16 oct. 2023 · 6 min
Pourquoi le losange relie-t-il rectangle, Penrose et Hex ?
Dans cet épisode audio, suivez trois étapes : la dualité avec le rectangle, les pavages de Penrose puis le plateau du jeu de Hex.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va parler d'une figure qui a l'air super banale, le losange.
Intervenant 2
Ouais, on prend un simple carré, on appuie un peu sur un côté pour le déformer et paf, on a un losange. Ça paraît tout bête.
Intervenant 1
Exactement. Mais notre mission aujourd'hui, en se plongeant dans l'article bref de losange, c'est de montrer que ce n'est pas juste une figure d'école primaire.
Intervenant 2
Ah non, pas du tout. Cette géométrie d'apparence élémentaire, elle permet carrément de relier des prix Nobel et même la théorie des jeux.
Intervenant 1
C'est fou. Alors pour commencer, on va aborder un truc assez troublant, la dualité géométrique. Le losange a une sorte de double inversé.
Intervenant 2
Oui, le rectangle. Et pour bien comprendre, on peut utiliser un miroir linguistique.
Intervenant 1
À miroir linguistique, c'est-à-dire que si on prend la définition du rectangle et qu'on remplace juste le mot côté par le mot angle.
Intervenant 2
Et le mot longueur par le mot mesure, oui. Si on fait ça, on décrit exactement les propriétés du losange. C'est quand même assez dingue.
Intervenant 1
Donc le rectangle a des côtés opposés de même longueur, ce qui donne le losange a des angles opposés de même mesure.
Intervenant 2
Voilà, c'est de la mécanique spatiale pure. Et l'inversion, elle va encore plus loin. Le rectangle, il s'inscrit parfaitement dans un cercle.
Intervenant 1
Ce qui veut dire que le centre de ce cercle est à égale distance des quatre sommets du rectangle.
Intervenant 2
C'est ça. Et si on applique notre fameuse dualité, le losange fait l'inverse. Il possède un cercle inscrit à l'intérieur de lui-même.
Intervenant 1
Ah oui, donc son centre est à égale distance de ses quatre côtés.
Intervenant 2
Exactement. Et le seul quadrilatère qui réussit la prouesse d'être à la fois rectangle et losange, c'est le carré. Il est son propre dual.
Intervenant 1
C'est marrant parce que ça me fait direct penser à la géométrie projective. Tu sais, cette règle où on échange simplement les mots point et droite pour obtenir de nouveaux théorèmes. C'est la même chose, non ?
Intervenant 2
Alors attention, c'est un piège classique, il faut être rigoureux là-dessus. La géométrie projective, c'est purement une question d'incidence, du genre deux points font une droite.
Intervenant 1
Deux droites se coupent en un point, oui je vois.
Intervenant 2
Voilà, mais notre miroir linguistique avec le losange, on reste en géométrie euclidienne. On parle de métrique, de distance vraiment palpable.
Intervenant 1
Ok, donc c'est vraiment une symétrie intime entre les longueurs et les ouvertures.
Intervenant 2
Oui, c'est très spécifique au quadrilatère.
Intervenant 1
D'accord, alors maintenant si on prend ce losange isolé ? Et qu'on essaye d'en recouvrir tout un plan. On bascule carrément vers l'infini.
Intervenant 2
Ce qui nous amène au fameux pavage de Penrose. Surtout ceux qu'on appelle de type P3.
Intervenant 1
Les pavages de Penrose. C'est ceux qui n'utilisent que deux tuiles en forme de losange, c'est ça ?
Intervenant 2
C'est ça. Un losange assez fin, avec un angle de 36 degrés. Et un autre plus large, de 72 degrés. Des proportions dictées par le nombre d'or d'ailleurs.
Intervenant 1
Mais là, il y a un problème de logique. Parce que paver un plan, par définition, c'est prendre un motif et le faire glisser par translation.
Intervenant 2
C'est ce qu'on fait avec du carrelage classique,
Intervenant 1
oui. Le motif finit obligatoirement par se répéter à l'identique. Donc comment c'est possible de paver l'infini sans répétition périodique ?
Intervenant 2
C'est là le génie de Roger Penrose dans les années 70. Ces losanges, ils ne s'assemblent pas librement.
Intervenant 1
Il y a des contraintes.
Intervenant 2
C'est ça, il faut s'imaginer des petites encoches virtuelles sur leurs bords. Ça impose des règles d'assemblage strictes qui forcent certaines combinaisons et en interdisent d'autres.
Intervenant 1
Cette contrainte locale empêche mathématiquement le motif global de subir une translation.
Intervenant 2
Exactement ! On obtient un pavage infini, mais totalement apériodique. Et c'est cette prouesse qui lui a valu le prix Nobel de chimie en 2020.
Intervenant 1
C'est fou qu'un réseau de losanges amène à un Nobel. Et ça dépasse même les maths pures, ça a permis de comprendre l'organisation de la matière.
Intervenant 2
Ah bah complètement ! Jusqu'en 82, on pensait que les atomes dans les solides ne s'organisaient que de manière périodique.
Intervenant 1
Comme des cristaux normaux.
Intervenant 2
Voilà. Quand Dan Schechtman a découvert un alliage avec une structure ordonnée mais non répétitive...
Intervenant 1
On a cru à une erreur de sa part, non ?
Intervenant 2
Au début, oui. Il a fallu le modèle de Penrose pour comprendre ses quasi-crystaux. Ce qui a valu à Schechtman le Nobel de chimie en 2011.
Intervenant 1
Donc, des réseaux de losange modélisent carrément les atomes. Mais si on décide de se déplacer sur ces réseaux, on quitte la chimie pour atterrir sur un plateau de jeu.
Intervenant 2
Le jeu de Hex, précisément. Créé par le physicien Pete Hine en 42, puis réinventé par John Nash. Faut visualiser un grand plateau en forme de losange, de 8 cases sur 8 en général.
Intervenant 1
Et le maillage à l'intérieur est hexagonal.
Intervenant 2
C'est ça. Chaque case touche 6 voisines. Deux joueurs posent un pion à tour de rôle, et le but c'est de relier deux bords opposés de leur couleur.
Intervenant 1
La topologie de ce plateau impose une règle vraiment fascinante, le match nul est strictement impossible.
Intervenant 2
Aucune partie nulle, oui.
Intervenant 1
Mais comment la géométrie peut-elle interdire l'égalité ?
Intervenant 2
C'est dû à la nature même du pavage. Sur ce réseau, t'as aucun moyen de bloquer l'adversaire sans construire ton propre chemin.
Intervenant 1
Donc chaque pion posé pour barrer la route devient une brique pour mon propre pont.
Intervenant 2
C'est exactement ça ! Topologiquement, si le chemin du premier joueur est définitivement coupé, ça implique que le second a réussi à joindre ces deux bords.
Intervenant 1
La structure dicte donc obligatoirement un vainqueur. Quel voyage conceptuel pour nos auditeurs. On est parti d'une petite inversion de vocabulaire avec le rectangle. On a modélisé des atomes dans des quasi-cristaux.
Intervenant 2
Pour atterrir sur l'impossibilité géométrique du match nul au jeu de Hex, oui. C'est la preuve que les figures toutes simples cachent des architectures d'une complexité infinie.
Intervenant 1
Ce qui nous amène à une petite réflexion finale pour nos auditeurs. Si l'on sait de façon absolue que ce losange du jeu de Hex ne permet aucune partie nulle, est-ce que cela signifie mathématiquement qu'il existe forcément une stratégie gagnante absolue pour le premier joueur à poser son pion ?
Intervenant 2
Ah, une idée implacable à méditer.
Intervenant 1
Pensez-y la prochaine fois que vous tracerez un simple carré penché. A très vite.
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