Pourquoi le nombre d’or du pentagone est-il irrationnel ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente pour une nouvelle plongée fascinante dans nos sources du jour. Aujourd'hui, on va parler de perfection géométrique. Enfin, plutôt de l'effondrement de cette perfection. Bonjour

Intervenant 20:13

Sam. Oui, c'est une histoire qui ressemble presque à un thriller mathématique de l'Antiquité en fait.

Intervenant 10:18

C'est ça. On va explorer l'irrationalité du nombre d'or, le fameux nombre phi, et comment une simple figure géométrique a complètement fait trembler la vision du monde de toute une époque.

Intervenant 20:28

Complètement. Parce que pour comprendre ce bouleversement, il faut d'abord se mettre dans la tête des pythagoriciens.

Intervenant 10:34

Les fameux mathématiciens grecs.

Intervenant 20:36

Exactement. Et eux, ils avaient un dogme vraiment absolu, une croyance fondamentale. Tout est nombre entier.

Intervenant 10:42

Ok.

Intervenant 20:42

Pour eux, absolument chaque aspect de la nature devait s'exprimer par des fractions très simples, tu vois. Des rapports nets entre deux nombres entiers.

Intervenant 10:51

En fait, si on prend une analogie un peu moderne, c'est un peu comme concevoir un univers en résolution 8 bits.

Intervenant 20:56

Ah oui, c'est une très bonne image.

Intervenant 10:58

Genre chaque chose, chaque élément doit obligatoirement être un bloc entier, parfait pour exister sur la grille. Il n'y a pas de place pour les demi-mesures.

Intervenant 21:06

Voilà. Sauf que le symbole suprême de cette secte, la signature même de leur recherche de perfection, c'était le pentagramme.

Intervenant 11:15

L'étoile à cinq branches.

Intervenant 21:16

C'est ça. Celle qu'on trace en reliant les sommets d'un pentagone régulier. Et le souci, c'est que toute l'harmonie de ce pentacle repose sur une proportion bien précise.

Intervenant 11:27

Le nombre d'or.

Intervenant 21:28

Exactement.

Intervenant 11:29

Et c'est là que notre pixel refuse de s'aligner sur la grille 8 bits, du coup, Découvrir que ce nombre est irrationnel, c'est réaliser qu'il est impossible de l'écrire sous la forme d'une simple fraction.

Intervenant 21:40

C'est un vrai choc philosophique pour eux.

Intervenant 11:42

Mais attends, ce qui m'intrigue surtout dans nos sources, c'est comment ils l'ont prouvé en fait ? Comment on passe de cette crise à une vraie preuve géométrique sans sortir des équations impossibles ?

Intervenant 21:52

Avec une redoutable démonstration par l'absurde, on va utiliser la géométrie pure.

Intervenant 11:57

Bon, décortiquons un peu tout ça.

Intervenant 21:59

On va simplement jouer le jeu des pythagoriciens. On imagine un grand pentagone régulier, rouge.

Intervenant 12:05

Ok, je le visualise.

Intervenant 22:06

On trace l'étoile à l'intérieur. Le nombre d’or, c'est tout simplement le rapport entre la longueur d'une diagonale de l'étoile et le côté extérieur du pentagone. Leur

Intervenant 12:15

théorie tient la route.

Intervenant 22:16

Voilà. On dit que ce rapport Φ s'écrit comme une fraction de deux nombres entiers.

Intervenant 12:22

Disons A pour la diagonale et B pour le côté. Des nombres parfaits, sans virgule.

Intervenant 22:27

Tout à fait. Et l'astuce visuelle, elle se passe au centre de l'étoile. Quand on trace toutes les diagonales, les lignes se croisent fatalement. Et ces intersections, elles dessinent naturellement un nouveau pentagone régulier en plein milieu de l'étoile, mais la tête en bas.

Intervenant 12:43

Attends vraiment, l'espace vide au milieu forme un pentagone miniature ?

Intervenant 22:47

Exactement, avec cinq côtés de même longueur. Et la mécanique géniale ici, c'est que la longueur du côté de ce petit pentagone correspond très exactement à la différence entre notre grande diagonale A et notre grand côté B de départ.

Intervenant 13:03

Ah, je vois la logique. Et comme on a supposé au début que A et B étaient des nombres entiers, si on soustrait un entier d'un autre entier, on obtient forcément un entier.

Intervenant 23:14

C'est ça, le piège se referme. Ce nouveau petit pentagone a donc des côtés entiers. Et puisqu'il est régulier, la proportion entre sa propre diagonale et son propre côté…

Intervenant 13:25

Ça donne toujours le nombre d'or. C'est ça. Mais du coup, c'est un peu le principe des poupées russes, non ?

Intervenant 23:30

C'est exactement ça. Dans ce nouveau petit pentagone central, tu peux retracer une nouvelle étoile. Ce

Intervenant 13:36

qui va créer un troisième pentagone encore plus petit au centre.

Intervenant 23:39

Avec des côtés mesurables en entier. Puis un quatrième, un cinquième.

Intervenant 13:42

Mais c'est une boucle infinie.

Intervenant 23:44

Voilà, des entiers de plus en plus petits répétés jusqu'à l'infini.

Intervenant 13:48

Sauf que mathématiquement, ce n'est pas possible. On ne peut pas descendre indéfiniment vers le bas avec des nombres entiers positifs. On finirait par tomber sous zéro, ce qui n'a aucun sens pour des longueurs.

Intervenant 23:58

Et le coup près trombe. S'il est impossible d'avoir cette suite infinie, c'est que notre hypothèse de départ était complètement fausse. Le nombre d'or ne s'exprime pas par des entiers. Il est irrationnel.

Intervenant 14:11

Oh waouh ! C'est brillant ! Ce qui est fascinant ici, c'est de voir qu'un simple raisonnement géométrique élémentaire suffit à faire s'effondrer tout leur système de pensée.

Intervenant 24:20

Ben oui, ça laisse une pensée finale assez vertigineuse. Sachant que ce pentagramme, c'était vraiment l'emblème sacré des pythagoriciens, n'est-ce pas ? D'une ironie tragique d'un « ou ».

Intervenant 14:30

Oh que oui. Se dire que la figure géométrique censée représenter l'apogée voire perfection contenait en fait gravé en son sein même la preuve mathématique irréfutable qui détruisait toute leur vision du monde. Le fameux pixel impossible à aligner sur la grille était finalement caché là, au plein centre de leur croyance depuis le tout début.