Fractions continues : les étapes qui approchent √2

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration, le podcast du magazine Tangente. Alors, il suffit d'imaginer un instant devoir utiliser un smartphone ultramoderne, mais dont on aurait complètement retiré l'écran tactile.

Intervenant 20:15

Ah oui, le cauchemar !

Intervenant 10:16

Bah oui, pour naviguer, on serait forcé d'utiliser des vieux boutons mécaniques, des manivelles, des câbles, enfin tout ça juste pour envoyer un simple message. Difficile à concevoir aujourd'hui, non ?

Intervenant 20:27

C'est clair que ça paraît absurde.

Intervenant 10:29

Eh bien, faire des mathématiques sans notre bonne vieille virgule décimale, c'était un peu la même chose. Notre mission aujourd'hui, elle est vraiment vertigineuse. Nous allons découvrir le monde caché, l'architecture presque secrète qui se trouve juste derrière les nombres que l'on manipule tous les jours. Et tout ça en s'appuyant sur un article absolument fascinant qui s'intitule « Racines et fractions continues ».

Intervenant 20:53

Et c'est un excellent point de départ. Votre comparaison avec le smartphone, elle est cruciale ici.

Intervenant 10:58

N'est-ce pas ? Parce que la virgule, c'est un outil qu'on utilise quotidiennement sans même y penser.

Intervenant 21:03

Exactement. Elle est partout. Dans le moindre calcul financier, en architecture, en science.

Intervenant 11:08

Sur nos tickets de caisse.

Intervenant 21:10

Voilà. Elle est tellement intégrée à notre réalité qu'on en oublie presque qu'il fut un temps, à l'échelle de l'histoire humaine je veux dire, où cette technologie n'existait tout simplement pas.

Intervenant 11:18

C'est fou de dire que c'est une technologie, mais c'est

Intervenant 21:21

vrai. C'est une invention, au même titre que la roue ou l'imprimerie. L'écriture décimale, avec sa virgule, ses dixièmes, ses centièmes, c'est relativement récent. Ça a des racines chez les mathématiciens arabes, bien sûr, mais c'est véritablement le flamand Simon Stévin qui l'a popularisé. Simon Stévin, donc. Au XVIe siècle, c'est ça. C'est ça, entre 1548 et 1620. Il a formalisé tout ça de manière indépendante en Europe. Parce qu'à voir lui, l'idée même d'aligner des chiffres derrière un séparateur pour indiquer des morceaux de l'unité… Des

Intervenant 11:53

fractions de 1, quoi.

Intervenant 21:54

Voilà, ça n'était pas du tout un standard. Mais dès que Stéphane l'a introduite, la méthode était tellement puissante qu'elle est devenue incontournable. Aujourd'hui, on ne peut pas envisager la science sans ça. Ce

Intervenant 12:04

qui m'amène directement à une question qui me taraude depuis que j'ai lu l'article. Comment ils faisaient avant ? Je veux dire, les astronomes, les architectes, les marchands, avant Simon Stéphane ?

Intervenant 22:15

Eh bien...

Intervenant 12:16

Si on retire la virgule, comment on note des valeurs hyper précises qui ne tombent pas juste ? On ne pouvait quand même pas tout arrondir au chiffre supérieur à chaque fois ?

Intervenant 22:23

Bien sûr que non. La précision a toujours été vitale, surtout en astronomie. Avant le règne de la virgule, on fonctionnait presque exclusivement avec l'écriture fractionnaire.

Intervenant 12:32

D'accord, les fractions classiques.

Intervenant 22:34

Oui, mais selon les époques, ça prenait des formes qui franchement nous paraîtraient aujourd'hui d'une complexité folle. Prenons les Égyptiens de l'Antiquité.

Intervenant 12:41

Oh, j'adore l'Égypte antique !

Intervenant 22:43

Eh bien, leurs mathématiciens refusaient catégoriquement d'utiliser des fractions avec un numérateur supérieur à 1, sauf quelques très rares exceptions.

Intervenant 12:51

Attendez, quoi ? Ils n'utilisaient que des fractions avec un 1 en haut ?

Intervenant 22:54

C'est ça, le numérateur unitaire. Donc, si on prend un nombre que nous, on écrirait simplement

Intervenant 13:01

2,75… Bah, 2,75, c'est deux et trois quarts !

Intervenant 23:04

Pour nous, oui. Mais pour eux, on ne peut pas écrire trois quarts, puisqu'il y a un 3 en haut.

Intervenant 13:09

Ah oui, mince. Donc il faisait comment ?

Intervenant 23:11

Il devait décomposer. Le nombre 2,75, ça devenait l'entier 2, auquel on ajoute un demi, moins...

Intervenant 13:18

D'accord, ça fait 2,50.

Intervenant 23:20

Voilà. Auquel on ajoute encore un quart.

Intervenant 13:25

C'est une véritable gymnastique mentale. Pour un nombre simple, ça passe, mais j'imagine pas pour des gros calculs.

Intervenant 23:31

C'était laborieux, oui. Additionner des dizaines de fractions différentes comme ça, c'était un travail de titan. Mais cette logique a perduré super longtemps. Pratiquement jusqu'au XVIe siècle.

Intervenant 13:42

Les fractions, c'est génial pour des proportions simples, pour diviser un champ ou couper un gâteau. Mais parce qu'il y a un grand MAIS, il y a un obstacle majeur. Les fractions, ça marche pour les nombres rationnels, ceux qui acceptent de se plier au jeu de la division entre deux entiers. Mais pour les autres,

Intervenant 24:00

Ah, les fameux nombres rebelles !

Intervenant 14:02

Voilà, les irrationnels. Ceux qui, par définition, refusent obstinément d'entrer dans ce moule parfait. Un nombre irrationnel, ça ne s'écrit jamais sous la forme d'une simple fraction. Donc, sans virgule et sans fraction classique, comment ils faisaient ?

Intervenant 24:16

C'est là que l'histoire bascule vraiment. Ce casse-tête a forcé l'esprit humain à inventer l'une des structures mathématiques les plus élégantes du monde, les fractions continues.

Intervenant 14:26

Les fractions continues, le grand mot est lâché.

Intervenant 24:28

C'est une architecture vertigineuse, ça permet de représenter n'importe quel nombre. Le mécanisme fondamental, ça repose sur un truc très ancien, le fameux algorithme d'Euclide.

Intervenant 14:38

Ok, ça me dit quelque chose.

Intervenant 24:40

L'idée, c'est de représenter un nombre sous la forme d'une cascade, une descente de fractions imbriquées les unes dans les autres.

Intervenant 14:46

Imbriquées.

Intervenant 24:47

Aux entiers, pures.

Intervenant 14:49

Euh, j'essaie de visualiser... Bon, décortiquons tout ça. C'est un peu comme des poupées russes, non ? Les matrioshkas en bois.

Intervenant 24:55

C'est une excellente métaphore.

Intervenant 14:57

Genre on part d'un nombre, on l'ouvre, et dedans on trouve un entier avec une petite fraction, on regarde sous cette fraction et bim, un autre nombre entier avec une autre fraction encore plus petite qui elle-même contient un autre entier

Intervenant 25:11

et une autre fraction. C'est exactement ça, une descente dans les profondeurs de la page.

Intervenant 15:17

C'est vertigineux.

Intervenant 25:18

Chaque nouvelle poupée affine la description du nombre. Pour bien comprendre, rien ne vaut un bon exemple pratique tiré de l'article de Tangente. Prenons le nombre rationnel 47 sur 6. Ok, 47

Intervenant 15:28

sur 6, je suis prête.

Intervenant 25:31

Par le nombre.