La dérivée : utilisée avant d’être définie par les limites

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravée de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration.

Intervenant 20:07

Bonjour et oui, merci. Très heureux d'être là pour cette analyse.

Intervenant 10:11

Alors aujourd'hui, notre mission, c'est un peu de déconstruire une idée reçue, une illusion assez tenace sur les sciences, en fait.

Intervenant 20:18

Oui, l'idée qu'un concept mathématique n'est pas parfaitement achevé, genre prêt à l'emploi.

Intervenant 10:25

C'est ça. Et du coup, pour ça, on va s'appuyer sur un article vraiment passionnant paru dans Tangente qui détaille les travaux de l'historienne américaine Judith Victor Grabiner.

Intervenant 20:36

Tout à fait. Et c'est une approche fascinante.

Intervenant 10:39

Mais avant d'entrer dans le vif du sujet, imaginez un instant, vous devez enfoncer un clou. Mais le truc, c'est que le marteau n'a pas encore été inventé. Vous faites quoi ?

Intervenant 20:50

Je prends une pierre bien lourde et je tape.

Intervenant 10:52

Voilà. Vous attrapez une pierre et vous tapez. En fait, vous utilisez l'outil bien avant, avant même qu'il soit conceptualisé ou même nommé.

Intervenant 21:01

Et c'est là toute la beauté de l'histoire des sciences. Parce que c'est exactement, mais vraiment exactement, ce qui s'est passé avec l'un des outils les plus puissants des mathématiques. La dérivée.

Intervenant 11:11

Ah oui, la fameuse dérivée.

Intervenant 21:14

Et le modèle de Judith Victor-Grabiner décrit ce développement en quatre grandes étapes. Et de façon assez contre-intuitive, la toute première phase, c'est l'utilisation empirique avant la découverte théorique.

Intervenant 11:26

Donc l'utilisation avant la découverte. C'est fou quand on y pense.

Intervenant 21:30

Oui, et on voit ça très clairement dès le XVIIe siècle avec Pierre de Fermat.

Intervenant 11:35

D'accord, donc Fermat, en gros, il enfonçait son clou avec une pierre sans savoir qu'il tenait le premier prototype du marteau, quoi. C'est

Intervenant 21:43

exactement ça.

Intervenant 11:43

Mais concrètement, c'était quoi son problème de départ à Fermat ? Enfin, je veux dire, qu'est-ce qu'il cherchait à faire avec sa fameuse pierre ?

Intervenant 21:51

Alors, en fait, il cherchait une méthode pour trouver les maximums ou les minimums d'une fonction.

Intervenant 11:56

Ce qu'on appelle les extrémums, c'est ça ?

Intervenant 21:58

Voilà, les extrémums. Pour bien visualiser le truc, imaginez que vous lancez une balle en l'air.

Intervenant 12:04

Ok.

Intervenant 22:04

Elle monte, elle ralentit, elle s'arrête une fraction de seconde au sommet, et puis elle redescend.

Intervenant 12:10

Ouais, logique.

Intervenant 22:12

Et Fermat, il a compris que pour trouver ce point culminant, ce maximum absolu, il fallait chercher le moment précis où la variation, disons la vitesse de la balle, s'annulait et devenait plate.

Intervenant 12:23

Ah d'accord, donc cette pente qui s'aplatit, cette valeur qui s'annule, c'est le mécanisme de base de ce qu'on appellera la dérivée plus tard.

Intervenant 22:31

Exactement. Il a vu que pour trouver le sommet, il faut chercher là où la pente s'annule.

Intervenant 12:36

Donc il voit que sa méthode marche, genre à tous les coups, mais il n'a pas du tout la théorie globale derrière.

Intervenant 22:41

C'est ça. Il résout ses problèmes géométriques avec une intuition brillante. Et parce que cette astuce fonctionnait sur le terrain, presque comme par magie, il fallait bien que quelqu'un finisse par en déchiffrer les vraies règles.

Intervenant 12:53

Et du coup, ça, c'est ce qui nous fait passer à la deuxième étape de Gravinet, non ?

Intervenant 22:57

Tout à fait. L'étape de la découverte officielle.

Intervenant 12:59

Et là, on fait entrer les poids lourds de l'histoire des maths. Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. En gros, la naissance de l'analyse mathématique.

Intervenant 23:08

Voilà. Eux, ils isolent véritablement le concept. Newton, il l'aborde surtout sous l'angle du mouvement. Tandis que Leibniz, lui, va lui donner une existence, on va dire formelle, plus abstraite.

Intervenant 13:21

Et si je ne dis pas de bêtises, c'est à Leibniz qu'on doit le terme précis dérivé, non ?

Intervenant 23:26

Oui, oui, absolument. Le terme dérivé et même les notations qu'on utilise encore aujourd'hui. Donc là, en gros, il fabrique le premier vrai marteau.

Intervenant 13:34

Bon, Leibniz lui donne un nom, Newton établit les calculs. On pourrait se dire que l'affaire est classée, quoi. Ils ont rédigé le manuel d'instruction et les mathématiques sont sauvées.

Intervenant 23:44

On pourrait le croire, ouais. Mais en fait, c'est complètement faux.

Intervenant 13:48

Ah bon ?

Intervenant 23:49

L'étape qui suit immédiatement cette découverte, curieusement, ce n'est pas du tout la définition stricte. C'est ce que Grabinet appelle l'exploration. Mais une exploration presque sauvage.

Intervenant 14:00

Sauvage comment ?

Intervenant 24:01

Au XVIIIe siècle, des successeurs, notamment Joseph-Louis Lagrange, s'emparent de cet outil pour résoudre des problèmes gigantesques, genre la mécanique céleste.

Intervenant 14:11

Ah ouais, carrément ! Ultra moderne !

Intervenant 24:13

Ils repoussent les frontières, ils calculent des dérivées de dérivées, des développements en série. Mais le truc, c'est que leurs fondations sont super bancales.

Intervenant 14:21

Bancales dans quel sens ? Ils faisaient des erreurs de calcul avec les planètes ?

Intervenant 24:25

Pas des erreurs de résultats, non. Mais disons qu'ils trichaient un peu avec la logique mathématique.

Intervenant 14:31

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:32

Le problème, c'est que pour calculer cette fameuse pente à un instant T, ils utilisaient ce qu'ils appelaient des quantités infiniment petites. Des valeurs qui n'étaient pas tout à fait zéro, mais presque.

Intervenant 14:42

Oula, attendez, diviser par zéro, c'est le péché capital en mathématiques. Ça fait littéralement exploser les équations, non ?

Intervenant 24:50

Bah oui.

Intervenant 14:50

Donc s'ils utilisaient des valeurs presque zéro, c'est hyper dangereux.

Intervenant 24:55

Mais mathématiquement, c'est comme construire un gratte-ciel sur des sables mouvants. Ils flirtaient avec la division par zéro sans jamais justifier rigoureusement pourquoi leur édifice ne s'effondrait pas quoi.

Intervenant 15:06

C'est fou. Leur résultat était juste sur le terrain, mais la méthode heurtait complètement le bon sens logique.

Intervenant 25:14

Exactement. Et du coup, il a fallu attendre le XIXe siècle et donc la quatrième étape du modèle de Grabiner pour que la fondation soit enfin consolidée.

Intervenant 15:22

Et là, on parle de qui ?

Intervenant 25:23

Surtout de mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy et Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, c'est eux qui décident enfin d'assainir tout

Intervenant 15:31

ça. Et c'est là qu'intervient le concept qui donne des sueurs froides à tous les lycéens, le concept de limite.

Intervenant 25:38

À ça, oui.

Intervenant 15:39

Mais comment ce fameux concept de limite, il vient régler ce problème de sable mouvant ?

Intervenant 25:44

Eh bien, au lieu d'essayer de diviser par une quantité infiniment petite ce qui, on l'a dit, brise les règles.

Intervenant 15:51

Oui, le fameux péché capital.

Intervenant 25:53

Voilà. La limite, elle permet d'observer vers quelle valeur on se dirige sans jamais l'atteindre. En fait, Cauchy et Weierstein ont créé un cadre ultra-strict qui encadre mathématiquement cette idée d'approche.

Intervenant 16:07

Ah, je vois. Si je comprends bien, c'est un peu comme marcher vers le bord d'une falaise. On peut calculer très exactement où se trouve le bord, en s'en approchant d'aussi près qu'on veut, mais sans avoir besoin de faire le dernier pas et de sauter dans le vide de la division par zéro.

Intervenant 26:22

Mais c'est une très belle image, ça. C'est tout à fait ça. La limite, elle définit le bord de la falaise avec une rigueur absolue, sans jamais tomber dans le paradoxe. D'accord. Et en fait, c'est cette définition formelle inattaquable qui a enfin clôturé le développement de la dérivée. Et c'est celle qu'on utilise toujours aujourd'hui.

Intervenant 16:39

Donc si on résume l'histoire telle qu'elle est racontée par Garbiner, on utilise d'abord de façon purement intuitive.

Intervenant 26:46

Étape 1.

Intervenant 16:47

Ensuite on découvre et on nomme le concept.

Intervenant 26:49

Étape 2.

Intervenant 16:50

Puis on l'explore dans tous les sens, de façon un peu périlleuse.

Intervenant 26:53

Ouais, l'exploration sauvage.

Intervenant 16:55

Et enfin, à la toute fin, on le définit formellement.

Intervenant 26:57

C'est ça. Et ce qui est vraiment fascinant quand on y pense, c'est que ce processus, il gomme totalement la manière dont nous, on apprend les mathématiques aujourd'hui.

Intervenant 17:05

Ah ouais, c'est

Intervenant 27:06

vrai. L'histoire des maths, elle s'est construite à l'inverse exact de notre apprentissage scolaire. Qui est au tableau, quoi. Ah bah oui, directe la définition formelle.

Intervenant 17:15

Et ensuite seulement on fait des exercices. On nous enseigne la ligne d'arrivée comme si c'était le point de départ en fait.

Intervenant 27:21

Alors que bon, la définition c'est juste la cristallisation d'une très longue exploration humaine. Une exploration faite d'intuitions figurantes, de tâtonnements, d'erreurs même.

Intervenant 17:31

Et ça change complètement la façon de voir les sciences. C'est beaucoup plus organique.

Intervenant 27:34

Complètement.

Intervenant 17:35

Et ça m'amène d'ailleurs à une dernière réflexion pour clôturer un peu notre analyse d'aujourd'hui.

Intervenant 27:40

Je vous écoute.

Intervenant 17:41

Si des esprits aussi brillants que Lagrange ou Leibniz ont pu manipuler la dérivée pendant des siècles, avec un succès retentissant, avant même de savoir la définir rigoureusement, eh bien quels algorithmes, quels réseaux de neurones ou outils technologiques est-ce qu'on est en train de manipuler avec un aplomb total aujourd'hui, alors que leur véritable définition mathématique fondamentale attend encore d'être formulée ?

Intervenant 28:05

C'est une excellente question ça.

Intervenant 18:07

N'est-ce pas ? Finalement, la question, c'est avec quelle nouvelle pierre est-ce qu'on tape aujourd'hui ? En attendant de découvrir notre marteau de demain. Sur ce, on vous laisse méditer là-dessus et à très bientôt pour une prochaine exploration.