Théorie des ensembles : comment un mot ancien a gagné les maths ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente aujourd'hui. On va faire une plongée dans un texte vraiment fascinant qui s'appelle « Les mots des ensembles ».

Intervenant 20:09

Oui, c'est un texte qui décortique l'histoire un peu cachée de notre langage mathématique.

Intervenant 10:14

Exactement, parce qu'on a souvent cette image des mathématiques comme une science pure, hyper-sroide, qui serait limite tombée du ciel directement sur le tableau noir de quelques génies.

Intervenant 20:25

Ben oui, on oublie que c'est surtout un immense bricolage historique en fait.

Intervenant 10:29

C'est ça. Et l'idée de notre analyse d'aujourd'hui, c'est vraiment d'aborder les maths non pas comme une discipline rigide, mais plutôt comme une langue étrangère bien vivante dont on va remonter la piste.

Intervenant 20:40

Et pour commencer cette exploration, le mieux c'est de s'attaquer au mot de passe absolu de cette langue, donc le terme « ensemble ».

Intervenant 10:46

Ah oui, le mot de base par excellence.

Intervenant 20:49

Voilà. On a l'impression qu'il a toujours été là pour regrouper des nombres. Sauf que son étymologie, elle raconte une toute autre histoire.

Intervenant 10:56

Vas-y, je suis curieuse.

Intervenant 20:57

Alors, à l'origine, ça vient du latin « en simule » vers l'an 1050. Et à l'époque, ça voulait juste dire « à la fois ».

Intervenant 11:05

D'accord, donc rien à voir avec les maths pour le moment ?

Intervenant 21:07

Pas du tout, non. Et le plus ironique, c'est que ce mot a d'abord fait carrière dans les beaux-arts.

Intervenant 11:13

Dans les

Intervenant 21:13

arboses. Ouais. Vers 1664, on parlait du tout-ensemble pour juger de l'harmonie des proportions dans un tableau.

Intervenant 11:20

Attends, c'est quand même fou ça !

Intervenant 21:22

Et ça s'arrête pas là. Ensuite, en 1755, c'est l'armée qui récupère le terme.

Intervenant 11:27

L'armée ?

Intervenant 21:27

Ouais. Pour en faire quoi ?

Intervenant 11:29

Eh bien, pour décrire la synchronisation des troupes en mouvement, tout simplement. Mais du coup, si le mot vient d'abord de l'art, puis du jargon militaire, qu'est-ce que les mathématiciens utilisaient avant ça pour désigner leur groupe de nombres ? Ils n'avaient rien.

Intervenant 21:42

Bah, ils parlaient de système, ou de classe, ou même de collection, mais il n'y avait pas de terme vraiment unifié.

Intervenant 11:48

Ok, je vois.

Intervenant 21:49

L'usage mathématique strict du mot « ensemble », il n'arrive qu'en 1890. Ah ouais,

Intervenant 11:53

c'est hyper tard en fait.

Intervenant 21:55

Ah bah complètement. Et c'était purement utilitaire. Il fallait traduire d'urgence le mot allemand Meng.

Intervenant 12:01

D'accord.

Intervenant 22:02

C'est un mot qui était utilisé par Georges Cantor quelques années plus tôt, vers 1883, pour désigner rigoureusement une collection d'éléments.

Intervenant 12:10

C'est incroyable d'avoir attendu la fin du XIXe siècle pour nommer la base des mathématiques.

Intervenant 22:14

Oui, c'est assez dingue.

Intervenant 12:16

Mais bon, c'est bien beau d'avoir enfin un mot, mais si on ne peut pas dessiner les relations entre ces groupes sur le papier, on reste un peu bloqué, non ?

Intervenant 22:24

Exactement. Il manquait une syntaxe.

Intervenant 12:26

Et du coup, qui a inventé ce fameux code visuel des ensembles qu'on a tous croisés au lycée ?

Intervenant 22:31

C'est Cantor ?

Intervenant 12:32

Eh ben non. Justement, ce n'est pas Cantor, le père de la théorie, qui l'a fait. Le véritable architecte de cette grammaire, c'est un Italien né en 1858. Il s'appelle Giuseppe Peano.

Intervenant 22:46

Ah, Peano, d'accord.

Intervenant 12:47

Et ce qui est vraiment captivant avec lui, c'est le décalage immense entre l'homme et son invention.

Intervenant 22:53

C'est-à-dire ?

Intervenant 12:54

Peano était réputé pour être un professeur effroyable. Ses étudiants fuyaient carrément ses cours parce qu'il était brouillon et souvent, enfin, totalement incompréhensible.

Intervenant 23:04

Ah, c'est super ironique ça. C'est même totalement contre-intuitif. Oui, c'est le moins qu'on puisse dire.

Intervenant 13:09

Mais s'il ne savait pas du tout enseigner, comment il a pu créer un outil pédagogique qui est devenu aussi universel ? Je veux dire, est-ce que ce n'était pas plutôt pour son propre confort intellectuel, une sorte d'obsession maniaque de l'ordre ?

Intervenant 23:26

C'est très probable, oui. En fait, il voulait purger les mathématiques de toute l'ambiguïté du langage naturel. Donc il a introduit des symboles hyper stricts.

Intervenant 13:33

Des exemples ?

Intervenant 23:34

Par exemple, pour dire qu'un élément appartient à un ensemble, il a pris la première lettre du verbe grec « estin » qui veut dire « il est ».

Intervenant 13:41

Ok, logique.

Intervenant 23:42

Et c'était un epsilon grec qui sera un peu plus tard stylisé avec ce fameux symbole d'appartenance qu'on connaît bien par Bertrand Russell.

Intervenant 13:49

Ah, pour éviter qu'on le confonde avec d'autres variables en analyse, c'est ça ?

Intervenant 23:52

Exactement.

Intervenant 13:53

Bon, alors, on pioche dans le grec. Très bien. Mais il me semble qu'il a aussi beaucoup recyclé sa langue maternelle, l'italien, non ?

Intervenant 24:01

Ah bah, il l'a fait au plus simple. Pour le quantificateur existentiel, la fameuse formule « il existe », il a pris l'initial du mot italien « esisté ». Et il l'a littéralement imprimé à l'envers.

Intervenant 14:13

Comme dans un miroir, quoi.

Intervenant 24:14

Voilà, créant le fameux E majuscule inversé. En fait, il faut se replacer dans le contexte technologique de l'époque. Inventer des formes complexes, ça coûtait extrêmement cher en imprimerie.

Intervenant 14:24

Ah bah oui, bien sûr, les caractères de plomb.

Intervenant 24:27

C'est ça. Prendre un caractère de plomb qui existait déjà dans une presse et le retourner physiquement, c'était une solution super pragmatique, très économique et redoutablement efficace.

Intervenant 14:36

Mais c'est du véritable piratage typographique ça. Ça me rappelle l'époque où l'on inventait des raccourcis visuels sur les tout premiers claviers de téléphone portable pour taper des SMS plus vite.

Intervenant 24:46

Ah oui, c'est vrai.

Intervenant 14:48

On prend ce qu'on a sous la main et on lui donne un sens radicalement nouveau. C'est génial.

Intervenant 24:52

L'analogie est parfaite. Et le truc, c'est que ce piratage, il a fait école.

Intervenant 14:56

Ah bon ? D'autres l'ont

Intervenant 24:57

fait ? Oui. En 1935, le logicien allemand Gerhard Jensen s'est retrouvé face au même problème matériel. Il voulait exprimer l'idée de « pour tout ».

Intervenant 15:07

Et il a copié la méthode de Peano ?

Intervenant 25:09

Exactement. Il a pris le A majuscule de l'allemand Holzeisen, qui signifie « tout signe », et il l'a retourné pour créer notre A inversé.

Intervenant 15:17

D'accord, donc si je résume bien, on a une initiale grecque bidouillée par un britannique, un E imprimé à l'envers qui vient de l'italien et un A retourné venu de l'allemand.

Intervenant 25:28

C'est un beau mélange oui.

Intervenant 15:30

Et ensuite, au milieu du XXe siècle, on voit apparaître en français des mots dérivés comme « sous-ensemble » ou « ensembliste ». En fait, ce qu'on prend pour une science froide est en réalité un immense projet collaboratif en open source.

Intervenant 25:43

Ouah, on peut carrément dire ça.

Intervenant 15:45

Et tout ça est bâti sur les contraintes d'imprimerie de l'époque. Je suis vraiment fascinée.

Intervenant 25:49

Ah mais la rigueur mathématique ne flotte définitivement pas dans un univers abstrait. Elle est vraiment ancrée dans l'histoire humaine, façonnée par les arts, les armées et même les contraintes techniques de l'édition.

Intervenant 16:00

Et le brassage des langues européennes, bien sûr.

Intervenant 26:02

Tout à fait.

Intervenant 16:02

Écoutez, voir les mathématiques comme une langue vivante et bricolée au fil des siècles, voilà qui démystifie pas mal de choses pour le coup.

Intervenant 26:10

Oui, ça rend la matière beaucoup plus accessible, je trouve.

Intervenant 16:13

Complètement. D'ailleurs, sachant que nos symboles les plus fondamentaux ne sont au fond que de simples lettres volées et inversées, ça pose une question intéressante.

Intervenant 26:24

Laquelle ?

Intervenant 16:25

Comment une forme d'intelligence radicalement différente s'y prendrait-elle aujourd'hui ? Si une intelligence artificielle totalement autonome, coupée de notre héritage historique et surtout de nos anciennes presses à imprimer, devait inventer sa propre syntaxe pour exprimer ces mêmes vérités universelles, quel symbole choisirait-elle ?

Intervenant 26:43

C'est une excellente question ça.

Intervenant 16:45

Ce qui est certain, c'est qu'elle ne retournerait probablement pas un simple E à l'envers. Sur cette réflexion, l'analyse touche à sa fin. A très bientôt pour une nouvelle plongée mathématique.