Moivre-Laplace : comment le hasard dessine la loi normale

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour commencer cette exploration, on va faire un petit exercice mental. Il faut imaginer un instant l'homme le plus obsédé par le contrôle absolu de toute l'histoire des sciences.

Intervenant 20:12

Ah oui, le genre de profil brillamment rigide.

Intervenant 10:16

Mais carrément. Un esprit qui est intimement convaincu que le hasard, ça n'existe purement et simplement pas. Pour lui, l'univers tout entier fonctionne comme une horloge d'une précision mais effrayante.

Intervenant 20:26

Ouais, une mécanique parfaite où rien n'est laissé à la chance.

Intervenant 10:29

Exactement. Et aujourd'hui, on va explorer comment ce déterministe radical, eh bien, il a fini par écrire le manuel définitif sur la modélisation mathématique du chaos et de l'incertitude. C'est complètement fou.

Intervenant 20:40

C'est vrai que c'est un point de départ qui est assez vertigineux, parce que l'ambiance de cette analyse, ce n'est pas juste une affaire de chiffres froids, tu

Intervenant 10:47

vois. Non, c'est sûr.

Intervenant 20:48

Il s'agit vraiment d'une immense collision entre d'un côté la philosophie et de l'autre les mathématiques pures. On va décortiquer comment l'infini, cette notion qui est super difficile à appréhender, elle a été convoquée comme une sorte d'arme absolue.

Intervenant 11:04

Une arme pour faire quoi concrètement ?

Intervenant 21:05

Pour débloquer des calculs monumentaux qui paralysaient les plus grands cerveaux du 18e et du 19e siècle. Rien que ça.

Intervenant 11:12

Bon, décortiquons tout ça. Le cerveau en question, pour le coup, c'est celui du mathématicien français Pierre-Simon Laplace.

Intervenant 21:18

Le fameux Laplace.

Intervenant 11:20

Le fameux. Et pour comprendre vraiment l'ampleur du paradoxe, il faut plonger un peu dans la psychologie du personnage. On parle d'un scientifique qui est hyper célèbre pour avoir poussé la mécanique céleste à son paroxysme.

Intervenant 21:31

Oui, il étudiait les orbites, les planètes, tout ça.

Intervenant 11:34

Voilà. Mais il est aussi connu pour sa véritable profession de foi déterministe. Genre, dans l'introduction de son Essai philosophique sur les probabilités, il pose les bases de ce qu'on appellera plus tard le démon de Laplace.

Intervenant 21:48

Ah, ça c'est une expérience de pensée qui donne encore des sueurs froides aujourd'hui.

Intervenant 11:53

C'est clair. Tu peux nous expliquer un peu comment ça marche cette idée du démon ?

Intervenant 21:58

Ouais, bien sûr. En fait, c'est la clé de voûte de sa vision du monde. Laplace y postule l'existence d'une intelligence suprême.

Intervenant 12:05

Ok.

Intervenant 22:06

Et si cette entité théorique était capable de connaître, à une fraction de seconde ultra précise, la position exacte et l'énergie de chaque particule dans l'univers ?

Intervenant 12:16

Chaque atome, quoi.

Intervenant 22:18

Chaque atome ?

Intervenant 12:19

Oui.

Intervenant 22:19

Ainsi que toutes les forces de la nature en action. Et bien pour peu qu'elle ait une puissance d'analyse mathématique suffisante, elle pourrait condenser l'univers entier dans une seule et unique formule.

Intervenant 12:30

Attends, une équation absolue ? Genre une formule qui engloberait aussi bien l'orbite écrasante de Jupiter que, je sais pas moi, la trajectoire erratique du plus insignifiant grain de poussière qui est soufflé par le vent ?

Intervenant 22:44

Mais absolument tout. Pour cette intelligence, l'incertitude, ça serait juste une illusion mathématique. Le futur, il se déploierait devant elle avec la même netteté, la même évidence incontestable que le passé.

Intervenant 12:58

Donc si on suit sa logique, chaque effet possède une cause qui est parfaitement mesurable.

Intervenant 23:02

Exactement. Il n'y a aucune place pour la chance. Pas de place pour la probabilité pure. Elle a démontré que le hasard fondamental, il existe bien à l'échelle subatomique.

Intervenant 13:12

Oui, les particules font un peu ce qu'elles veulent.

Intervenant 23:15

Voilà. Mais à l'époque de Laplace, il faut se remettre dans le contexte, c'est vraiment le sommet de la rationalité.

Intervenant 13:21

Mais c'est précisément ça qui rend son parcours scientifique complètement schizophrène en fait. Parce que dès 1772, à l'âge à peine croyable de 22

Intervenant 23:30

ans... 22 ans ouais, c'est fou.

Intervenant 13:32

Ce fanatique de la certitude absolue, il publie un mémoire sur l'analyse des hasards, à 22 ans. Et le mec, il s'arrête jamais. Près de 40 ans plus tard, en 1812, il sort carrément son œuvre magistrale, la théorie analytique des probabilités.

Intervenant 23:48

C'est le grand paradoxe, oui.

Intervenant 13:49

Mais pourquoi ? C'est ça la vraie question pour ceux qui écoutent cette plongée. Pourquoi diable quelqu'un pour qui rien n'est incertain passe la majeure partie de sa vie d'adulte à forger les outils pour calculer l'aléatoire ?

Intervenant 24:01

Eh bien, le motif caché derrière cette obsession, il est en fait d'une très grande humilité intellectuelle. Ce qui tranche pas mal avec l'ego qu'on attribue souvent à un personnage d'ailleurs.

Intervenant 14:09

Ah ouais ? De l'humilité chez Laplace ?

Intervenant 24:12

Ouais, ouais. Parce que Laplace, il étudie les probabilités pour une raison implacable. L'humanité, bah c'est pas cette intelligence suprême.

Intervenant 14:20

Ah je vois. On n'est pas le démon.

Intervenant 24:22

Voilà. On est affligé d'une myopie sévère face à la complexité de l'univers. On ignore la multitude de causes invisibles qui régissent un phénomène. Donc pour Laplace, les probabilités, ce n'est pas du tout la science de l'anarchie. Ce sont les mathématiques de l'ignorance humaine.

Intervenant 14:38

Oh, waouh, les mathématiques de l'ignorance.

Intervenant 24:41

C'est ça, c'est l'outil qu'on forge quand notre vision s'arrête, tout simplement.

Intervenant 14:45

C'est une nuance fantastique, donc on sort les probabilités uniquement quand on n'a pas la puissance de calcul pour regarder sous le capot de la réalité quoi.

Intervenant 24:52

Exactement.

Intervenant 14:53

Sauf que, en voulant quantifier cette ignorance, Laplace il s'est heurté à un mur mathématique d'une violence inouïe. Parce que la théorie, bon elle était belle sur le papier, mais la pratique, la pratique c'était un cauchemar absolu.

Intervenant 25:04

Et ce mur, c'est le problème redoutable des grands nombres dans la répétition des expériences aléatoires.

Intervenant 15:10

La fameuse répétition, oui. Quiconque s'intéresse un peu aux statistiques a forcément croisé le schéma de Bernoulli, non ?

Intervenant 25:17

C'est le socle conceptuel de base. Pour faire simple, on a une expérience avec deux issues claires, genre pile ou face. Et on modélise ça par une probabilité de réussite, qu'on appelle P, et une probabilité d'échec complémentaire, 1-P.

Intervenant 15:31

Jusque là, c'est très intuitif.

Intervenant 25:32

Oui, tout va bien. Mais le problème, il survient quand on cherche à connaître la probabilité d'obtenir un nombre précis de succès sur une très, très grande série de ces expériences. Des expériences qui sont répétées de manière indépendante.

Intervenant 15:47

Et c'est là que la distribution binomiale entre en jeu.

Intervenant 25:50

C'est ça. La distribution binomiale, elle est censée nous donner la réponse parfaite à ce problème.

Intervenant 15:56

Et la théorie sur le papier, elle est irréprochable. On sort le développement du binôme de Newton, on jongle avec les puissances pour les succès et les échecs, et là, on arrive au morceau de résistance.

Intervenant 26:07

Les fameuses combinaisons.