Nombres algébriques : la famille que l’on peut numéroter

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Et si on disait que la quasi-totalité des nombres qui existent forme en fait un océan complètement invisible ? Une immensité insaisissable.

Intervenant 20:14

Oui, c'est une image forte.

Intervenant 10:15

Et que tout ce qu'on manipule au quotidien, ce serait juste une goutte d'eau complètement insignifiante à

Intervenant 20:21

côté. C'est vraiment une excellente façon d'aborder la plongée d'aujourd'hui, je trouve. Parce que bon, on part souvent du principe que la ligne des nombres réels est bien rangée, tu vois.

Intervenant 10:30

D'accord.

Intervenant 20:30

Qu'elle est totalement maîtrisée. Il y a les rationnels d'un côté, les irrationnels de l'autre.

Intervenant 10:35

L'ordre parfait, quoi.

Intervenant 20:36

Voilà, l'ordre parfait. Mais au 19e siècle, il y a un mathématicien allemand, Richard Dedekind, qui a complètement bousculé cette vision.

Intervenant 10:43

Ah oui, il a cherché plus loin. Exactement. Il a formalisé une structure mathématique

Intervenant 20:48

cachée, vraiment un univers parallèle hyper puissant, celui des nombres algébriques.

Intervenant 10:52

Et la mission de notre discussion aujourd'hui, pour quiconque nous écoute, ce n'est d'ailleurs pas de dresser un catalogue d'équations super austères, on veut vraiment comprendre comment cet algèbre abstrait a été façonné.

Intervenant 21:03

C'est ça oui. Parce que l'objectif initial, c'était de résoudre des mystères géométriques qui hantaient les esprits depuis l'Antiquité en fait. Comme l'inatteignable quadrature du cercle par exemple.

Intervenant 11:12

Absolument. Et au fil de ces recherches, c'est une véritable hiérarchie secrète qui est apparue au sein même des nombres.

Intervenant 21:19

C'est dingue. Dédou Cagnes, de lui, il a cherché à imposer un ordre rigoureux. Et pour comprendre la beauté de cette architecture, il faut d'abord saisir la règle d'or.

Intervenant 11:27

Le test

Intervenant 21:28

d'entrée. Oui, le test d'entrée pour pénétrer dans ce cosmos. Un nombre doit passer un test très précis. Il doit être la solution d'une équation polynomiale dont les coefficients sont exclusivement des entiers relatifs.

Intervenant 11:42

Donc des entiers purs, qu'ils soient positifs ou négatifs. En fait, c'est l'empreinte digitale mathématique du nombre. C'est

Intervenant 21:49

exactement

Intervenant 11:50

ça. Si un nombre, peu importe sa complexité apparente, s'il laisse derrière lui une trace polynomiale faite de coefficients entiers, paf, il reçoit le titre de nombre algébrique.

Intervenant 22:01

Voilà. Et s'il refuse obstinément de s'annuler dans une telle équation, donc s'il est impossible de lui trouver cette fameuse empreinte, alors là, on le déclare transcendant.

Intervenant 12:10

Transcendant, d'accord. Mais bon, pour les nombres les plus simples, le test est immédiat, non ? Si on prend la fraction 3,5.

Intervenant 22:17

Oui.

Intervenant 12:17

Son équation naturelle, c'est 2x-3 égale 0. Tout à fait. Les coefficients sont 2 et –3. L'empreinte est là. Donc, les rationnels sont tous algébriques d'office. Mais, et là je me fais un peu l'avocat du diable...

Intervenant 22:32

Vas-y.

Intervenant 12:33

L'histoire devient fascinante quand on aborde des nombres dont on sait qu'ils ne se terminent jamais. Attends. On sait depuis l'Antiquité grecque que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle.

Intervenant 22:43

C'est vrai.

Intervenant 12:43

Alors, est-ce qu'elle peut quand même être algébrique ?

Intervenant 22:46

Bah oui, son statut algébrique est même incontestable en fait. Parce que bon, elle est irrationnelle, ses décimales n'ont aucune période répétitive, ça c'est

Intervenant 12:53

sûr.

Intervenant 22:54

Mais elle est la solution évidente de l'équation x²-2 égale 0.

Intervenant 12:58

Ah bah oui ! Le coétition de x² c'est 1 et le terme constant c'est –2. Le test est validé.

Intervenant 23:04

C'est ça. En réalité, toutes les racines de nombres entiers, qu'elles soient carrées, cubiques ou autres, elles possèdent toute cette empreinte algébrique.

Intervenant 13:13

C'est fou. Mais bon, ce qui est intuitif pour une racine simple, ça le devient beaucoup moins quand on commence à mélanger les trucs.

Intervenant 23:21

C'est vrai.

Intervenant 13:21

Si on imagine un nombre construit en additionnant deux racines distinctes, genre la racine carrée de 2 plus la racine carrée de 3.

Intervenant 23:29

Ouais, le cas classique.

Intervenant 13:30

Instinctivement, on se dit qu'en élevant cette somme au carré, les fameux doubles produits vont générer une espèce de mélange inextricable d'irrationnel, non ? On a l'impression que l'empreinte à coefficients entiers est perdue d'avance.

Intervenant 23:43

Eh bien, l'apparence est trompeuse. Et c'est ici que la stratégie algébrique prend tout son sens, justement. L'approche, ce n'est pas de calculer à l'aveugle, mais d'utiliser un mécanisme d'isolation systématique.

Intervenant 13:55

D'isolation, c'est-à-dire ?

Intervenant 23:57

On nomme ce nombre complexe U. Et l'astuce fondamentale, c'est de faire passer l'une des racines de l'autre côté de l'égalité pour l'isoler physiquement des autres. Donc au lieu de garder U égale racine de 2 plus racine de 3, on écrit U moins racine de 2

Intervenant 14:13

Égale racine de 3.

Intervenant 24:14

Exactement.

Intervenant 14:15

D'accord, l'objectif c'est d'éliminer les racines par vagues successives en fait. Un peu comme on purifie un minerai.

Intervenant 24:20

C'est une super analogie. En élevant cette nouvelle équation au carré, la racine de 3 qui est toute seule de son côté, elle se transforme en un simple 3 entier. Logique. Il reste évidemment une racine du côté gauche, à cause du double produit. Mais elle est désormais accrochée à la variable u, donc beaucoup plus isolée.

Intervenant 14:34

Ok, je saisis le truc. Donc une fois cette racine restante à nouveau isolée d'un côté de l'équation, on frappe avec un second carré.

Intervenant 24:41

Et là, l'effet est radical. Toutes les racines sautent définitivement. On atterrit sur une équation d'une pureté absolue. u à la puissance 4, moins 10u au carré, plus 1 égale 0.

Intervenant 14:54

Ouah, c'est vraiment une révélation d'élégance. On est parti d'une somme de racines qui semblait incontrôlable.

Intervenant 25:00

Ouais.

Intervenant 15:00

Et par cette méthode de purification, on obtient un polynôme avec des coefficients entiers parfaits, 1, moins 10 et 1.

Intervenant 25:07

C'est irréfutable.

Intervenant 15:08

Donc la somme de ces deux racines est bel et bien un nombre algébrique. Et d'ailleurs, cette traque obstinée de l'empreinte polynomial, ce n'était pas qu'un jeu d'esprit abstrait. C'est quand même ce qui a permis de clore définitivement le dossier sur la fameuse quadrature du cercle.

Intervenant 25:23

Ah oui, il faut mesurer l'immense frustration que représentait ce problème géométrique.

Intervenant 15:27

Tu m'étonnes.

Intervenant 25:28

Pendant plus de deux millénaires, des générations entières de géomètres se sont acharnées à vouloir construire un carré ayant très exactement la même ère qu'un disque donné. Et ça, avec pour seuls outils une règle non graduée et un compas.

Intervenant 15:42

Mission impossible, quoi.

Intervenant 25:43

Le nœud du problème, en fait, c'était la nature profonde du nombre pi.

Intervenant 15:47

Parce qu'on savait, depuis les travaux de Heinrich Lambert en 1767, que Pi était irrationnel. Mais l'irrationalité seule ne prouvait pas l'impossibilité de la construction géométrique.

Intervenant 25:59

Non, ça ne suffisait pas. Il manquait vraiment la pièce maîtresse du puzzle algébrique.

Intervenant 16:03

Et le tournant, c'est en 1837, c'est ça ?

Intervenant 26:05

C'est ça. Lorsque Pierre-Laurent Wansel a démontré que tout point constructible à la règle et au compas était intrinsèquement lié à des équations polynomiales très spécifiques.

Intervenant 16:15

D'accord.

Intervenant 26:15

Donc, pour que la quadrature du cercle soit possible, Pi devait impérativement posséder une empreinte algébrique.

Intervenant 16:21

Sauf que le coup de grâce est survenu en 1882. C'est Ferdinand von Lindemann qui a porté ce coup, non ?

Intervenant 26:28

Exactement. Il a prouvé de manière définitive que Pi est transcendant. Quoi qu'on fasse,

Intervenant 16:33

quelles que soient les

Intervenant 26:34

manipulations, Pi n'annulera jamais aucune équation polynomiale à coefficient entier. Jamais.

Intervenant 16:40

C'est fou ! Le pont entre la géométrie physique idéalisée par les Grecs et l'algèbre était complètement rempli du coup. La quadrature du cercle n'est pas juste difficile, elle est structurellement impossible.

Intervenant 26:53

Complètement.