Fonctions équivalentes : remplacer sans fausser la limite

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Salut Sam !

Intervenant 10:03

Aujourd'hui, on va faire un petit saut dans le vide. Imaginons un instant un super ordinateur, mais genre une machine ultra moderne.

Intervenant 20:13

Ouais, le truc à plusieurs millions d'euros.

Intervenant 10:15

C'est ça, le truc capable de faire des milliards de calculs à la seconde, qui modélise des galaxies entières, qui prédit le climat. Bref, on a tendance à lui faire une confiance presque aveugle, non ? Voilà, on tape notre petite formule, on appuie sur la touche Entrée et paf, la vérité absolue s'affiche à l'écran. Sauf que, et c'est là que ça devient fou, face à certains calculs qui ont l'air super inoffensifs, la machine elle craque.

Intervenant 20:46

Elle perd totalement les pédales, ouais.

Intervenant 10:48

Genre un petit jeu de probabilités avec 1000 personnes, un truc tout bête, et l'ordinateur le plus puissant du monde devient aveugle. Il tourne dans le vide, ou pire, il donne un résultat complètement faux.

Intervenant 20:59

C'est un paradoxe qui surprend toujours. En fait, on a vachement pris l'habitude de confondre la puissance de calcul brute et la véritable intelligence mathématique.

Intervenant 11:10

C'est pas la même chose.

Intervenant 21:11

Ah non, pas du tout. Un ordinateur, au final, c'est une machine finie. Il stocke des nombres dans des petites cases.

Intervenant 11:17

Avec une mémoire limitée.

Intervenant 21:19

Donc face à des concepts comme l'infini ou alors le zéro absolu, l'architecture même de nos processeurs, elle montre ses limites.

Intervenant 11:26

Et c'est exactement la mission de notre exploration du jour. On va décortiquer un article fascinant sur la façon dont les mathématiciens ont réussi à pirater ces impasses. Et ça, bien avant l'invention des ordinateurs.

Intervenant 21:38

Oui, avec une ruse beaucoup plus élégante.

Intervenant 11:40

Voilà, on va parler d'un outil qu'on appelle les équivalents. Parce que le grand drame en maths, le truc qui fait exploser les calculatrices, c'est quoi ?

Intervenant 21:48

C'est la division par zéro.

Intervenant 11:49

Le cauchemar ?

Intervenant 21:50

C'est ça. Si on prend deux fonctions, deux courbes qui vont gentiment vers, disons, quatre. Et qu'on les divise l'une par l'autre. Bon, quatre divisé par quatre, ça fait un. Tout va bien.

Intervenant 12:01

Là oui, parce que c'est prévisible. Tant qu'on a les valeurs finies, tangibles, la division a du sens. Mais en analyse, on frôle souvent le gouffre.

Intervenant 22:09

Le bord du précipice, ouais.

Intervenant 12:10

Exactement.

Intervenant 22:12

Imagine deux fonctions qui plongent toutes les deux vers zéro en même temps. Ou pire, qui s'envolent toutes les deux vers l'infini. Si tu essaies de diviser l'une par l'autre à ce moment précis, tu obtiens un truc terrifiant.

Intervenant 12:24

Le fameux zéro divisé par zéro.

Intervenant 22:26

Voilà. Ou infini sur infini. C'est ce qu'on appelle une forme indéterminée. La machine, elle ne sait pas si le zéro du haut est plus fort que le zéro du bas.

Intervenant 12:34

Et c'est là qu'interviennent nos fameux équivalents. En gros, l'idée de Génie, c'est d'arrêter de s'acharner sur la fonction compliquée qui pose problème et de la remplacer par une fonction amie, une fonction plus simple.

Intervenant 22:45

Oui, au voisinage exact de ce point de bascule.

Intervenant 12:49

En fait, j'ai une analogie. Est-ce que c'est un peu comme utiliser une doublure cascade au cinéma ?

Intervenant 22:53

Oh, j'aime bien l'idée, vas-y !

Intervenant 12:54

Bah disons qu'on a notre grande star d'Hollywood, c'est notre fonction complexe, et arrive une scène super dangereuse. La division part zéro, l'acteur principal ne peut pas la faire. Donc juste pour cette fraction de seconde, paf, on le remplace par un cascadeur.

Intervenant 23:08

Une doublure.

Intervenant 13:09

Voilà, le cascadeur, il ne ressemble pas forcément à la star dans la vie de tous les jours. Mais au moment précis du crash, il a la même trajectoire, le même gabarit et la caméra n'y voit que du feu.

Intervenant 23:20

Mais c'est une super analogie, parce que la doublure mathématique n'a pas besoin d'être identique partout. Elle doit juste être indiscernable au point précis de la cascade, là où on frôle le zéro.

Intervenant 13:33

Ok, mais du coup, comment on trouve ce bon cascadeur ?

Intervenant 23:36

Eh bien, on va déshabiller la fonction. Prenons la fonction sinus. Ça fait des vagues, des ondulations. Mais si tu la regardes au microscope, tout près du zéro.

Intervenant 13:46

Si on zoome à fond ?

Intervenant 23:47

Voilà, si tu zooms à fond, l'ondulation, elle disparaît. Et la courbe ressemble à s'y méprendre à une simple ligne droite. Les mathématiciens utilisent ce qu'on appelle un développement limité. C'est pour exprimer une fonction comme une addition de blocs de plus en plus petit.

Intervenant 14:02

D'accord. Que la ligne droite, notre x, c'est notre doublure aliénée.

Intervenant 24:07

Absolument. Au voisinage de zéro, le sinus et la fonction x sont équivalents. Et là c'est magique, si on cherche la limite du quotient sinus divisé par x quand on s'approche de zéro…

Intervenant 14:17

Ah ben on remplace la star par sa doublure, donc le sinus devient x, on divise x par x…

Intervenant 24:22

Et ça, ça fait 1.

Intervenant 14:23

C'est fou. On vient d'esquiver la division par zéro, à l'air de rien. Plus d'erreur système.

Intervenant 24:27

C'est toute la puissance de cette méthode. Tu as des calculs effrayants, tu identifies la doublure de chaque morceau, tu remplaces et le tour est joué. À condition que la doublure ne s'annule pas elle-même, bien sûr.

Intervenant 14:37

Ouais, ça a l'air presque trop facile dit comme ça. Mais je crois qu'il y a des cas où la cascade rate, non ? Dans les sources, on a un exemple qui ressemble à un vrai désamorçage de bombe.

Intervenant 24:47

Ah, tu penses au quotient avec la tangente ?

Intervenant 14:49

Ouais, ce truc monstreux. Disons qu'on cherche la limite en zéro. En haut, au numérateur, on prend la fonction tangente et on lui soustra la fonction sinus. Et en bas, on divise tout ça par x³.

Intervenant 25:00

Un vrai monstre, effectivement.