Euclide, mathématicien : des listes finies pour penser l’infini

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un véritable plaisir d'accueillir notre auditoire pour notre exploration du jour. Aujourd'hui, on va plonger dans une suite mathématique qui commence de façon extrêmement sage, très prévisible.

Intervenant 20:14

Oui, un peu trop sage même.

Intervenant 10:15

C'est ça, logique. On a 2, puis 3, ensuite 7, puis 43, et là ?

Intervenant 20:21

Et là, c'est le drame.

Intervenant 10:22

Voilà, la mécanique s'enraye complètement. Sans aucune raison apparente, la suite tombe brutalement à 13, ensuite elle rebondit à 53, elle s'effondre à nouveau sur un minuscule 5 avant de…

Intervenant 20:34

Avant d'exploser vers un chiffre délirant, genre plus de 6 millions quoi.

Intervenant 10:40

Plus de 6 millions, oui. Exactement, 6 221 671. Et le plus fou dans tout ça, pour ceux qui nous écoutent, c'est que cette séquence totalement chaotique qui donne encore des sueurs froides aux mathématiciens aujourd'hui, eh bien, elle a été programmée de façon totalement involontaire il y a plus de 2300 ans.

Intervenant 20:58

C'est fou quand on y pense, ça.

Intervenant 11:00

Ah, je suis ravie que tu dises ça, parce que oui, son créateur n'est autre qu'Euclide, le célèbre géomètre de la Grèce antique, qui essayait en fait simplement de résoudre un problème terrifiant pour l'époque, à savoir comment manipuler l'idée d'infini sans détruire toute la logique mathématique de son

Intervenant 21:17

temps. C'est vraiment toute l'ironie de l'histoire des sciences en fait. On regarde souvent les mathématiques comme un édifice très froid, intemporel, tu sais, un truc un peu détaché des émotions humaines.

Intervenant 11:27

C'est vrai que de l'extérieur, on voit juste des équations au tableau.

Intervenant 21:31

Exactement. Mais quand on se plonge vraiment dans les textes d'origine, on réalise que les démonstrations portent les cicatrices des grandes angoisses philosophiques de leur époque.

Intervenant 11:40

Des angoisses, carrément ?

Intervenant 21:42

Totalement. Dans l'Antiquité, l'infini, ce n'est pas juste un symbole en forme de huit couchers sur un carnet. C'est un concept qui retourne l'esprit, un truc qui génère des paradoxes insolubles.

Intervenant 11:54

Et pourtant, l'arithmétique finit par forcer un peu les mathématiciens à regarder ce gouffre en face.

Intervenant 21:59

C'est exactement ça. Ils ne pouvaient pas l'ignorer éternellement.

Intervenant 12:02

Surtout que l'arithmétique, la science des nombres entiers, elle permet de faire l'autruche pendant un bon moment.

Intervenant 22:07

Ah, ça, c'est

Intervenant 12:08

sûr. Oui, si on étudie juste l'addition, par exemple, on reste dans un périmètre très confortable. Pour prouver que, je ne sais pas, paires plus paires, ça donne toujours paires,

Intervenant 22:17

On n'a absolument pas besoin d'invoquer l'infini.

Intervenant 12:20

Voilà, on manipule des concepts fermés, rassurants, mais dès qu'on creuse la structure même de ces nombres, là on réveille le monstre.

Intervenant 22:27

Et le monstre, il se réveille précisément quand on touche aux nombres premiers.

Intervenant 12:31

Le fameux problème des nombres premiers.

Intervenant 22:33

Oui. On rappelle au passage pour notre auditoire qu'un nombre premier, c'est un nombre entier, strictement supérieur à 1 et qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Intervenant 12:43

C'est la base, oui.

Intervenant 22:44

C'est une liste qui démarre très simplement 2, 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite. Mais au fur et à mesure que les Grecs raffinent le mathématique, cette fameuse liste devient le problème central.

Intervenant 12:56

Pour bien visualiser l'enjeu quand on écoute ceci, imaginons que tous les nombres entiers qu'on manipule au quotidien soient de la matière, des sortes de molécules complexes.

Intervenant 23:06

C'est une très bonne image.

Intervenant 13:07

Et dans cette comparaison, les nombres premiers, ce seraient les atomes. C'est la brique fondamentale de tout le reste.

Intervenant 23:13

Absolument n'importe quel nombre entier peut être disloqué, décomposé jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'une simple multiplication de nombres premiers.

Intervenant 13:21

Par exemple, si on prend 15, c'est 3 x 5.

Intervenant 23:25

C'est ça. Les nombres 3 et 5, ce sont les atomes. Et la multiplication, c'est la liaison chimique qui les maintient ensemble, en quelque sorte.

Intervenant 13:33

Donc on a notre tableau périodique des éléments mathématiques.

Intervenant 23:36

La métaphore chimique, elle fonctionne super bien. Mais elle illustre aussi la grosse rupture entre le monde physique et le monde abstrait des nombres.

Intervenant 13:45

C'est-à-dire ?

Intervenant 23:46

Les chimistes travaillent avec un tableau périodique qui contient une bonne centaine d'éléments. C'est vaste, mais c'est fini. On peut physiquement en faire le tour.

Intervenant 13:54

Alors qu'en arithmétique ?

Intervenant 23:56

En arithmétique, cette réserve d'atomes, cette réserve de nombres premiers, elle ne s'épuise littéralement jamais. Et c'est là le cœur du problème d'Euclide.

Intervenant 14:04

Dans son œuvre, les éléments rédigés vers 300 avant notre ère.

Intervenant 24:08

Oeuvre qui, soit dit en passant, contient bien plus d'arithmétique que de géométrie.

Intervenant 14:12

C'est vrai qu'on l'oublie souvent. Et donc il veut prouver formellement qu'on ne sera jamais à court de ses nombres premiers, de ses atomes.

Intervenant 24:20

Voilà. Sauf que prouver qu'une liste est infinie, à une époque où l'infini est perçu comme une aberration logique, c'est un sacré casse-tête.

Intervenant 14:29

D'ailleurs, là-dessus, j'aimerais qu'on clarifie une chose. On lit souvent un peu partout que Clyde s'imposait une sorte de tableau lexical. Est-ce qu'il s'interdisait purement et simplement de prononcer ou d'écrire le mot « infini » par superstition ?

Intervenant 24:43

Alors ça, c'est un mythe tenace qu'il faut vraiment dissiper tout de suite. Donc c'est faux.

Intervenant 14:48

Complètement faux.

Intervenant 24:49

Le mot en lui-même n'était pas du tout banni, ce n'était pas une espèce d'incantation maléfique. Il l'utilisait. Mais alors, qu'est-ce qui le dérangeait tant ?