Compter des points pour trouver l’aire : le théorème de Pick

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis hyper contente de vous embarquer aujourd'hui parce qu'on a un sujet vraiment exceptionnel.

Intervenant 20:08

Ah oui, très, très enthousiasmant, clairement.

Intervenant 10:11

Pour commencer, on va faire un petit saut dans le temps. On part à Prague en 1910. La fameuse

Intervenant 20:15

arrivée d'Einstein.

Intervenant 10:17

Exactement. Albert Einstein débarque pour prendre son nouveau poste à l'université. Et là, la petite histoire raconte que l'homme qui l'accueille et qui surtout va l'initier à la géométrie différentielle, un truc indispensable pour sa relativité générale plus tard, c'est un certain Georges Pick.

Intervenant 20:35

Ouais, un mathématicien austro-hongrois, un vrai passionné. Le genre de chercheur, tu vois, qui a une exigence théorique folle, mais qui est aussi super dévoué à la pédagogie.

Intervenant 10:43

Et c'est justement ce monsieur Pick qui nous intéresse aujourd'hui. Parce qu'en 1899, il a pondu un théorème, mais alors un théorème d'une simplicité tellement choquante que ça ressemble presque à une anomalie à cette époque.

Intervenant 20:56

C'est vrai. C'est presque trop simple pour être vrai.

Intervenant 10:59

Notre mission du jour, à travers un super article intitulé « Pick, un théorème inspirant », ça va être de décortiquer cette fameuse formule. Et on va voir comment une petite équation de calcul d'air, toute bête en apparence, cache en fait des couches de génie absolues.

Intervenant 21:12

C'est ça l'esthétique des mathématiques en fait. Et ça ravira tout le monde. Des novices aux experts, j'en suis sûr.

Intervenant 11:18

Alors pour bien comprendre le problème géométrique de base, on va demander à ceux qui nous écoutent de faire un petit effort d'imagination. On va planter le décor mentalement.

Intervenant 21:25

Ouais, l'image de la planche, elle est parfaite pour ça.

Intervenant 11:28

Bah oui, imaginez une immense planche de bois. Et sur cette planche, on a planté des clous, mais à des intervalles hyper réguliers. Ça fait un quadrillage parfait, genre une feuille de papier millimétré géante. Et à chaque croisement de ligne, paf, il y a un clou.

Intervenant 21:42

Un réseau régulier dans le jargon mathématique.

Intervenant 11:44

Voilà. Et l'étape d'après, c'est de prendre un très long élastique et on vient le tendre autour de certains de ses clous de façon à délimiter une surface.

Intervenant 21:52

Attention, une surface fermée précise bien l'article. L'élastique ne doit pas se croiser lui-même.

Intervenant 11:57

Ouais, pas de nœud papillon. L'élastique, il forme un polygone. Ça peut être un petit carré tout simple ou alors une forme complètement dingue, asymétrique, une sorte d'amibe toute tordue, du moment que les coins, donc les sommets, s'accrochent bien sur nos clous.

Intervenant 22:10

C'est la seule contrainte. Les sommets sont sur les nœuds du quadrillage.

Intervenant 12:13

Et la question qui tue, elle est là. Comment on fait pour calculer l'air exact à l'intérieur de cet élastique sans jamais, au grand jamais, sortir une règle pour mesurer une base ou une hauteur ?

Intervenant 22:25

Et c'est un vrai défi. Parce que d'habitude, en géométrie classique, face à une forme biscornue, on sort les ciseaux virtuels.

Intervenant 12:31

On découpe, c'est ça ?

Intervenant 22:32

Exactement. On fragmente la forme en plein de petits rectangles ou en triangles rectangles. Après, on sort les formules de Trigaud bien lourdes. On calcule chaque petit morceau. On additionne tout. Bref, c'est vite l'enfer. C'est super fastidieux.

Intervenant 12:43

Et c'est là que Georges Pick, il arrive avec son idée de génie. Il dit qu'on n'a pas du tout besoin de mesurer des distances. L'air, elle est déjà codée dans le quadrillage. Il suffit de compter.

Intervenant 22:53

De compter les clous, ouais. C'est bluffant.

Intervenant 12:56

Et attention, pas besoin de tout les compter. Il y a juste deux variables à retenir. Tu peux nous expliquer ça, Sam ?

Intervenant 23:02

Bien sûr. Le premier truc à compter, c'est ce que l'article appelle le grand I. C'est l'initial de intérieur. En gros, ce sont tous les clous qui sont pris au piège à l'intérieur de l'élastique.

Intervenant 13:14

Ok, donc grand I, c'est le recensement des clous enfermés. Très simple. Et le deuxième truc ?

Intervenant 23:19

C'est le grand B pour bord. Donc là, on compte tous les clous qui sont physiquement touchés par l'élastique sur tout le tour, y compris les sondes B, bien sûr.

Intervenant 13:28

C'est tout ?

Intervenant 23:29

C'est tout. T'as le nombre I, t'as le nombre B, et Pick, il te sort sa formule magique, l'air total S, c'est égal à la moitié de B plus I moins 1.

Intervenant 13:40

Attends, je répète pour que ce soit bien clair. On prend les points du bord. On divise par deux. On ajoute les points à l'intérieur.

Intervenant 23:47

Et on fait moins 1.

Intervenant 13:48

Voilà. B sur 2 plus I moins 1. C'est vertigineux de simplicité. Mais est-ce qu'on peut vérifier ça avec un exemple tout bête ? Genre un simple rectangle ?

Intervenant 23:59

On peut totalement mentaliser le truc, ouais. Imagine un petit rectangle posé droit sur la grille. Ses côtés suivent bien les lignes des clous.

Intervenant 14:06

D'accord. Donc je compte les clous sur le bord de mon rectangle. Ça me donne le périmètre en termes de points.

Intervenant 24:12

Exactement. Ça, c'est ton B. Et ensuite, tu comptes les clous qui sont vraiment strictement à l'intérieur du rectangle. Ça, c'est ton I.

Intervenant 14:19

Et si on fait l'exercice avec la formule classique de l'air, genre longueur fois largeur, l'algèbre de base montre que tous les termes superflus s'annulent. La division par deux du bord et le fameux moins un, ça rééquilibre tout.

Intervenant 24:35

Et on retombe pile poil sur le bon résultat. La surface est exacte.

Intervenant 14:39

Ok, pour un rectangle droit, c'est super intuitif, je valide. Mais là où j'ai un doute, c'est pour les formes horribles. Tu sais, avec des angles super aigus, des creux partout. Comment on peut être sûr à 100% que cette petite règle de comptage reste infaillible ?

Intervenant 24:54

C'est toute la magie de l'article, justement. L'auteur ne se contente pas de nous donner la formule. Il nous prouve que ça marche dans tous les cas. Et pas qu'une seule fois. Il donne trois démonstrations différentes.

Intervenant 15:05

Trois preuves. Et la progression entre ces preuves, c'est ce que je trouve génial. C'est une vraie leçon d'ouverture d'esprit. On commence par la première.

Intervenant 25:13

Allez. La première méthode, c'est ce qu'on appelle l'additivité.