Groupes mathématiques : 60 ans pour fixer leurs règles

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue à toutes les personnes qui nous écoutent dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:05

Salut tout le monde ! Très contente d'être là pour cette nouvelle plongée mathématique.

Intervenant 10:10

Et moi, je suis vraiment ravi de lancer cette exploration. Alors, imaginez un peu la scène. On est à Paris en 1832. Une

Intervenant 20:18

année assez mouvementée, oui.

Intervenant 10:19

C'est le moins qu'on puisse dire. Un jeune homme d'à peine 20 ans, évariste gallois, passe la nuit entière, vraiment une nuit blanche fébrile, à griffonner des équations sur du papier.

Intervenant 20:29

La fameuse nuit de Gallois.

Intervenant 10:31

Exactement. Il sait qu'il va participer à un duel au pistolet le lendemain matin. Un duel auquel, spoiler, il ne survivra pas. C'est tragique. Tragique, oui, et super romantique d'un point de vue historique. Sauf que dans ces brouillons nocturnes, il y a le code source d'une révolution mathématique. L'introduction d'un concept fondamental qu'il baptise groupe.

Intervenant 20:52

Et c'est là que la vraie histoire commence en fait.

Intervenant 10:54

Voilà.

Intervenant 20:55

Le véritable mystère, l'intrigue qui nous réunit aujourd'hui pour cette analyse en profondeur, c'est pas la mort de Galois.

Intervenant 11:02

C'est le silence hallucinant qui a suivi. Un silence de plusieurs décennies, oui. Une véritable course de relais à travers toute l'Europe qui a duré plus de 60 ans, simplement pour réussir à définir ce qu'il avait inventé. Bon, on va décortiquer tout ça.

Intervenant 21:15

Ce qui est fascinant ici, c'est que cette focalisation sur la nuit précédant le duel, ça masque souvent la réalité du processus scientifique.

Intervenant 11:22

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:23

L'éclair de génie n'est pas apparu de nulle part.

Intervenant 11:25

Pas du

Intervenant 21:26

tout. Ça ne s'est pas produit dans un vide absolu. Avant lui, des figures tutélaires comme Joseph-Louis Lagrange ou Augustin Loucauchy.

Intervenant 11:34

Des pointures quoi.

Intervenant 21:35

Des immenses pointures. Ils manipulaient déjà ce qu'on nommait des groupes de substitution.

Intervenant 11:40

Alors, pour les personnes qui nous écoutent, les substitutions, c'est quoi exactement ?

Intervenant 21:44

Pour faire simple, c'est les différentes manières de mélanger ou de permuter un ensemble fini d'objets.

Intervenant 11:50

D'accord, comme mélanger un jeu de cartes, par exemple.

Intervenant 21:52

Exactement. Et l'intuition géniale de Galois, ça a été de donner un nom à cette structure sous-jacente. Il a posé le mot « groupe ».

Intervenant 12:00

Sauf qu'il ne l'a pas défini rigoureusement, c'est ça ?

Intervenant 22:03

C'est tout le problème. Il n'a pas donné de définition indépendante des objets qu'il permutait.

Intervenant 12:08

Et donc notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre pourquoi une idée aussi brillante a mis un demi-siècle à atterrir.

Intervenant 22:14

Un demi-siècle, oui, c'est énorme pour une idée aussi capitale.

Intervenant 12:17

Surtout que c'est devenu un pilier de la physique quantique et de la cryptographie moderne.

Intervenant 22:21

Et il a fallu l'effort des esprits les plus aiguisés de France, de Grande-Bretagne, de Norvège, d'Allemagne, juste pour se mettre d'accord sur une définition formelle.

Intervenant 12:29

C'est dingue. Du coup, la première question qui s'impose, elle est chronologique. Galois meurt en 1832, on est d'accord.

Intervenant 22:37

Oui.

Intervenant 12:37

Mais la machinerie ne se met pas en marche. Il y a genre une décennie entière de vide total. Pourquoi ?

Intervenant 22:43

La raison de ce silence tient à la nature même des manuscrits. C'était des textes d'une densité, d'une densité effroyable.

Intervenant 12:51

J'imagine écrit dans l'urgence de la mort.

Intervenant 22:53

Totalement. Avec des sauts logiques immenses. Les mathématiciens de l'époque qui ont jeté un œil à ces brouillons, ils les ont trouvés tout bonnement impénétrables.

Intervenant 13:02

Et donc hop, au tiroir.

Intervenant 23:03

Voilà, l'étincelle s'est éteinte. La Renaissance n'intervient qu'en 1843. Grâce à Joseph

Intervenant 13:08

Jouvier,

Intervenant 23:10

c'est ça ? C'est ça. Il entreprend un travail d'archéologie mathématique colossal. Il décortique les textes, il reconstitue les démonstrations manquantes.

Intervenant 13:18

Un vrai travail de fourmi.

Intervenant 23:20

Complètement. Et il parvient enfin à publier une version intelligible des travaux de Galois en 1846 dans le journal de mathématiques pure et appliquée.

Intervenant 13:29

Attends, parce que la chronologie de cette publication, elle révèle un détail super troublant.

Intervenant 23:34

Tu penses à Cauchy.

Intervenant 13:35

Évidemment !

Intervenant 23:36

La parution officielle par Liouville, c'est en 1846. Or, Augustin-Louis Cauchy, qui avait mis ses propres travaux sur pause depuis 1815,

Intervenant 13:45

Depuis presque 30 ans, oui.

Intervenant 23:46

Eh bien soudainement, en 1845, un an avant Liouville, il se remet à publier frénétiquement sur ce sujet précis.

Intervenant 13:53

C'est vrai que c'est curieux. Curieux. Moi je dis, on peut carrément susponner une fuite. Ou au moins des discussions de couloirs qui vont remis Cauchy sur la piste.

Intervenant 24:01

Ah, les historiens débattent encore de ce point précis. Mais ce qui est indiscutable, c'est l'impact massif de la publication de Cauchy en 1845. Qu'est-ce

Intervenant 14:10

qu'il trouve d'aussi énorme ?

Intervenant 24:12

Ils livrent un mémoire sur les arrangements et les permutations. Et au cœur de ce texte monumental, ils démontrent un mécanisme profond, qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Cauchy.

Intervenant 14:21

Et ça dit quoi concrètement ?

Intervenant 24:23

Ça prouve que si l'on prend un groupe fini, et que la taille totale de ce groupe, son ordre en fait, est divisible par un nombre premier.

Intervenant 14:30

Ok, on suit.

Intervenant 24:31

Alors il existe obligatoirement, à l'intérieur de ce groupe, un élément spécifique. Et si on répète cet élément un nombre de fois égal à ce nombre premier, on ramène le système à son état d'origine.

Intervenant 14:42

C'est un peu abstrait dit comme ça. Pour rendre cette mécanique palpable, prenons un objet que tout le monde connaît, le Rubik's Cube.