Théétète de Platon : deux pistes pour l’arrêt à √17

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Quel bonheur immense de retrouver toutes celles et ceux qui nous écoutent aujourd'hui pour une nouvelle plongée passionnante. Et aujourd'hui, on va remonter le temps très loin en arrière.

Intervenant 20:12

Ah oui, très loin. On parle de plus de 2400 ans là. Je suis ravie d'être là pour en parler.

Intervenant 10:17

Imaginez la scène. On a l'un des plus grands mathématiciens grecs de l'Antiquité, Théodore de Sirène. Il accroupit, il dessine sur le sol, dans le sable, il trace des figures pour calculer des racines carrées, et il démontre leur irrationalité, une par une, avec une espèce de fluidité parfaite. Et soudain, paf ! Le mur. Voilà, le mur. Arrivé au nombre 17, il s'arrête net. Il pose son outil, il est pas incapable d'aller plus loin. Qu'est-ce qui a bien pu faire buguer un génie pareil de manière aussi brutale ?

Intervenant 20:48

C'est exactement ce qu'on appelle un cold case, en fait. Un mystère vieux de plusieurs millénaires, caché en plein cœur d'un texte philosophique majeur, le célèbre dialogue de Platon, le Théétète.

Intervenant 11:00

Et c'est la mission qu'on s'est fixée aujourd'hui en explorant un article fascinant intitulé « Le mystère de la diagonale du Théétète, pourquoi Platon s'arrête-t-il à 17 ? ». L'objectif, c'est vraiment de décortiquer ce moment de bascule.

Intervenant 21:14

Parce que, et c'est ce que l'article met en lumière, cet arrêt au nombre 17, ce n'est absolument pas une simple anecdote ou un hasard. C'est la trace d'une faille logique, une faille dans les outils géométriques même de l'Antiquité.

Intervenant 11:26

Ouais, alors avant d'entrer dans le vif du sujet et de parler de ce fameux 17, il faut qu'on pose le décor. Parce que les mathématiques de l'époque, ça n'a rien à voir avec ce qu'on fait nous au lycée. On ne pose pas une petite équation avec des X et des Y.

Intervenant 21:39

Non, pas du tout. On est vraiment dans l'héritage de Pythagore. Pour un penseur grec de cette période, l'univers entier repose sur un concept fondamental, la commensurabilité.

Intervenant 11:50

C'est un mot un peu barbare,

Intervenant 21:52

ça. Ouais, mais l'idée est simple. Ça veut dire que tout ce qui existe physiquement dans le monde doit pouvoir être mesuré par des nombres entiers, ou par des proportions d'entiers, ce qu'on appelle aujourd'hui des nombres rationnels. C'est rassurant, c'est un principe d'ordre universel.

Intervenant 12:07

Sauf qu'un beau jour, ce bel ordre parfait vole en éclats. C'est comme s'ils avaient découvert un énorme bug dans la matrice. Quelqu'un trace un carré, parfait, avec un côté qui mesure exactement une unité. Et ensuite, il trace la diagonale de ce carré.

Intervenant 22:22

Et là, c'est le drame.

Intervenant 12:24

C'est le drame. Parce que cette diagonale, elle est là, on la voit tracée sur le sol, mais quand on essaye de la mesurer avec la même règle que le côté, bah aucune fraction d'entier ne correspond. Jamais.

Intervenant 22:37

C'est l'irruption de ce qu'on va appeler les nombres irrationnels. Et le tout premier à poser problème, c'est la fameuse √2. La géométrie vient littéralement de créer une longueur que l'arithmétique de l'époque refuse de mesurer.

Intervenant 12:51

J'imagine la panique intellectuelle. C'est un séisme pour eux. Et donc, c'est dans ce contexte de crise mathématique que s'inscrit le texte de Platon. Le personnage de Théodore s'attaque à ces lignes impossibles à mesurer qu'il appelle des puissances. Et là d'ailleurs, l'article souligne un point de traduction hyper important.

Intervenant 23:09

Oui, il faut faire très attention à ça. Quand on entend puissance aujourd'hui, on pense tout de suite à une exponentielle, genre un nombre élevé au carré ou au cube.

Intervenant 13:16

Bah oui,

Intervenant 23:17

logique. Sauf que pour Platon, dans ce contexte précis, le mot désigne l'inverse. La racine carrée irrationnelle issue de la surface d'un carré. Théodore ne calcule pas du tout des exposants. Il étudie les racines de 3, de 5, de 7 pour prouver qu'elles sont, elles aussi, incommensurables.

Intervenant 13:35

D'accord, donc il teste ces fameux bugs, un par un. Il avance avec méthode. Il saute la racine de 2, parce que ça, bon, c'est bon, c'est déjà réglé. Il démontre pour 3, pour 5. S'il arrive à 18, bon, il n'a pas besoin de s'attarder non plus.

Intervenant 23:48

Non, parce que 18, c'est 2 x 3². Donc si tu connais l'irrationalité de 2, tu déduis celle de 18 tout de suite.

Intervenant 13:53

Le vrai prochain défi inédit sur sa petite liste, en toute logique, ça devrait donc être le nombre 19.

Intervenant 23:59

Absolument. 19 est un nombre premier. Tu ne peux pas le décomposer avec ce qui précède. Sauf que, et c'est là que le mystère commence, Platon écrit noir sur blanc que Théodore s'est arrêté à la racine de 17.