Tchoukaillon : une seule stratégie gagnante, graine après graine

Intervenant 10:00

Le podcast du magazine Tangente. Bienvenue à toutes et à tous dans cette nouvelle exploration au cœur de la réflexion et des mathématiques. Bonjour

Intervenant 20:08

tout le monde.

Intervenant 10:09

Alors aujourd'hui, on va faire un petit exercice mental pour commencer. Imaginez creuser une rangée de petits trous dans la terre. Un

Intervenant 20:16

truc très simple quoi.

Intervenant 10:17

Voilà. On y répartit quelques cailloux. On les déplace un par un en suivant une règle presque infantile en fait. C'est une routine mécanique super relaxante.

Intervenant 20:27

C'est le principe des jeux de semailles traditionnels.

Intervenant 10:29

Exactement. Mais maintenant, imaginez qu'on pousse ce petit manège à une échelle gigantesque, jusqu'à l'infini carrément, et que la disposition optimale de ces cailloux finisse par dessiner dans le sable la constante la plus célèbre de l'univers. Pi. Ouais, pionzique. La signature même du cercle et de la géométrie continue. Donc c'est ça notre mission aujourd'hui, on va essayer de comprendre comment un simple jeu traditionnel a pu incuber vraiment à l'insu de tous un problème mathématique d'une profondeur juste sidérante quoi.

Intervenant 21:01

Et pour bien comprendre, il faut d'abord remonter un peu le temps. Parce que le point de départ de tout ça, il est profondément ancré dans l'histoire des sociétés humaines, en fait.

Intervenant 11:08

Ouais, on parle des jeux de mankala, c'est ça ?

Intervenant 21:10

C'est ça. Avant d'être un objet d'étude théorique, c'est la vaste famille des jeux de mankala. Ce sont des jeux de stratégie, combinatoires abstraites, dont les traces remontent à des milliers d'années, un peu partout en Afrique et en Asie.

Intervenant 11:25

En France, je pense que la variante que la plupart des gens connaissent, c'est « Là où elle est ».

Intervenant 21:29

Bah oui, là où il est, très connu. Et le matériel, il est universal. T'as un support avec des coupelles ou des trous et des pions qui sont tous pareils, souvent des graines ou des coquillages, tu vois.

Intervenant 11:40

Des trucs qu'on trouve facilement.

Intervenant 21:42

Exactement. Et toute la dynamique, elle repose sur la semaille. C'est-à-dire que tu prends tout le contenu d'une coupelle et tu l'égraines pion par pion dans les réceptacles suivants.

Intervenant 11:51

Donc ça crée une modification permanente du plateau.

Intervenant 21:54

Voilà, c'est très dynamique.

Intervenant 11:56

Mais Pascal, mais les sources qu'on dissèque aujourd'hui, elles ne parlent pas d'un jeu à deux joueurs.

Intervenant 22:00

Non, pas du tout. En fait, l'évolution vers un casse-tête solitaire, elle a été formalisée au 19e siècle par un mathématicien français, Édouard Lucas.

Intervenant 12:09

Un grand amateur de récréation mathématique, celui-là.

Intervenant 22:11

Oh que oui ! Il a distillé vraiment l'essence du mankada pour créer ce qu'il a appelé le chukaruma.

Intervenant 12:18

Mais nous, on va se pencher sur une variante encore plus épurée, non ?

Intervenant 22:21

Absolument. Une version redoutablement stricte inventée bien plus tard, en 1977, par la mathématicienne Véronique Gautron.

Intervenant 12:30

Et ça s'appelle le Tchouikaillon. J'adore le nom d'ailleurs.

Intervenant 22:33

C'est mignon, ouais. Et c'est une variante où chaque mouvement est vraiment une question de survie immédiate, quoi. La topologie est super simple. T'as une seule ligne droite de trous.

Intervenant 12:44

Ok, une seule ligne.

Intervenant 22:45

Ouais. Et chaque trou contient un certain nombre de graines. Et à une des extrémités de cette ligne, t'as un grenier de collecte.

Intervenant 12:51

C'est ça qu'on appelle la rouma, du coup.

Intervenant 22:53

C'est ça, l'aruma. Le but du joueur, c'est de choisir un trou, de ramasser toutes les graines qu'il contient et d'avancer vers l'aruma en déposant une graine dans chaque trou rencontré sur le chemin.

Intervenant 13:04

Pour vider complètement le plateau.

Intervenant 23:05

Exactement. Le but ultime, c'est de ramener toutes les graines à l'intérieur de l'aruma.

Intervenant 13:11

D'accord. Mais c'est là que la rigueur intervient. Parce qu'il y a une règle d'or, une contrainte fatale même, à chaque tour.

Intervenant 23:18

Ouais, tu n'as pas le droit à l'erreur.

Intervenant 13:20

C'est ça. Pour que le coup soit valide, la toute dernière graine de la poignée que tu sèmes doit impérativement atterrir dans le grenier, pile dans la rouma.

Intervenant 23:29

Pas avant, pas après.

Intervenant 13:30

Voilà. Si elle tombe dans un trou ordinaire ou si tu dépasses la rouma, c'est fini, la partie est perdue instantanément.

Intervenant 23:37

C'est vraiment une mécanique de précision, implacable. Et cette contrainte, c'est ce que les mathématiciens appellent un trou récoltable.

Intervenant 13:44

Un trou récoltable. Ok, explique-nous un peu ça.

Intervenant 23:47

En fait, l'idée est super claire géométriquement. Pour que la dernière graine d'un trou tombe exactement dans la rouma, le contenu initial de ce trou doit correspondre millimètres à sa distance par rapport au grenier.

Intervenant 13:59

Ah, logique ! Donc s'il est à 3 pas, il faut 3 graines ?

Intervenant 24:03

Exactement. S'il est à 10 pas, il faut 10 graines. Sur le plan formel, tu notes la disposition pour n graines avec un petit t. Un trou situé à la position k est récoltable si, si et seulement si, la fonction t de n est exactement égale à k.

Intervenant 14:20

Ok, je vois. Pour imager un peu, c'est genre… Imagine, tu dois marcher jusqu'à un précipice les yeux bandés.

Intervenant 24:27

Un peu angoissant, mais vas-y.

Intervenant 14:28

Ouais, bon, t'es à quatre pas du bord, t'as intérêt à choisir l'option qui te fait faire exactement quatre pas.

Intervenant 24:34

Ni trois, ni cinq.

Intervenant 14:35

Sinon, c'est la chute, échec immédiat. Et s'il y a plusieurs trous qui remplissent cette condition, s'il y a plusieurs bons propulseurs, on fait quoi ?

Intervenant 24:45

Alors là, tu n'as pas le choix non plus. L'ordre de résolution est imposé par les règles. Tu dois toujours vider le trou récoltable le plus proche de la roue main en premier.

Intervenant 14:53

Toujours le plus proche ?

Intervenant 24:54

Ouais, parce que c'est pas arbitraire. Ça protège l'intégrité du plateau.

Intervenant 14:59

Comment ça ?