Pourquoi π échappe-t-il aux fractions et au compas ?

Intervenant 10:00

Bienvenue sur le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment une joie de retrouver tous les passionnés de mathématiques pour cette nouvelle plongée au cœur des nombres. Alors le pari d'aujourd'hui, c'est de détruire une illusion tenace. On a tous en tête cette image très rassurante d'un compas, d'une feuille à petits carreaux et bien sûr de ce bon vieux nombre π.

Intervenant 20:21

Oui, le fameux 3,14 qu'on nous présente bien sagement dès l'école primaire.

Intervenant 10:26

C'est ça. On se dit qu'il sert juste à calculer le périmètre d'un pneu de vélo ou d'un gâteau. On l'apprend par cœur, on a l'impression de le cerner parfaitement. Mais en fait, la vérité qui est exposée dans les sources de notre dossier aujourd'hui, c'est qu'on nous a vendu une version complètement édulcorée. Le but de notre exploration, c'est de montrer que π est un rebelle absolu, un nombre qui dépasse la raison.

Intervenant 20:48

Ah mais totalement ! Le contraste entre la définition élémentaire qu'on apprend tous et la véritable nature de ce nombre, franchement c'est ahurissant. Posons simplement la définition géométrique de base. On prend un cercle, on enroule une ficelle autour, on la coupe et on regarde combien de fois le diamètre du cercle rentre dans cette ficelle.

Intervenant 11:08

Et le résultat, c'est trois fois, avec un petit bout en plus.

Intervenant 21:12

Voilà, trois fois et des poussières. Et face à un cercle, qui est quand même l'incarnation même de la perfection géométrique, notre cerveau réclame de l'harmonie, quoi. On s'attend instinctivement à ce que ce petit bout en plus soit une fraction simple et nette.

Intervenant 11:26

Ben oui, parce qu'une fraction, c'est structuré, ça rassure.

Intervenant 21:29

C'est l'espoir millénaire de l'humanité en fait. Cette illusion qu'une forme pure va forcément produire un rapport simple.

Intervenant 11:36

Sauf qu'en fouillant les documents rassemblés pour cette émission, on réalise vite que π est un véritable monstre mathématique. Il brise toutes les règles. On va traverser les millénaires aujourd'hui, depuis les crises existentielles de la Grèce antique jusqu'aux démonstrations foudroyantes du XIXe siècle. Tout ça pour comprendre pourquoi la fameuse quadrature du cercle, c'est une impossibilité absolue.

Intervenant 21:59

Et avant même de comprendre l'insoumission de π, il faut d'abord saisir le traumatisme qui a vraiment fondé les mathématiques. Le grand scandale des nombres irrationnels.

Intervenant 12:09

Le péché originel des maths en quelque sorte.

Intervenant 22:11

Exactement. Et pour ça, direction le VIe siècle avant notre ère, en pleine Grèce antique, au cœur de la confrérie des pythagoriciens.

Intervenant 12:19

Alors attention, on ne parle pas de professeurs de mathématiques comme on les imagine aujourd'hui. C'était une véritable secte mystique.

Intervenant 22:25

Ah oui, une confrérie très stricte avec ses rituels et surtout un dogme inébranlable. Leur devise, c'était « tout est nombre ». Pour un pythagoricien, la trame de l'univers repose uniquement sur des nombres entiers positifs ou alors des rapports entre ces entiers.

Intervenant 12:43

Ce qu'on appelle des fractions, du coup ?

Intervenant 22:44

Voilà, des fractions, c'est la base de tout pour eux.

Intervenant 12:48

Donc si on veut vulgariser, la mécanique du monde reposerait sur des briques Lego, des briques parfaites de taille 1, 2 ou 3. Et en les combinant, on se dit qu'on doit pouvoir mesurer n'importe quelle distance cosmique. L'univers, c'est censé être une grille de construction parfaitement quadrillée.

Intervenant 23:04

Et c'est une croyance qui s'appuie sur des observations physiques réelles. Il remarque par exemple que les accords musicaux qui sont agréables à l'oreille, comme l'octave par exemple, correspondent à des cordes dont les longueurs forment des rapports très simples.

Intervenant 13:18

Donc l'harmonie musicale valide leur théorie des légos.

Intervenant 23:22

C'est ça. L'harmonie musicale confirme le dogme. Mais le système va complètement exploser de l'intérieur à cause d'un simple dessin géométrique.

Intervenant 13:31

Lequel ? Qu'est-ce qu'ils ont dessiné de si terrible ?

Intervenant 23:34

Il s'intéresse à un bête carré, un carré dont le côté mesure une longueur de 1. Il trace la diagonale. Et là, en appliquant le théorème de leur propre fondateur, le calcul montre que cette diagonale correspond au nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2.

Intervenant 13:49

La fameuse racine carrée de 2.

Intervenant 23:51

Exactement. Et au début, il cherche juste la combinaison de fractions qui permet de mesurer cette diagonale.

Intervenant 13:56

Et le scandale éclate.

Intervenant 23:57

Une panique totale. La démonstration implacable surgit. C'est-à-dire qu'aucune fraction, jamais, ne pourrait exprimer cette longueur. La racine carrée de 2 refuse d'être une fraction. Elle est irrationnelle.

Intervenant 14:09

C'est le vide sous les pieds pour eux. Si on reprend notre analogie, on prend nos briques Lego, on les coupe en deux, en mille, en un million, pour tenter de combler l'espace de la diagonale, et ça ne rentre jamais parfaitement. Il y a toujours une excroissance microscopique qui dépasse. L'univers n'est plus une grille parfaite.

Intervenant 24:28

C'est tellement traumatisant que la légende raconte même qu'un des leurs, Ipas de Métaponte, aurait été jeté d'un avis.

Intervenant 14:35

Jeté par-dessus bord ?

Intervenant 24:36

Oui, parce qu'il était soupçonné d'avoir divulgué ce secret destructeur à l'extérieur. Pour eux, il avait brisé l'harmonie divine.

Intervenant 14:43

Ah ouais, carrément. Bon, noyer le messager ne sauve pas la théorie pour autant. La boîte de Pandore des Irrationnels est ouverte. Mais il y a une question de logique qui s'impose quand on lit ça. S'ils sont terrifiés par la diagonale d'un carré, pourquoi est-ce qu'ils ne se jettent pas immédiatement sur le cercle ? Le rapport π aurait dû concentrer toute leur suspicion.

Intervenant 25:04

Eh bien, le parallèle entre le carré et le cercle était très clair pour eux. La question s'est sûrement posée. Mais suspecter une irrationnalité et en faire la preuve mathématique, ce sont deux univers complètement différents.

Intervenant 15:18

C'est-à-dire ?

Intervenant 25:20

Prouver qu'un nombre est irrationnel, ça demande de démontrer qu'aucune fraction, parmi une infinité de possibilités, ne sera capable de l'égaler.

Intervenant 15:28

Ah oui, comment prouver une inexistence en fait. C'est comme chercher une aiguille dans une botte de foin infinie, uniquement pour s'assurer que l'aiguille n'y est pas.

Intervenant 25:37

C'est une excellente métaphore. L'arsenal intellectuel des Grecs n'était pas du tout dimensionné pour gérer cet infini. D'ailleurs, pour bien mesurer l'extrême difficulté de ce genre de preuves, les sources citent une anecdote historique assez éclairante sur un autre nombre, la constante d'Apéry.

Intervenant 15:54

Qui est la somme infinie des inverses et des cubes, c'est ça ?

Intervenant 25:57

Exactement. Eh bien, démontrer l'irrationalité de cette constante fut un défi titanesque.

Intervenant 16:02

Et ça a été résolu à quelle époque ?