Mesurer le réel : pourquoi un nombre ne suffit pas

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Je suis absolument ravie de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui. On s'attaque à un article vraiment vertigineux qui s'intitule « Nombreux et mesures ».

Intervenant 20:13

Bonjour à tout le monde. C'est un sujet fascinant, oui. Une vraie plongée dans les coulisses de la science.

Intervenant 10:18

Ah mais totalement ! On a souvent cette illusion de penser que les mathématiques abstraites, avec leur formule parfaite, et la réalité physique brute de notre monde, c'est la même chose. Mais l'article pose une thèse choc dès les premières lignes.

Intervenant 20:32

Exactement. L'idée maîtresse, et c'est le fil rouge de toute cette histoire, c'est qu'une mesure physique, ce n'est jamais juste un chiffre jeté en l'air, c'est toujours un nombre marié à une unité.

Intervenant 10:43

Et confondre les deux, c'est la catastrophe, assurée.

Intervenant 20:46

C'est une erreur conceptuelle colossale. Prendre le nombre pur pour la réalité qu'il est censé décrire, ça amène à des absurdités.

Intervenant 10:53

Et c'est exactement ce qu'on va décortiquer. Parce que cette petite ligne de démarcation entre le concept abstrait et la règle en métal qu'on tient dans la main, elle nous manipule au quotidien sans qu'on s'en rende compte.

Intervenant 21:05

Oh que oui ! C'est une frontière qui a carrément provoqué des crises d'angoisse chez les géomètres antiques.

Intervenant 11:10

Des vraies crises existentielles même. Et aujourd'hui encore, ça manipule notre perception du chaud, du froid ou du bruit avec les décibels. Ça va même jusqu'à définir de manière hyper arbitraire des normes de société très lourdes.

Intervenant 21:23

Des normes comme la définition officielle de l'obésité ou la manière dont on calcule la richesse d'un pays tout entier.

Intervenant 11:29

Alors, pour bien piger cette différence fondamentale entre un petit nombre qui flotte dans les terres et une grandeur physique bien réelle, il faut faire un petit saut dans le temps. Direction la Grèce antique.

Intervenant 21:41

Une époque merveilleuse où la géométrie régnait vraiment en maître absolu sur toutes les autres sciences.

Intervenant 11:46

Et pour se mettre à leur place, il faut faire un vrai effort mental. Leur vision des choses exige un saut conceptuel de notre part. À l'époque, on distinguait de manière extrêmement stricte le concept de nombre et le concept de grandeur.

Intervenant 22:00

C'était deux mondes étanches. Un nombre, pour un penseur antique, c'était exclusivement un nombre entier. Un, deux, trois, quatre, et ainsi de suite.

Intervenant 12:07

C'était l'outil du discret, en somme.

Intervenant 22:09

Voilà, ça servait à compter des objets bien séparés. Des moutons dans un pré, des amphores de vin, des pièces de monnaie. On pointe du doigt, on compte.

Intervenant 12:16

D'accord, mais alors une grandeur, c'était quoi par opposition ?

Intervenant 22:20

C'était tout le reste. C'était le vaste monde du continu. Une longueur de corde, la surface d'un champ de blé ou le volume d'eau dans une cruche.

Intervenant 12:30

Ben oui, on ne peut pas pointer un bout d'eau du doigt et dire 1, 2, 3. Ça n'a pas de sens.

Intervenant 22:35

Exactement. Et c'est là qu'intervient le génie de figures monumentales comme Eudox de Cnid et Euclide. Ils ont dû inventer de toutes pièces une théorie pour réussir à comparer ces grandeurs continues.

Intervenant 12:47

C'est la fameuse théorie de la commensurabilité. Le mot fait un peu peur comme ça, mais l'idée physique derrière est magnifique.

Intervenant 22:55

Elle est très élégante. Si on prend deux grandeurs, disons deux bâtons de bois de longueurs différentes, on cherche un moyen de les lier.

Intervenant 13:03

Et on dit qu'ils sont commensurables si on arrive à trouver une toute petite unité de mesure commune, un troisième petit bâton en fait, c'est ça ?

Intervenant 23:10

C'est ça, un petit étalon universel. Il faut que ce petit bâton rentre un nombre entier de fois dans le premier grand bâton et un autre nombre entier de fois dans le second.

Intervenant 13:20

Mathématiquement parlant, si on reporte ce petit étalon, disons N fois, d'un côté pour faire coïncider avec la seconde grandeur reportée P fois, et bien le tour est joué.

Intervenant 23:31

Le problème est résolu. Mais ce qui se cache derrière cette mécanique très visuelle de report successif, c'est tout simplement la notion de fraction, le fameux rapport N sur P.

Intervenant 13:42

Sauf que, et c'est un détail historique facilement, à cette époque-là, une fraction n'était absolument pas considérée comme un nombre.

Intervenant 23:50

Absolument pas. Aujourd'hui, on manipule un trois-quarts ou un cinq-demis comme si c'était des entités indépendantes. Mais pour les Graks, c'était uniquement perçu comme une relation.

Intervenant 13:59

Un pont physique entre deux grandeurs réelles.

Intervenant 24:02

Voilà, une simple comparaison. La fraction n'avait aucune existence propre en dehors de la géométrie pure.

Intervenant 14:08

Et c'est justement là que le drame éclate. C'est l'histoire de la diagonale du carré, le scandale absolu chez les pythagoriciens.

Intervenant 24:15

Le grand traumatisme géométrique, oui. Il faut se rappeler que les pythagoriciens avaient construit toute une cosmologie, toute une philosophie sur l'idée que l'univers était régi par des rapports de nombres entiers.

Intervenant 14:25

La musique, le mouvement des astres, tout devait s'emboîter parfaitement.

Intervenant 24:29

Et puis, quelqu'un s'est penché sur un carré. Imaginons un carré dont le côté vaut exactement un mètre. C'est la forme la plus basique. La plus pure

Intervenant 14:36

possible.

Intervenant 24:37

On trace sa diagonale. Et là, ils ont cherché, avec un acharnement désespéré, cette fameuse petite unité commune qui rentrerait un nombre exact de fois dans le côté et un nombre exact de fois dans la diagonale.

Intervenant 14:49

Et la démonstration implacable est tombée.

Intervenant 24:51

C'est mathématiquement impossible. La diagonale est incommensurable avec son côté.

Intervenant 14:56

Mais c'est vertigineux quand on y pense. C'est comme si on tentait de carreler une pièce avec des carreaux de faïence absolument parfaits et de découvrir soudainement que la diagonale de la pièce refuse absolument de s'aligner avec les carreaux.

Intervenant 25:10

C'est une excellente image.

Intervenant 15:12

C'est une rébellion pure et simple de la matière et de la géométrie contre l'arithmétique. Les lois de l'univers interdisent que ça rentre juste.

Intervenant 25:19

L'analogie du carrelage illustre parfaitement le désespoir qu'ils ont pu ressentir. Cette impossibilité absolue, c'est ce qui a donné naissance au fameux nombre irrationnel avec l'apparition de la racine carrée de 2.

Intervenant 15:30

Le grain de sable géant dans la machine céleste. L'idée que la matière elle-même refuse la perfection des nombres entiers, ça devait être terrifiant.

Intervenant 25:38

C'était une vraie crise dogmatique. Mais cette volonté d'encadrer l'incommensurable, de le cerner par la géométrie, c'était d'une profondeur inouïe.

Intervenant 15:47

Ah ça, ça préfigurait carrément la construction moderne des nombres réels, des millénaires en avance !

Intervenant 25:53

Complètement ! Il a fallu attendre les années 1860, en Allemagne, pour que Karl Weierstrass et ses élèves réussissent enfin à formaliser algébriquement ce que les Grecs avaient touché du doigt.

Intervenant 16:05

Des millénaires pour régler mathématiquement le problème du carrelage. Alors que, de manière très pragmatique, dans le monde physique de tous les jours, on s'en accommode très bien, non ?

Intervenant 26:14

Bien sûr, cette fameuse racine de 2 qui vaut environ 1,414 avec une infinité de décimales qui ne se répètent jamais. On n'en a pas besoin pour construire une maison.

Intervenant 16:25

Oui, si un charpentier doit couper une poutre en diagonale, il multiplie 5 mètres par la racine de 2 et il obtient à peu près 7,07 mètres. Le coup de crayon un peu épais suffit.

Intervenant 26:38

Le monde physique tolère l'imprécision.