Dissection parfaite du carré : l’enquête électrique de Trinity

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Quel immense plaisir d'entamer cette nouvelle plongée au cœur de nos sources pour une exploration mathématique qui s'annonce franchement vertigineuse. Ah ça, vertigineuse,

Intervenant 20:13

c'est vraiment le mot. Bonjour.

Intervenant 10:16

Aujourd'hui, on va parler d'un truc qui, en apparence, semble super simple. Imaginons un instant un grand carré vierge dessiné sur une feuille de papier. La mission, c'est de le découper entièrement en plusieurs petits carrés.

Intervenant 20:30

Jusque-là, rien de bien méchant. On trace une grille de mots-croissés classiques, quelques lignes horizontales et verticales, et c'est plié.

Intervenant 10:37

Exactement. On obtient 9, 16 ou 25 petits carrés parfaitement identiques. L'affaire est résolue. Mais, et c'est là que ça se corse, ajoutons une seule et unique contrainte. Pour réussir ce défi, aucun de ces petits carrés ne doit avoir la même taille qu'un autre. Pas un seul doublon n'est autorisé.

Intervenant 20:57

Et là, paf, le cerveau bloque. C'est le cauchemar géométrique assuré.

Intervenant 11:01

Totalement. Ce puzzle d'apparence si inoffensive a tout simplement rendu fous les plus brillants cerveaux du XXe siècle. On va décortiquer aujourd'hui comment cette quête a fait plier des génies, comment quatre étudiants ont utilisé l'électricité pour pirater la géométrie, et comment cette petite énigme abstraite est devenue l'architecture secrète de nos smartphones modernes.

Intervenant 21:21

C'est vraiment une histoire incroyable. Et il faut savoir que ce casse-tête porte un nom très précis en mathématiques. C'est la quadrature parfaite du carré.

Intervenant 11:29

La quadrature parfaite.

Intervenant 21:30

Voilà. Et le terme « parfait » est lourd de sens ici. Il dicte cette fameuse règle implacable de l'unicité dont tu parlais. Si on trouve deux carrés de la même dimension dans le découpage, c'est raté.

Intervenant 11:43

Retour à la case départ, quoi.

Intervenant 21:45

C'est ça. On parle aussi d'ordre pour mesurer la complexité de la figure. Un carré parfait d'ordre 10, par exemple, ça signifierait qu'on a réussi à paver notre grand carré avec exactement 10 petits carrés de tailles toutes différentes.

Intervenant 11:59

Et imbriqués les uns dans les autres sans laisser le moindre vide.

Intervenant 22:02

Absolument. Et sans que rien ne dépasse des bordures.

Intervenant 12:06

Alors pour comprendre l'ampleur du blocage que cela représentait à l'époque, il faut remonter dans les années 1930, avec une figure quasi mythologique des mathématiques, Paul Erdős.

Intervenant 22:17

Un véritable monument. En 1934, Erdős, qui est un esprit nomade et incroyablement prolifique, est de passage à l'université

Intervenant 12:25

de Cambridge. Il

Intervenant 22:27

va se pencher sur ce petit puzzle avec toute l'assurance de son génie. Il ne se contente pas de dire « c'est difficile ». Il pose deux conjectures qui résonnent un peu comme des sentences définitives.

Intervenant 12:37

Bon, décortiquons tout ça. Quelles sont ces sentences ?

Intervenant 22:40

R2 affirme, de façon très catégorique, que toute dissection d'un carré en un nombre fini de carrés plus petits comportera toujours, inévitablement, au moins deux carrés de la même taille.

Intervenant 12:51

Donc pour lui, la quadrature parfaite n'existe tout simplement pas. C'est impossible.

Intervenant 22:56

Impossible. Et il va même un cran plus loin avec sa deuxième conjecture. Il soutient que parmi ces carrés de même taille qui apparaîtront forcément, il y en aura au moins deux qui seront contraints de se toucher, d'être en contact par un de leurs bords.

Intervenant 13:08

Ah oui, il enfonce vraiment le clou. Essayons de visualiser concrètement pourquoi notre cerveau, et celui d'Herdeuse d'ailleurs, arrive à cette conclusion.

Intervenant 23:16

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 13:18

Si on imagine un artisan qui doit carreler un mur de salle de bain parfaitement carré. Sa contrainte, c'est de piocher dans des boîtes contenant des carreaux qui sont tous de dimensions différentes.

Intervenant 23:29

Le pauvre artisan, on lui facilite pas la tâche.

Intervenant 13:33

Donc, il pose un immense carreau dans le coin en bas à gauche. Ensuite, il place un carreau moyen juste à côté. Entre les deux, au-dessus, il se crée un vide en forme de L inversé ou de petit rectangle.

Intervenant 23:45

Oui, forcément, vu que les hauteurs ne sont pas les mêmes.

Intervenant 13:47

Exactement. Et pour combler cet espace avec des carrés, il va devoir utiliser des carreaux de plus en plus minuscules. Très rapidement, l'artisan se retrouve avec des petites tranchées rectangulaires impossibles à combler avec un carré unique.

Intervenant 24:00

Ce qui l'oblige, de fait, à utiliser deux carrés identiques côte à côte pour finir sa ligne.

Intervenant 14:05

C'est ça. Mais pourquoi un esprit aussi affûté qu'Ardoz pensait-il que cette impossibilité tenait d'une loi inébranlable de la nature ?

Intervenant 24:15

Ce qui est fascinant ici, c'est que le blocage vient d'un conflit profond entre deux concepts. La symétrie et l'asymétrie.

Intervenant 14:22

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:24

Le carré est la figure géométrique symétrique par excellence. Ses quatre côtés sont égaux, ses angles sont identiques. Erdos pensait, guidé par son intuition, qu'on ne pouvait pas générer une telle perfection symétrique globale en n'utilisant que de l'asymétrie locale.

Intervenant 14:38

En n'utilisant que des pièces tout traditionnellement différentes, en fait.

Intervenant 24:41

Voilà. Pour lui, la structure même du carré exigeait une forme de répétition interne. L'esthétique mathématique suggérait que l'hétérogénéité totale ne pouvait pas s'emboîter de manière finie pour former un tout parfaitement régulier.

Intervenant 14:55

Mais l'intuition, même chez les plus grands, ça peut être un piège redoutable.

Intervenant 24:59

Et cette déclaration d'impossibilité d'Erdos ne va pas clore le débat. Bien au contraire, elle va agir comme un appel à la rébellion pour un petit groupe d'étudiants du Trinity College de Cambridge.

Intervenant 15:11

La fameuse bande des quatre. Cédric Smith, Leonard Brooks, Arthur Stone et William Toot.

Intervenant 25:17

Oui, quatre jeunes passionnés. Et ce qui est savoureux dans cette histoire, c'est qu'ils prennent ça pour un simple défi récréatif au départ, un petit puzzle pour s'occuper l'esprit. Mais ils vont s'y acharner pendant des années.

Intervenant 15:29

Et avec une méthode redoutable, non ?

Intervenant 25:32

Très méthodique, oui. Il ne fonce pas tête baissée contre le carré parfait, qui est un mur géométrique bien trop rigide. Il décide de relâcher un tout petit peu la pression.

Intervenant 15:41

Il triche un peu quoi ?

Intervenant 25:42

Disons qu'il contourne l'obstacle. Au lieu de chercher à construire un grand carré, il se demande d'abord s'il est possible de disséquer un grand rectangle en petits carrés tous différents. C'est une forme légèrement plus malléable. On appelle ça des rectangles carrés.

Intervenant 15:57

C'est une porte d'entrée super intéressante.