Congruences : pourquoi les nombres tournent comme une horloge

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bienvenue à toutes et à tous pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 20:06

Bonjour à tous.

Intervenant 10:07

Et on a un programme plutôt chargé aujourd'hui, je crois.

Intervenant 20:11

Absolument. Parce qu'en ce moment même, la sécurité des transactions bancaires mondiales, le chiffrement des messages, toute cette immense infrastructure invisible repose sur une astuce mathématique formulée il y a près de 400 ans.

Intervenant 10:25

Ouais, par un juriste gascon en plus. C'est quand même assez fou.

Intervenant 20:28

C'est totalement fou. Et le plus fascinant dans cette histoire, c'est que cette sécurité, elle ne repose pas du tout sur des calculs d'une précision absolue. En fait, elle s'appuie entièrement sur des restes.

Intervenant 10:39

Les reliquats, oui.

Intervenant 20:40

Ce qu'on a plutôt l'habitude de jeter ou d'ignorer une fois qu'on a terminé un calcul.

Intervenant 10:44

Exactement. Donc aujourd'hui, on plonge au cœur de la portion congrue, ce que les mathématiciens appellent l'arithmétique modulaire.

Intervenant 20:52

Et c'est un point de départ qui est parfait, je trouve. C'est vraiment l'un de ces domaines des mathématiques qui montre qu'un tout petit changement de perspective peut débloquer des univers entiers.

Intervenant 11:00

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:01

Pendant des millénaires, la division euclidienne, celle qu'on apprend tous à l'école primaire, elle a consisté à trouver un quotient exact.

Intervenant 11:08

Genre combien de fois le nombre A rentre dans le nombre B, quoi.

Intervenant 21:12

Voilà, c'est ça. Mais l'arithmétique modulaire propose de faire exactement l'inverse. On se désintéresse complètement du quotient, du résultat principal, pour se focaliser uniquement sur ce qu'il reste.

Intervenant 11:22

C'est une mathématique des cycles en fait, des boucles plutôt que des lignes droites.

Intervenant 21:27

C'est exactement ça.

Intervenant 11:28

Et pour bien saisir cette notion de boucle, il suffit de regarder l'objet le plus commun à notre quotidien, une horloge à aiguilles.

Intervenant 21:36

Ah oui, l'exemple classique.

Intervenant 11:37

Bah oui, parce qu'on pratique tous cette arithmétique sans même s'en rendre compte. Quand il est 10 heures du matin et qu'on fixe un rendez-vous 4 heures plus tard, on dit pas qu'on se voit à 14 heures sur le cadran. L'aiguille, elle indique 2 heures.

Intervenant 21:49

Ouais, le cadran traditionnel est divisé en 12 heures. La différence entre 14 et 2, c'est 12.

Intervenant 11:55

Donc, un tour complet.

Intervenant 21:56

C'est ça. Si l'on divise 14 par 12, on a un tour complet d'horloge et il reste 2. On dit alors que 14 et 2 ont le même reste dans la division, pas 12.

Intervenant 12:05

C'est hyper visuel.

Intervenant 22:07

Et conceptuellement, c'est très puissant. À chaque fois qu'on atteint le nombre 12, hop, on efface l'ardoise. 12 équivaut à 0 et on recommence un homocycle.

Intervenant 12:15

Moi, j'aime bien l'image des coureurs sur une piste d'athlétisme circulaire.

Intervenant 22:18

Ah oui, c'est une bonne analogie.

Intervenant 12:20

Si on s'intéresse uniquement à leur position sur la piste à un instant T, on s'en moque totalement de savoir s'ils ont fait un tour, 10 tours ou 50 tours.

Intervenant 22:27

Oui, les tours complets, c'est le quotient, on les ignore complètement.

Intervenant 12:31

La seule info pertinente, c'est la distance parcourue depuis la ligne de départ lors de leur tout dernier tour inachevé. Et ça, c'est notre fameux reste.

Intervenant 22:39

L'analogie de la piste, elle fonctionne parfaitement. Et ce qui est remarquable, c'est que cette géométrie circulaire, elle déborde largement du cadre de l'horloge. Les musiciens, par exemple, ils naviguent là-dedans en permanence.

Intervenant 12:49

Ah, tu penses à la gamme chromatique ?

Intervenant 22:51

Ouais. La musique occidentale standard est bâtie sur la gamme chromatique tempérée, qui divise l'octave en 12 demi-tons égaux. 12 exactement comme les heures de notre montre.

Intervenant 12:59

Donc si je pars d'un Do et que je monte de demi-ton en demi-ton, je passe par le Do dièse, le Ré, le Mi et ainsi de suite. Et au bout de 12 étapes,

Intervenant 23:08

tu retombes sur un Do.

Intervenant 13:09

Le cycle recommence, juste un peu plus aigu.

Intervenant 23:11

C'est ça. Et ça a des conséquences très concrètes. Prends un violoniste qui doit jouer avec une clarinette en La.

Intervenant 13:17

D'accord.

Intervenant 23:18

Le violon, c'est un instrument qui ne transpose pas. Le musicien lie un Do sur la partition, il joue un Do. Mais la clarinette en La, elle produit un son décalé par rapport à ce qui est écrit.

Intervenant 13:28

Donc pour que le violoniste s'accorde et joue la même mélodie, il doit ajuster sa lecture ?

Intervenant 23:33

Exactement, en temps réel, il doit baisser chaque note de trois demi-tons. Et ce que fait son cerveau à ce moment-là, c'est une véritable soustraction modulo 12.

Intervenant 13:42

Donc s'il est sur la note qui correspond à la position 2 du cadran musical, et qu'il recule de trois cases, il tombe pas dans des nombres négatifs bizarres ?

Intervenant 23:51

Non, il recule à 1, puis à 0, et il boucle par l'autre côté pour arriver sur la position 11.

Intervenant 13:56

L'espace musical est vraiment replié sur lui-même, en fait.

Intervenant 23:59

Totalement. Mais ça ne sert pas qu'à la transposition. Représentons nos douze notes en cercle, de 0 à 11. Si un compositeur décide d'utiliser uniquement les notes sur des nombres pairs, genre 0, 2, 4, 6, 8, 10.

Intervenant 14:13

D'accord. Il sélectionne une note sur deux.

Intervenant 24:15

Voilà. Eh bien, il crée un sous-ensemble fermé pour l'addition modulo 12. Si on additionne la position de deux notes pairs, le résultat sera forcément pair.

Intervenant 14:23

Ce qui veut dire qu'on reste piégé à l'intérieur de ce groupe de notes. On ne peut pas en sortir.

Intervenant 24:27

Et ce piège harmonique, c'est la fameuse gamme par ton. Elle a été rendue très célèbre par Claude Debussy.

Intervenant 14:33

Ah, c'est ça qui donne à sa musique ce côté très onirique, un peu flottant et…

Intervenant 24:38

Exactement. Le fait de ne pas avoir de notes impaires, ça brise nos repères habituels de résolution musicale. La sensation qu'on a en écoutant du Debussy, elle vient directement de cette propriété stricte de l'arithmétique modulo 12.

Intervenant 14:51

C'est fascinant. Mais bon, on voit bien que le nombre 12 est très présent. Sauf que la vraie puissance des mathématiques, c'est l'abstraction.

Intervenant 24:58

Oui, on n'est pas obligé de rester sur 12.