Séries de Taylor : le parcours vers une approximation fiable

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans une histoire vraiment dingue. En fait, les outils mathématiques les plus rigoureux qu'on connaisse, enfin ceux qui maintiennent les avions en l'air et qui empêchent nos satellites de s'écraser, ils ont été inventés par des génies qui avançaient complètement à l'aveugle.

Intervenant 20:18

Ah oui, c'est ça qui est fascinant. Ils avançaient sans aucun filet de sécurité.

Intervenant 10:22

Exactement. Ces esprits brillants ont formulé des concepts cruciaux en espérant simplement que leurs équations n'allaient pas exploser en vol. Et ça sans la moindre preuve formelle au départ. C'est ce paradoxe incroyable qu'on va décortiquer pendant notre exploration.

Intervenant 20:37

Et l'objectif, pour ceux qui nous écoutent, c'est de comprendre la genèse des expansions de fonctions, ce qu'on appelle très souvent les développements limités.

Intervenant 10:46

Voilà, c'est le grand mot. Mais qu'on se rassure, loin de l'aridité d'un tableau noir rempli d'équations, c'est une véritable épopée. On va voir comment une question de survie, littéralement de survie pour les navigateurs du XVIe siècle, a forcé les mathématiques à repenser entièrement leur rapport à la certitude.

Intervenant 21:03

Tout à fait. Et cette tension entre le besoin urgent de résultats hyper pratiques et l'exigence de sécurité théorique, c'est le moteur de toute cette histoire en fait. Pendant des siècles, l'analyse mathématique a navigué sur des eaux très instables.

Intervenant 11:18

C'est le cas de le dire.

Intervenant 21:19

C'est ça. L'enjeu, ce n'était pas seulement de trouver une petite méthode pour calculer des trajectoires, mais bien de comprendre la nature même d'une courbe. Et pour ça, il a fallu une succession de paris intellectuels audacieux, de vrais vols d'idées et de recadrages stricts.

Intervenant 11:32

Pour passer d'une intuition géométrique presque hasardeuse à une vraie science de l'erreur quantifiée.

Intervenant 21:38

Absolument, le défi majeur au fond c'était d'arriver à définir ce qui rend une erreur de calcul véritablement négligeable.

Intervenant 11:45

Et pour bien saisir l'urgence du truc, il faut imaginer la pression monstrueuse qui pesait sur les marins à l'époque des grandes découvertes. En pleine mer, sans repères terrestres, la survie d'un équipage entier dépendait juste de l'observation des astres.

Intervenant 21:58

Et pour transformer la position des étoiles en un cap à suivre, la trigonométrie est absolument indispensable.

Intervenant 12:04

Ouais. Et puis, au début du XVIIe siècle, il y a l'apparition des logarithmes, grâce à John Napier, qui vient tout bouleverser. C'est une révolution astronomique parce que ça transforme des multiplications super complexes en de simples additions. Mais sur le pont d'un navire secoué par la tempête, il y a un problème technique majeur.

Intervenant 22:21

Bah oui, les marins n'ont que des livres sous la main.

Intervenant 12:23

C'est ça, des tables de logarithmes imprimés. Et ces tables ne contiennent évidemment pas toutes les valeurs possibles de l'univers, quoi.

Intervenant 22:31

Et ce vide, le vide entre les nombres inscrits dans ces registres, ça représentait un danger mortel. Quand un navigateur avait besoin d'une valeur qui tombait exactement entre deux lignes de sa table, il devait complètement improviser.

Intervenant 12:44

Ouais, il devait bricoler. Et la méthode standard à l'époque, c'était de faire de l'interpolation linéaire. Donc concrètement, on supposait que la progression entre la valeur A et la valeur B, c'était une belle ligne droite parfaite.

Intervenant 22:57

Ce qui est extrêmement audacieux.

Intervenant 13:00

Ah bah bon, décortiquons un peu tout ça. Géométriquement parlant, ça revient à tendre une corde bien raide entre les sommets de deux montagnes en plein brouillard, en ignorant totalement qu'il pourrait y avoir un précipice énorme ou un pic rocheux acéré juste au milieu.

Intervenant 23:16

C'est une très bonne image.

Intervenant 13:18

À l'échelle d'une carte marine, une petite courbure qu'on a ignorée, ça se transforme en un décalage de dizaines de kilomètres à l'arrivée. Donc l'approximation rectiligne devenait presque une garantie de finir naufragée sur des récifs invisibles. Il fallait absolument trouver un moyen mathématique d'épouser la véritable courbure des éléments.

Intervenant 23:36

Et le plus surprenant, c'est que la première véritable lueur d'espoir pour résoudre ça ne vient pas du tout de l'algèbre.

Intervenant 13:43

Ah

Intervenant 23:43

non ? Non, ça vient de la géométrie pure. Autour de 1647, il y a ce mathématicien flamand, Grégoire de Saint-Vincent, qui étudiait une courbe très spécifique, l'hyperbole. Et à travers un travail monumental, il s'est mis à analyser minutieusement les aires qui se dessinent sous cette courbe.

Intervenant 14:03

D'accord, mais il s'arrête à la géométrie, lui, non ?

Intervenant 24:06

Exactement, il reste dans son domaine et c'est là qu'intervient son élève, Alfonso Antonio de Sarraza, qui va avoir un éclair de génie, une approche hyper transversale.

Intervenant 14:16

Ah oui, c'est le moment où il fait le lien. Il comprend que ces formes géométriques sous l'hyperbole, elles ont exactement le même comportement que les fameux logarithmes que les marins utilisent.

Intervenant 24:25

Ouais, c'est l'une des connexions les plus élégantes de toute cette époque. De Sarraza démontre que si on calcule l'aire sous une hyperbole entre deux points, cette aire croît exactement de la même manière que les logarithmes s'additionnent.

Intervenant 14:38

C'est fou ! Donc, pour la première fois, on crée un pont direct, inébranlable en fait, entre la géométrie des surfaces et le calcul abstrait des logarithmes. Cette découverte, elle donnait soudainement une réalité, une consistance aux nombres magiques qui aidaient les navires à se diriger.

Intervenant 24:55

C'est ça. Mais bon, observer une ère, c'est bien go, mais c'est pas encore posséder une formule de calcul universelle.

Intervenant 15:01

Ouais, c'est pas très pratique sur un bateau.

Intervenant 25:03

Non, pas du tout. Et c'est là que la dynamique s'accélère prodigieusement, dans les années 1660 avec Isaac Newton et Nicolas Mercator. Ils s'emparent de ce fameux lien entre hyperbole et logarithme et ils décident de le désosser algébriquement.

Intervenant 15:18

De le désosser, c'est le mot. Au lieu de regarder la courbe dans son ensemble, il fractionne l'expression mathématique qui la définit en une suite infinie de termes minuscules. En fait, c'est un peu comme s'il prenait un mur en béton armé qu'on ne peut pas percer et qu'il trouvait le moyen de le dissoudre en une infinité de petites briques élémentaires. Des briques qu'il pouvait ensuite empiler et manipuler une à une, de façon super basique.

Intervenant 25:42

L'analogie de la brique est très pertinente. Newton et Mercator intègrent cette suite infinie, brique par brique. Ils transforment une fonction transcendante, un truc incroyablement complexe et difficile à calculer, en une addition infinie de polynômes élémentaires.

Intervenant 15:57

Juste des puissances toutes simples,

Intervenant 25:58

quoi. Exactement. Le vrai tour de force conceptuel, il est dans cette traduction. Ils réduisent la complexité vertigineuse du continu à de la simple arithmétique de base. On n'a plus qu'à multiplier et additionner des fractions.

Intervenant 16:11

Même si, bon, on est d'accord que leur astuce ne fonctionnait que sous des conditions très strictes à ce moment-là, sur un petit intervalle de valeur.

Intervenant 26:18

Oui, l'intervalle était très réduit, mais la brèche était ouverte. La communauté mathématique venait de réaliser qu'une courbe complexe cachait en réalité une série infinie d'éléments simples.

Intervenant 16:29

Sauf que voilà, la géométrie ne pouvait sauver les marins que pour des formes vraiment spécifiques. Une fois qu'on a réussi à dompter les logarithmes de cette manière, il y a une sorte d'obsession qui s'empare des mathématiciens européens.

Intervenant 26:41

Ah ben ils voulaient tout calculer !