Du vecteur au signal : les étapes d’une décomposition

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie d'accueillir notre auditoire pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 20:08

Bonjour à tous. Très content d'être là pour cette discussion qui s'annonce assez intense.

Intervenant 10:13

Ah ça, pour être intense, ça va l'être. Bon, pour planter le décor, imaginons un instant un smartphone.

Intervenant 20:20

D'accord.

Intervenant 10:20

Quand on envoie un long message vocal, ou dans un registre beaucoup plus critique, quand un électrocardiogramme est transmis en direct depuis une zone blanche vers un grand hôpital, on peut se poser une question.

Intervenant 20:34

Comment la machine fait pour compresser toutes ces données ?

Intervenant 10:37

Exactement. Comment elle fait pour compresser ça sans perdre la moindre petite nuance du signal ? C'est quand même vital pour un ECG quoi.

Intervenant 20:44

C'est clair. Et en fait, la réponse à cet énigme technologique, elle ne se trouve pas du tout dans les puces électroniques. C'est avant tout une vertigineuse révolution mathématique.

Intervenant 10:55

Donc le but de notre exploration aujourd'hui, c'est de comprendre tout ça.

Intervenant 20:59

Voilà, c'est de comprendre comment l'analyse harmonique et fonctionnelle a permis un exploit carrément impensable. C'est-à-dire prendre des ondes, qui sont à la base des fonctions mathématiques purement abstraites, et les transformer en de simples objets géométriques pour révolutionner notre environnement numérique.

Intervenant 11:17

Et on va décortiquer tout ça parce qu'on va découvrir que des courbes, des ondes qui se baladent sur un graphique, elles peuvent avoir des angles entre elles.

Intervenant 21:25

Oui, des angles.

Intervenant 11:26

C'est fou, des ondes perpendiculaires. C'est assez contre-intuitif quand on a l'habitude de penser aux angles, je ne sais pas, entre des murs ou des lignes droites.

Intervenant 21:36

C'est sûr que ça demande un peu de gymnastique mental.

Intervenant 11:39

Totalement. Mais pour comprendre comment une courbe peut avoir un angle, il faut d'abord remonter un peu le temps. On ne passe pas de la géométrie classique à la compression d'un battement de cœur sans un gros bouleversement de la façon dont on perçoit l'espace.

Intervenant 21:52

Tout à fait. Et l'histoire, elle commence avec une géométrie hypervisuelle. C'est celle des Grecs anciens, en fait.

Intervenant 11:58

Les fameuses formes idéales.

Intervenant 22:00

C'est ça. Il concevait des cercles parfaits, des triangles, des volumes, des choses qu'on pouvait littéralement dessiner dans le sable quoi. Et le premier grand saut conceptuel, il survient bien plus tard, au XVIIe siècle, quand René Descartes introduit le système des coordonnées.

Intervenant 12:16

Ah, Descartes et son fameux repère cartésien.

Intervenant 22:19

Voilà. Et ça, c'est une révolution, parce que soudainement, on jette un vrai pont entre l'algèbre et la géométrie. Quelque part, l'espace se numérise.

Intervenant 12:28

On place un espèce de quadrillage sur le monde. Et c'est ce quadrillage qui va permettre un peu plus tard l'apparition des vecteurs.

Intervenant 22:34

Ouais, exactement. Au XIXe siècle, il y a des mathématiciens comme Bernard Bolzano, puis Giusto Bellavitis avec son calcul de l'équipolence qui commence à formaliser ces entités-là.

Intervenant 12:45

D'accord.

Intervenant 22:46

Mais c'est vraiment Giuseppe Peano qui finit par donner la définition moderne d'un espace vectoriel. Un vecteur, pour faire simple, on le visualise souvent dans un espace à trois dimensions.

Intervenant 12:56

Ouais, les trois flèches classiques.

Intervenant 22:57

C'est ça, ces trois coordonnées X, Y et Z qui définissent en fait une direction et une intensité.

Intervenant 13:04

Bon, jusque-là, tout va bien pour notre auditoire, je pense. Dans un espace en 3D, on arrive facilement à se représenter cette flèche dans une pièce. C'est comme passer d'une simple carte routière en 2D à un univers multidimensionnel où les trajectoires deviennent des flèches.

Intervenant 23:20

Ouais, la métaphore marche bien.

Intervenant 13:21

Mais j'ai l'impression que c'est ici que l'abstraction prend vraiment le dessus. On voit arriver au début du XXe siècle des esprits, des génies comme Stefan Banach, Frigies Ries ou encore John von Neumann. Et là, paf, c'est la bascule.

Intervenant 23:36

Ah mais c'est une bascule phénoménale. Ils fondent carrément l'analyse fonctionnelle avec une idée hyper audacieuse. Ils se disent, et si nos vecteurs n'étaient plus limités à trois petites coordonnées spatiales ? Et si, attention, et si le vecteur lui-même était une fonction tout entière ?

Intervenant 13:51

Attends, il faut qu'on s'arrête là-dessus deux secondes. Une fonction, mathématiquement, c'est une relation qui calcule un point d'arrivée pour chaque point de départ.

Intervenant 24:00

C'est ça.

Intervenant 14:00

Si on la trace, ça fait une ligne continue, donc ça veut dire qu'elle est composée d'une infinité de points. Comment c'est possible de traiter une infinité de points comme un seul et unique vecteur ?

Intervenant 24:11

C'est la magie du truc.

Intervenant 14:12

Mais si on considère chaque point d'une courbe comme une coordonnée, ça, ça voudrait dire qu'on se trouve dans un espace géométrique à une infinité de dimensions, non ?

Intervenant 24:20

Mais c'est exactement la conclusion logique. Et c'est précisément ce qui donne naissance aux fameux espaces de Hilbert, qui ont été formalisés par Von Neumann.

Intervenant 14:28

Ah ouais. Donc on quitte totalement nos trois dimensions confortables,

Intervenant 24:32

On les quitte pour des espaces de dimensions infinies. Mais attention, pour que cette audace mathématique tienne debout, il y a une condition stricte. On ne peut pas juste regrouper n'importe quelle fonction n'importe comment, sinon l'espace s'effondre sur lui-même, ça devient chaotique.

Intervenant 14:47

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:48

Il y a un code de conduite géométrique à respecter pour ces fonctions.

Intervenant 14:52

Ouais, en termes techniques, on dit que ces fonctions doivent être stables par combinaison linéaire.

Intervenant 24:57

Ok. Et concrètement, si on prend un espace formé par des fonctions continues, comment ça se traduit ? Eh bien, si on choisit deux de ces fonctions, disons une fonction f et une fonction g, on multiplie f par un nombre réel alpha, g par un nombre bêta.

Intervenant 15:14

On étire ou on compresse nos fonctions, en

Intervenant 25:16

gros. Voilà, c'est ça. On change l'amplitude. Et l'étape cruciale, c'est l'addition de tout ça. Si on additionne les deux résultats, la nouvelle fonction créée, donc l'expression alpha f plus bêta g, elle doit obligatoirement rester une fonction continue.

Intervenant 15:31

D'accord, elle ne doit pas sortir du cadre.

Intervenant 25:34

Exactement, elle ne doit pas sortir de l'espace qu'on a défini. Cette stabilité, c'est ce qui garantit que notre espace infini garde une structure bien solide. Et ce qui est merveilleux, c'est que dans ces espaces construits sur les nombres réels, ce qu'on appelle les espaces euclidiens, on conserve carrément le vocabulaire géométrique de la 3D.

Intervenant 15:52

C'est là que ça devient vraiment captivant. Mais ça demande quand même une sacrée gymnastique mentale.

Intervenant 25:56

Ah bah c'est sûr !

Intervenant 15:58

Parce que dans mon salon en 3D, je peux très bien prendre un mètre pour mesurer la longueur d'un vecteur ou un rapporteur pour l'angle entre deux flèches. Mais si mon vecteur, c'est une fonction qui ondule dans un espace de dimensions infinies, on fait comment ? On ne va pas apposer un rapporteur en plastique sur des équations.

Intervenant 26:15

Non, ça ne risque pas de marcher. L'outil qui remplace le mètre et le rapporteur ici, c'est l'intégration.

Intervenant 16:22

L'intégration, OK.

Intervenant 26:23

L'intégration, pour rappel, c'est une opération qui prend une fonction et lui associe un nombre unique, un scalaire. C'est vraiment la candidate idéale pour définir ce qu'on appelle le produit scalaire entre deux fonctions.