Brachistochrone : pourquoi le plus court n’est pas le plus rapide ?

Intervenant 10:00

Le podcast du magazine Tangente. Bienvenue à toutes et à tous pour cette nouvelle plongée mathématique. On a souvent l'habitude de penser que les mathématiques, c'est un domaine complètement figé, d'une précision un peu froide et absolue, non ?

Intervenant 20:19

Ouais, c'est vrai, on a un peu cette image. Comme si tout coulait de source depuis toujours en fait.

Intervenant 10:23

C'est ça, genre on trace un trait bien droit entre deux points, on le mesure et puis l'affaire est classée, on n'en parle plus.

Intervenant 20:30

C'est vrai que la ligne droite, ça possède ce côté hyper rassurant, hyper immédiat. Disons que c'est le chemin le plus évident.

Intervenant 10:36

Et le chemin le plus court entre un point A et un point B sur une feuille de papier, on va tous instinctivement tracer une belle ligne droite bien nette. Mais aujourd'hui, on va explorer un sujet qui bouscule complètement cette évidence. On se base sur un article vraiment fascinant du magazine Scientitel, qui s'intitule Brachistochrone, et la mission de notre exploration aujourd'hui, c'est de répondre à une question qui a l'air super simple comme ça, mais qui a littéralement tenu en haleine les plus grands esprits du XVIIe siècle. La question c'est, le chemin le plus court est-il toujours le plus rapide ?

Intervenant 21:09

Et la réponse, prouvée par la physique et les mathématiques bien sûr, c'est un non, mais alors un non catégorique. Si la ligne droite est, on est d'accord, indéniablement le chemin le plus court en matière de distance pure, ce n'est absolument pas le chemin le plus rapide pour qu'un objet descende d'un point A à un point B, sous le seul effet de la gravité.

Intervenant 11:30

Et c'est là que ça devient vraiment, mais vraiment passionnant. Cette petite question, qui ressemble presque à une devinette pour enfant, ça a été le point de départ d'une véritable épopée scientifique.

Intervenant 21:41

Ah oui, une sacrée

Intervenant 11:42

épopée. On parle d'un mystère géométrique qui a fait naître rien de moins qu'une toute nouvelle branche des mathématiques. Ça a aussi provoqué des querelles d'égo monumentales, genre des vrais clashs entre des génies historiques. Et le plus fou, c'est qu'on en retrouve aujourd'hui l'application directe sous les roulettes des skateboarders, tout simplement.

Intervenant 22:00

C'est vrai que le grand écart est marrant, mais pour bien comprendre comment on en est arrivé à appliquer un concept aussi pointu aux pistes de skatepark contemporaines, il faut d'abord remonter à la source du problème, c'est-à-dire à la naissance même de la mécanique moderne. Du coup, on remonte le temps, nous sommes en 1638, avec le savant italien Galilée.

Intervenant 12:21

Galilée, ouais. L'homme qui a quand même profondément bouleversé notre vision de l'univers et du mouvement. Mais reprenons depuis le début, pour bien poser les bases du mystère pour ceux qui nous écoutent. Le problème géométrique dont on parle, il porte un nom assez intimidant, faut l'avouer. La brachistochrone. C'est un beau mot. Oui, très classe Ouskrablin ! Si l'on décompose un peu l'étymologie, ça vient du grec ancien. On a « brachistos » qui veut dire « le plus court » et « chronos » « le temps ». Il s'agit donc littéralement de la courbe du temps le plus court.

Intervenant 22:53

C'est la définition parfaite, il n'y a rien à rajouter. L'énoncé du problème, en fait, il est d'une pureté absolue. On imagine un point de départ A et un point d'arrivée B qui est situé plus bas. Mais attention, décalé. C'est-à-dire qu'il n'est pas exactement à la verticale en dessous de A, sinon c'est juste une chute libre quoi.

Intervenant 13:14

D'accord, donc en diagonale vers le bac.

Intervenant 23:16

C'est ça. Et la question c'est quel est le profil exact de la courbe de la pente en quelque sorte sur laquelle on doit lâcher un objet pour qu'il glisse de A jusqu'à B le plus rapidement possible. Avec une grosse contrainte, la seule force en jeu doit être la gravité terrestre. Donc pas de moteur, pas de petite poussée initiale avec le doigt, rien.

Intervenant 13:37

Et donc Galilée, il s'attaque frontalement à ce problème dans son célèbre bouquin « Discours sur deux nouvelles sciences ». Et son premier réflexe de calcul, c'est de dire que le chemin le plus rapide, en ligne droite, devrait faire un angle de 45 degrés avec la verticale. Mais son instinct de physicien lui souffre qu'on peut faire beaucoup mieux que ça, non ?

Intervenant 23:58

Exactement. Il sent bien que la ligne droite c'est pas l'idéal. Il imagine ensuite que si l'objet navigue sur une succession de petits segments de droite qui sont inscrits dans un cercle, il ira plus vite. Et en poussant ce raisonnement à la limite, il généralise son intuition et il affirme que le mouvement le plus rapide n'a pas lieu sur une ligne droite, mais le long d'un arc de cercle.

Intervenant 14:16

Et ce qui est particulièrement dingue ici, et c'est vraiment le fait marquant de cette partie de l'histoire, Galilée se trompe.

Intervenant 24:23

Ah bah oui, il se plante complètement. Enfin, son intuition l'a mené sur la bonne voie en lui faisant écarter la ligne droite, c'est déjà ça, mais l'arc de cercle, c'est pas du tout la solution optimale.

Intervenant 14:35

C'est tout de même vertigineux de se dire qu'un génie, enfin un génie de l'envergure de Galilée, le père fondateur de la cinématique, l'expert absolu de la chute des corps, a pu commettre une erreur géométrique sur un concept qui semble aussi intimement lié à sa propre discipline, tu vois ?

Intervenant 24:51

Ouais, ça montre bien que personne n'est infaillible.

Intervenant 14:53

Pour bien visualiser pourquoi la ligne droite ne fonctionne pas, j'ai une analogie très parlante, celle du toboggan au parc.