Loi normale : trois pistes pour apprivoiser les erreurs

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Allez, on plonge sans attendre dans notre sujet du jour. Pour préparer cette exploration, en fouillant un peu, je suis tombé sur un truc assez fascinant. Ah

Intervenant 20:13

oui, raconte.

Intervenant 10:15

C'est une citation qui date de 1896. C'est du grand mathématicien Henri Poincaré. Et le gars pose un paradoxe absolu, avec beaucoup d'ironie, sur ce qu'on appelle la loi des erreurs.

Intervenant 20:29

Oh, je vois très bien de quelle citation tu parles. Elle est mythique.

Intervenant 10:33

Ouais, elle est géniale. Il dit en substance que les expérimentateurs croient que c'est un théorème mathématique rigoureusement prouvé. Et de l'autre côté, les mathématiciens, eux, ils croient que c'est un fait expérimental indiscutable.

Intervenant 20:47

C'est ça. Et cette petite phrase de Poincaré, elle capture à merveille un malentendu monumental. Un truc qui a duré des décennies dans le monde scientifique en fait.

Intervenant 10:56

C'est-à-dire, tout le monde l'utilisait sans savoir d'où ça venait.

Intervenant 20:59

Exactement. Tout le monde s'appuyait sur cette loi, tout le monde construisait cette théorie dessus, mais au fond, les physiciens pensaient que la garantie venait des mathématiques, et les mathématiciens pensaient que la nature elle-même l'imposait.

Intervenant 11:12

C'est le serpent qui se mord la queue, quoi.

Intervenant 21:14

Totalement. Personne ne savait vraiment d'où venait cette certitude, ni sur quel socle, sur quelle base fondamentale elle reposait.

Intervenant 11:21

Et le cœur du problème, historiquement, il se trouve en levant les yeux au ciel. L'astronomie.

Intervenant 21:26

Bah oui, l'astronomie du XVIIIe siècle, c'est pas de la tarte.

Intervenant 11:29

Non, clair. L'observation spatiale à cette époque, c'est hyper compliqué. Les télescopes subissent des déformations à cause de la température, l'atmosphère terrestre brouille les images et puis l'œil humain fatigue.

Intervenant 21:42

C'est plein de petits paramètres qui perturbent tout.

Intervenant 11:44

Exactement. Donc, quand l'astronome essaye de mesurer la position précise d'une étoile, il fait une première mesure. Le lendemain, il repointe son télescope, il refait le calcul et bam, il obtient un résultat légèrement différent.

Intervenant 21:57

Et la troisième nuit, encore une autre valeur.

Intervenant 11:59

Voilà. Et la grande question, c'est comment on trouve la vraie valeur ? La position réelle de l'étoile au milieu de toutes ces mesures imparfaites.

Intervenant 22:07

Et l'enjeu de notre exploration d'aujourd'hui, c'est justement de retracer cette quête vertigineuse pour trouver cette vérité. Il a fallu apprendre à gérer l'erreur.

Intervenant 12:15

La dompeté, même.

Intervenant 22:16

Ouais, la modéliser et la dompter pour un extrait du vrai. Et cette aventure scientifique, elle n'a rien d'un long fleuve tranquille. Elle va convoquer des génies absolus des mathématiques, déclencher des batailles d'égo phénoménales. On

Intervenant 12:28

adore les batailles d'égo en science.

Intervenant 22:30

Tu vas être servi. Et ça va produire des retournements de situation d'une ironie totale.

Intervenant 12:36

Alors, posons le décor de notre premier acte. On est en 1774. Un esprit colossal s'attaque au problème. Pierre Simon Laplace.

Intervenant 22:46

Un géant.

Intervenant 12:47

Son objectif, c'est de trouver ce qu'il nomme le milieu de probabilité. Ce qui correspondrait aujourd'hui à la médiane en fait.

Intervenant 22:55

C'est ça.

Intervenant 12:56

Il veut déterminer de façon complètement rationnelle quelle valeur choisir entre trois observations divergentes d'un même phénomène astronomique.

Intervenant 23:03

L'approche initiale de Laplace, elle repose sur une vraie logique de construction. Pour trouver ce milieu, il estime qu'il faut d'abord connaître la forme de l'erreur.

Intervenant 13:12

D'accord.

Intervenant 23:13

Donc il cherche à tracer la courbe mathématique des probabilités, une fonction qu'il appelle phi, et qui décrirait comment une observation s'éloigne de la véritable position de l'astre.

Intervenant 13:23

Ok, je visualise. Et pour dessiner ça, il me semble qu'il pose trois conditions de base, non ?

Intervenant 23:29

Ouais, trois règles d'or qui encadrent le comportement de l'erreur. C'est hyper rigoureux.

Intervenant 13:34

Décortiquons ces trois règles alors, parce que c'est vraiment la fondation de tout l'édifice statistique moderne. Règle numéro 1, la symétrie. La place part du principe que la courbe doit être partagée en deux moitiés identiques de chaque côté de la vérité.

Intervenant 23:47

Mathématiquement, on parle d'une fonction paire. C'est-à-dire que phi de x est égal à phi de moins x.

Intervenant 13:55

En termes simples, ça donnait quoi ?

Intervenant 23:57

Le raisonnement, c'est que face à un instrument de mesure, l'observateur a autant de chances de faire une erreur par excès que par défaut.

Intervenant 14:04

Ouais, logique.

Intervenant 24:05

Si la position de l'étoile est un peu surestimée le mardi, la probabilité de la sous-estimer de la même distance le mercredi est strictement identique.

Intervenant 14:13

C'est très intuitif quand on y pense. Si on prend l'analogie d'une partie de Fléchette, par exemple.

Intervenant 24:18

Ouais, j'aime bien cette image.

Intervenant 14:20

En visant le centre de la cible, les tremblements du bras vont naturellement répartir les tirs qu'on rate. On va planter autant de fléchettes un peu trop à gauche qu'un peu trop à droite.

Intervenant 24:29

Exactement. Les erreurs s'équilibrent de part et d'autre.

Intervenant 14:32

Ok. Et j'imagine que la deuxième règle, elle concerne la distance à laquelle cette fameuse fléchette atterrit.

Intervenant 24:38

Tout à fait. La deuxième condition stipule que plus l'erreur est grande, plus sa probabilité doit chuter et s'approcher de zéro.

Intervenant 14:45

D'accord.

Intervenant 24:46

Sur un graphique, ça veut dire que les ailes de la courbe doivent redescendre et raser l'axe horizontal. C'est ce qu'on appelle une asymptote en maths. La probabilité qu'une observation s'éloigne infiniment de la vérité doit être nulle.

Intervenant 14:59

Toujours sur d'autres jeux de fléchettes, ça veut dire qu'il y a une forte probabilité de taper près du centre. Une probabilité beaucoup plus faible de taper sur le mur à côté de la cible.

Intervenant 25:09

C'est

Intervenant 15:09

ça. Et il est physiquement impossible de lancer accidentellement la fléchette sur un autre continent.

Intervenant 25:15

Voilà. Les erreurs géantes sont rarissimes, voire pratiquement inexistantes.

Intervenant 15:19

Bon, ça fait deux règles très claires. Et la troisième ?

Intervenant 25:23

La troisième règle, c'est un peu la clé de voûte des probabilités. L'air total sous cette courbe doit valoir exactement

Intervenant 15:29

1. L'air sous la courbe. Ok. Ce qui signifie qu'on rassemble toutes les possibilités pour atteindre 100% de certitude, c'est ça ?

Intervenant 25:36

Exactement. Ta fléchette, ou la mesure de l'étoile, elle finira obligatoirement quelque part.

Intervenant 15:42

Bah oui, elle ne s'évabore pas.

Intervenant 25:43

Voilà, l'intégrale de cette fonction mathématique balaie toutes les valeurs, de l'infini négatif à l'infini positif, et le total garantit que le modèle prend en compte toutes les réalités possibles.

Intervenant 15:54

100% des cas sont couverts. Ok, donc Laplace a ce cahier des charges rigoureux avec ses trois règles. Seulement, des courbes qui respectent ça, la symétrie, l'asymptote et l'air qui vaut 1, il en existe une infinité.

Intervenant 26:07

Absolument, il faut trancher. Et pour ça, Laplace fait appel à une intuition sur le comportement de l'erreur. Il postule que la fonction doit décroître de manière proportionnelle à sa propre dérivée.

Intervenant 16:17

Oula, attends, on traduit pour ceux qui ont oublié leur cours de lycée.

Intervenant 26:20

Pas de panique. Autrement dit, la vitesse à laquelle la probabilité s'effondre dépend de la probabilité elle-même. Plus on s'éloigne du centre, plus la chute est abrupte.

Intervenant 16:29

Ok, je vois. Et ça, ça l'amène à formuler sa toute première loi des erreurs. C'est une fonction exponentielle qui crée une forme assez particulière, très pointue au sommet.

Intervenant 26:38

Ouais, un peu comme la silhouette de la tour Eiffel.

Intervenant 16:41

C'est une super image. Et on l'appelle aujourd'hui la Laplacienne.

Intervenant 26:44

C'est ça. La formule, elle utilise une constante négative dans l'exponentielle, ce qui force la courbe à chuter symétriquement de chaque côté de la vérité centrale.