sait que le cerveau humain adore les motifs.
Intervenant 2
Oh que oui. Et parfois, cette intuition est beaucoup plus spectaculaire qu'un simple dessin. On entre alors dans le domaine de l'analogie.
Intervenant 1
L'analogie, genre comparer deux trucs qui n'ont rien à voir.
Intervenant 2
C'est ça. Et l'anecdote historique la plus célèbre, c'est encore Poincaré. Il bloquait sur des concepts géométriques ultra complexes.
Intervenant 1
Quel genre de concepts ?
Intervenant 2
Des trucs avec des noms barbares, comme les fonctions fuchsiennes.
Intervenant 1
Ah oui, effectivement, ça a l'air
Intervenant 2
sympa. Il pataugeait complètement. Et un jour, il fait une excursion et il s'apprête à monter dans un omnibus à Coutances.
Intervenant 1
Un vieux bus de l'époque quoi.
Intervenant 2
Voilà. Et au moment très précis où son pied touche la marche du bus, boum, l'évidence absolue.
Intervenant 1
Sans y penser ?
Intervenant 2
Totalement. Inconscient. Il réalise d'un coup que la mécanique de ses fonctions fuchsiennes, c'est exactement la même qu'une autre branche qui n'a rien à voir la géométrie non-nuclidienne.
Intervenant 1
C'est dingue. Deux univers mathématiques qui fusionnent sur la marche d'un bus.
Intervenant 2
En une fraction de seconde. Poincaré disait lui-même que sans ce genre d'intuition, on peut connaître toute la grammaire des mathématiques mais on n'aura jamais rien à dire.
Intervenant 1
Donc le cerveau fait un énorme saut dans le vide. Et dans l'article, il parle aussi de l'abduction.
Intervenant 2
Oui, l'abduction.
Intervenant 1
Si je résume bien, c'est quand on voit par exemple un triangle inscrit dans un demi-cercle.
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Et là, on se rappelle avoir vu un triangle qui ressemblait à ça et qui était rectangle.
Intervenant 2
C'est ça, on fait lien.
Intervenant 1
Et donc on déduit que celui qu'on regarde est sûrement rectangle lui aussi.
Intervenant 2
Mais attendez, c'est...
Intervenant 1
Risqué.
Intervenant 2
C'est complètement risqué. Formuler une hypothèse juste parce que ça y ressemble, dans la vraie vie, c'est un énorme biais cognitif. C'est du délit de sale gueule géométrique, presque.
Intervenant 1
Ah, je retiens l'expression délit de sale gueule géométrique, elle est excellente.
Intervenant 2
Mais ce n'est pas scientifique, du coup.
Intervenant 1
Ah, mais la réponse est claire, ce n'est absolument pas scientifique. Ces raisonnements de l'ombre, l'analogie, l'abdiction, ça ne garantit aucune vérité.
Intervenant 2
Ah, me voilà rassurée.
Intervenant 1
Ce sont juste des générateurs d'hypothèses, en fait. Ça nous donne la matière première.
Intervenant 2
Donc ce n'est pas comme un préjugé dans la vie de tous les jours ? Non, parce qu'en mathématiques, on est très conscient que ce n'est qu'une intuition, c'est juste le point de départ.
Intervenant 1
Il faut la tester après.
Intervenant 2
Obligatoirement. Une fois l'hypothèse posée, on doit la torturer pour voir si elle tient debout. Et c'est là qu'on sort de l'ombre pour passer aux gros œuvres.
Intervenant 1
On passe aux fondations du bâtiment.
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