Trois cercles dans un triangle : pourquoi l’idée de Malfatti échoue ?

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous et un immense bonheur de vous retrouver pour le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans une histoire complètement folle. On part d'un simple bloc de marbre italien, un truc très, très concret, et on atterrit en plein milieu d'un des mystères géométriques les plus surprenants et les plus fascinants des deux derniers siècles.

Intervenant 20:17

Salut Sam. Oui, et c'est vraiment une de ces histoires qui montre que même les plus grands génies peuvent se tromper magistralement. Et on va voir ensemble que leurs erreurs sont parfois bien plus belles, bien plus riches que la stricte vérité mathématique.

Intervenant 10:30

Exactement. Et l'histoire d'aujourd'hui, qu'on tire d'un article super fouillé sur les fameux cercles de Malfatti, elle nous prouve une chose. Elle montre comment l'intuition humaine, qui adore tout ce qui est symétrique et bien rangé, s'est littéralement fracassée contre la froide réalité de l'optimisation mathématique.

Intervenant 20:46

C'est exactement ça. Et pour bien comprendre ce décalage, il faut planter le décor. On doit d'abord faire connaissance avec le fameux Gianfrancesco Malfatti.

Intervenant 10:55

Oui, alors lui, c'est un sacre personnage. On est à la charnière entre le 18e et le 19e siècle. Il est né en 1773 dans un petit village des Alpes italiennes. Il a fait ses classes chez les jésuites à Véronne, puis à Bologne. Et il finit par cofonder le département de mathématiques de l'Université de Ferrare.

Intervenant 21:13

Ce qui est super important de noter, c'est que ce n'est pas du tout le cliché du chercheur isolé dans sa tour d'ivoire, tu vois. En 1779, il participe carrément à la création d'une encyclopédie italienne.

Intervenant 11:23

Ah ouais, un peu dans l'esprit très bouillonnant des Lumières à la Diderot ou d'Alembert chez nous en France quoi.

Intervenant 21:27

Totalement. Et ce contexte est vraiment crucial. Parce qu'à cette époque, la frontière entre les mathématiques pures et l'ingénierie concrète n'existe pas vraiment comme aujourd'hui. Les grands esprits utilisent la géométrie pour résoudre des problèmes d'architecture, des problèmes de balistique ou même d'artisanat.

Intervenant 11:44

Ce qui nous amène directement à son fameux défi pratique de 1804. Il publie un article avec un titre incroyable. Je vais essayer de bien le prononcer. « Memoria sopra un problema stereotomico ».

Intervenant 21:55

Bravo pour l'accent. Et oui, ce fameux problème stéréotomique.

Intervenant 11:59

Et attends, stéréotomique, ce n'est pas un mot qu'on entend tous les jours. Ça a un rapport avec la stéréo, avec le son ?

Intervenant 22:06

Alors, pas du tout, non. La stéréotomie, ça vient du grec « stereos » qui veut dire « solide » et « tom » qui veut dire « coupe ». En fait, c'est tout simplement l'art de la découpe des matériaux de construction.

Intervenant 12:17

Ah d'accord, genre comment tailler des pierres pour faire une voûte ou découper des charpentes complexes, c'est ça ?

Intervenant 22:24

C'est exactement ça. Et le défi que se pose Malfatti, il est purement industriel. Imagine un artisan qui possède un prisme en marbre. Et la base de ce prisme est un triangle.

Intervenant 12:34

Et le marbre, bon, c'est lourd, c'est dur à extraire et surtout, ça coûte les yeux de la tête.

Intervenant 22:38

Voilà, c'est une matière précieuse. Et notre artisan veut tailler trois colonnes cylindriques dans ce prisme. Donc la grande question de Malfatti, c'est de savoir comment tracer trois cercles sur cette base triangulaire pour que ces cercles soient les plus grands possibles.

Intervenant 12:52

Pour qu'il y ait le moins de chutes possibles en gros. Que la quantité de marbre transformée en poussière soit vraiment minimale. Ok, décortiquons tout ça avec une petite image, moi j'aime bien voir ça comme de la pâtisserie géométrique.

Intervenant 23:02

Ah, la pâtisserie, je t'écoute.

Intervenant 13:04

Imagine qu'on étale une pâte à biscuits sur un plan de travail et on la découpe en forme de grand triangle. Le défi, c'est d'utiliser un emporte-pièce rond pour découper trois biscuits dans cette pâte. Évidemment, les biscuits ne doivent pas se chevaucher et on veut qu'à la fin, il reste le moins de pâte inutile possible sur la table. On veut rentabiliser la surface à fond.

Intervenant 23:25

C'est une super analogie, l'image de la pâte à biscuits fonctionne très bien. Et face à ce défi, Malfatti a une intuition très forte. Pour lui, la solution pour occuper l'espace de manière optimale, elle coule de source.

Intervenant 13:38

Elle semblait évidente,

Intervenant 23:39

oui. Oui, il conjecture que ces trois cercles doivent forcément être tangents entre eux, c'est-à-dire qu'ils doivent se toucher délicatement en un seul point, au milieu, et que chacun doit également être tangent à deux des côtés du grand triangle.

Intervenant 13:53

Donc en gros, il les cale bien sagement dans les coins du triangle, et les trois cercles finissent par se faire un petit bisou au centre.

Intervenant 24:00

C'est ça. Et il va même plus loin, il calcule tout ça analytiquement, il publie sa trouvaille en 1804, et paf, l'affaire semble classée pour tout le monde. D'ailleurs, petite parenthèse, la paternité même de ce problème est un peu douteuse, mais on a gardé le nom de Malfatti.

Intervenant 14:16

Et c'est là que ça devient vraiment intéressant. Parce que le plus fou, c'est que quand on regarde le dessin de Malfatti, notre cerveau dit oui tout de suite. C'est super beau. Les trois cercles bien levés les uns contre les autres qui occupent les coins. Ça dégage un équilibre parfait. On a l'impression que la géométrie respire.

Intervenant 24:33

Ah oui, visuellement c'est très satisfaisant.

Intervenant 14:35

Sauf que, et voilà le grand rebondissement, l'histoire prend un virage assez brutal. Cette configuration, admise par tout le monde, c'était une illusion totale. Son intuition était complètement fausse.

Intervenant 24:48

Ce qui est fascinant ici, c'est la façon dont notre cerveau nous piège. On est biologiquement câblé pour associer la symétrie à l'efficacité.

Intervenant 14:56

Genre un visage symétrique nous paraît en meilleure santé, ce genre de truc.

Intervenant 24:59

Exactement. Ou une ruche d'abeille avec ses alvéoles hexagonales, c'est une merveille d'optimisation. Et c'est très régulier. Du coup, quand on regarde le schéma hyper élégant de Malfatti, cette beauté visuelle nous convainc direct que l'espace est optimisé. Mais mathématiquement, cette configuration de cercles tangents entre eux ne donne jamais la meilleure solution pour minimiser la surface vide.

Intervenant 15:21

Attends, jamais ? Genre, même pas un petit coup de chance sur un cas très spécifique de triangle ?

Intervenant 25:26

Non, vraiment jamais. Et ce qui est dingue, c'est le temps qu'il a fallu pour s'en rendre compte. Je rappelle que l'article de Malfatti date de 1804. Et bien il faut attendre 1930, donc plus d'un siècle et quart plus tard, pour que quelqu'un brise le mythe.

Intervenant 15:39

Plus de 100 ans de croyances aveugles, c'est ouf ! Et qui a cassé l'ambiance alors ?

Intervenant 25:43

Ce sont deux mathématiciens britanniques, Hyman Loeb et Herbert William Richmond. Ils ont attaqué le problème par la face la plus simple, c'est-à-dire le triangle équilatéral, celui qui a les trois côtés parfaitement

Intervenant 15:54

égaux.

Intervenant 25:55

Et ils démontrent avec des calculs implacables que la méthode élégante de Malfatti gaspille du marbre.

Intervenant 16:01

Donc si le bel arrangement symétrique ne marche pas, c'est quoi la vraie solution de Lobe et Richemonde pour ce triangle ? Laisse-moi deviner. Au lieu de faire trois cercles de taille moyenne bien équilibrés, on adopte une stratégie un peu plus brutale.

Intervenant 26:13

C'est tout à fait ça.