Pavages de Penrose : comment deux tuiles excluent la translation

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et c'est un immense plaisir de retrouver toutes les personnes qui nous écoutent aujourd'hui. Imaginez un instant la scène. On décerne le prix Nobel de physique à un chercheur pour avoir percé les mystères les plus insondables de la cosmologie, ses travaux vertigineux sur les trous noirs, enfin bref, la trame même de l'univers. Et pourtant, le grand public le connaît d'abord et avant tout pour un motif de carrelage de salle de bain. C'est ça le paradoxe incroyable de Cyr-Roger Penrose.

Intervenant 20:29

Ah oui, c'est un contraste assez saisissant. Mais pour assurer tout de suite ceux qui nous écoutent, l'objectif de notre décryptage d'aujourd'hui, ce n'est pas de proposer un tutoriel de décoration d'intérieur.

Intervenant 10:38

Heureusement, parce que je suis très mauvaise bricoleuse.

Intervenant 20:40

Pareil pour moi. Non, en fait, on va plonger au cœur de ce qu'on appelle les pavages de Penrose. L'idée, c'est vraiment de comprendre comment une réflexion qui paraît anodine, la façon de recouvrir une surface plane avec des morceaux de géométrie, a pu complètement bouleverser notre compréhension intime de la symétrie. C'est un voyage qui commence par un problème super abstrait sur un coin de table et qui aboutit à des découvertes tellement fondamentales sur la matière qu'elles ont été couronnées par un autre prix Nobel en chimie cette fois-ci.

Intervenant 11:11

C'est fou, c'est fascinant de voir la théorie mathématique anticipée et la réalité physique avec autant de précision. Mais avant de plonger dans le monde étrange de Penrose, je pense qu'il faut qu'on pose les bases.

Intervenant 21:21

Tout à fait.

Intervenant 11:22

Quand on parle de pavage, on imagine tout de suite les mosaïques de l'Antiquité ou simplement le sol d'une cuisine. Mathématiquement parlant, quelles sont les règles du jeu pour paver un plan infini ?

Intervenant 21:34

Alors, les règles de base, elles sont très strictes. Pour recouvrir mathématiquement un plan, il faut utiliser des tuiles qui sont parfaitement jointives. Ça veut dire qu'il ne doit y avoir aucun chevauchement entre elles et absolument aucun espace vide ou, disons, aucun trou.

Intervenant 11:50

Ok, d'accord.

Intervenant 21:51

Il y a aussi une condition vraiment essentielle, c'est que chaque tuile doit avoir une aire strictement positive. Ce qui signifie qu'on travaille avec des objets tangibles.

Intervenant 11:59

Donc on ne peut pas tricher en utilisant des tuiles microscopiques, infiniment petites, juste pour boucher des trous récalcitrants.

Intervenant 22:06

Voilà, exactement. Parce que si l'air pouvait tendre vers zéro, on basculerait dans un univers de fractales, ce qui est une toute autre géométrie. Ici, on manipule vraiment de vrais polygones. Et historiquement, l'humanité a toujours privilégié ce qu'on appelle la périodicité.

Intervenant 12:21

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:22

Un pavage périodique, c'est un motif de base qui va se reproduire indéfiniment à l'identique. Si on prend ce motif et qu'on le décale d'une certaine distance vers la droite ou vers le haut par une translation, le dessin global reste strictement inchangé.

Intervenant 12:37

Ah, c'est le principe du papier-pas en fait. Et j'imagine que les mathématiciens ont dû lister toutes les manières possibles de faire ce genre de motifs répétitifs.

Intervenant 22:45

Ah ben bien sûr ! Ce travail de titan, il a été achevé en 1891 par le cristallographe russe Evgraf Fedorov. Il a prouvé qu'il existe exactement 17 manières, ou groupes d'isométrie, pour générer absolument tous les pavages périodiques possibles sur un plan.

Intervenant 13:02

17 ! Pas une de plus !

Intervenant 23:04

C'est ça, pas une de plus. Et à l'intérieur de ces groupes, la géométrie impose une dictature redoutable.

Intervenant 13:11

Dictature géométrique ? Qu'est-ce que vous entendez par là ?

Intervenant 23:14

Eh bien, si on s'interdit de retourner les tuiles, imaginez qu'elles ont une face décorée et un dos en ciment par exemple, les possibilités s'effondrent à seulement cinq groupes. On ne peut utiliser que des translations et des rotations très précises.

Intervenant 13:28

Du genre ?

Intervenant 23:29

Des angles de 60, 90, 120 ou 180 degrés. En fait, c'est une question de pure mécanique spatiale. Autour d'un point de jonction, la somme des angles des tuiles, elle doit faire exactement 360 degrés pour ne laisser aucun vide.

Intervenant 13:43

Ah oui logique, pour faire un tour complet.

Intervenant 23:45

Exactement. Et les seuls polygones réguliers capables de faire ça sans tricher, c'est le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier.

Intervenant 13:54

D'accord. Donc si on essaye avec d'autres formes régulières, mettons des pentagones à cinq côtés, ça coince, ça va forcément laisser des espaces.

Intervenant 24:01

C'est tout à fait ça.

Intervenant 14:02

Mais tout ça, c'est l'univers de l'ordre parfait, de la répétition infinie. Moi, ce qui m'intéresse, c'est comment on fait pour briser cette régularité ? Est-ce qu'on peut paver un plan infini avec des formes qui refusent catégoriquement de se répéter en boucle ?

Intervenant 24:14

C'est là qu'on entre vraiment dans le vif du sujet. Alors oui, on peut obtenir des pavages qu'on qualifie de non périodiques de manière assez simple en fait.

Intervenant 14:22

Ah bon ? Comment ?

Intervenant 24:23

Imaginez des tuiles rectangulaires, un peu comme des lattes de parquet, mais dont la longueur varie selon une séquence imprévisible, par exemple en suivant les décimales du nombre pi.

Intervenant 14:33

Ah brillant !

Intervenant 24:34

N'est-ce pas ? Sur la longueur, le motif ne se répète jamais. Mais attention, sur la largeur, on garde des lignes bien parallèles, donc il y a encore une certaine régularité. Ce qui a vraiment obsédé les chercheurs au milieu du XXe siècle, c'est la périodicité pure et dure.

Intervenant 14:51

C'est-à-dire un pavage où il n'y a absolument aucune ligne directrice, aucune translation possible pour retrouver le motif de départ.