Fractions imbriquées : le parcours inattendu vers 1/√2

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on ne va pas se contenter d'effleurer la surface de notre sujet. On entame vraiment une plongée fascinante et très franchement vertigineuse au cœur même des mathématiques.

Intervenant 20:14

Bonjour à toutes et à tous. Et vertigineuse, c'est vraiment le mot juste pour ce qu'on va aborder.

Intervenant 10:19

Ah oui, complètement. L'objectif de cette exploration, c'est de montrer comment une simple manipulation, un petit jeu arithmétique avec des fractions, le genre de truc qu'on pourrait presque faire au collège quoi, peut soudainement ouvrir une porte dérobée vers des concepts d'une profondeur absolue.

Intervenant 20:34

C'est ça, oui. C'est la beauté de la discipline en fait, partir de choses très simples

Intervenant 10:38

Voilà. Et pour que tout le monde ait bien l'image en tête, on va s'intéresser à ce qu'on pourrait appeler, familièrement, des fractions de fractions sans frein.

Intervenant 20:45

Sans aucun frein,

Intervenant 10:48

oui. Genre, imaginez qu'on prenne une part de gâteau mathématique, disons 1 demi. Ensuite, on décide de diviser ce demi par une autre fraction, par exemple 3 quarts.

Intervenant 20:59

Jusque là, on suit. C'est une division classique.

Intervenant 11:02

Exactement. Mais on s'arrête pas là. On prend tout ce bloc, le résultat de cette opération, et on le divise à nouveau par un autre énorme bloc de fractions.

Intervenant 21:11

D'accord.

Intervenant 11:12

Disons 5 sixièmes sur 7 huitièmes. Et on continue comme ça, encore et encore, à l'infimie, en empilant des barres de fractions comme des poupées russes mathématiques toujours plus énormes.

Intervenant 21:25

C'est une excellente mise en situation. Et le terme sans frein est vraiment approprié parce que, sur le plan purement logistique, cette construction pose un problème immédiat.

Intervenant 11:33

Lequel ?

Intervenant 21:33

Le manque de papier. Mais c'est exactement ça. Si on essaye de bâtir cette tour sur une vraie feuille de papier, on va très vite manquer d'espace. Les barres horizontales vont s'empiler, s'étirer. Ça va devenir un véritable cauchemar visuel en fait.

Intervenant 11:48

Ah, ça j'imagine bien. La page noircie des tâches superposées.

Intervenant 21:53

Voilà. Donc avant même d'espérer comprendre la nature de ce monstre mathématique, ça soulève une question importante. Il nous faut impérativement une méthode rigoureuse pour l'étudier sans s'y perdre.

Intervenant 12:05

D'accord. Alors décortiquons tout ça. Parce que la manipulation de fractions à plusieurs étages, on va pas se mentir, ça donne des surfroides à beaucoup de monde.

Intervenant 22:13

C'est vrai, ça rappelle des mauvais souvenirs d'école à pas mal de gens.

Intervenant 12:16

C'est ça. Alors comment on fait concrètement pour éviter de tapisser les murs avec des équations totalement illisibles ?

Intervenant 22:22

Il faut faire appel à une règle algébrique classique, une méthode qu'on pourrait appeler une méthode d'aplatissement.

Intervenant 12:29

Ok, j'aime bien le terme.

Intervenant 22:31

En fait, quand on a une fraction divisée par une autre fraction, mettons un nombre A sur B, le tout divisé par un nombre C sur D, eh bien la règle nous dit que ça revient à multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde. L'étage du bas se retourne et remonte ce multiplié avec l'étage du haut.

Intervenant 12:50

Alors, attendez, je dois intervenir tout de suite. Parce que ça, c'est typiquement le genre de règle qu'on apprend par cœur au collège sans forcément comprendre pourquoi on le fait.

Intervenant 22:58

C'est tout à fait vrai. On l'applique machinalement.

Intervenant 13:01

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Ça sonne un peu comme une recette de cuisine magique.

Intervenant 23:07

Ouais, je comprends l'idée.

Intervenant 13:09

Mais pourquoi est-ce que ça fonctionne fondamentalement ? Il doit bien y avoir une logique implacable derrière ça, non ?

Intervenant 23:14

C'est une excellente remarque. Et effectivement, il n'y a aucune magie là-dedans. C'est juste une question d'équilibre. Imaginez notre grande fraction à étage.

Intervenant 13:22

Ok, je la visualise.

Intervenant 23:24

Tout en bas, au dénominateur global, on a un bloc gênant, la fraction C sur D. Le but en maths, quand on veut simplifier une division complexe, c'est de faire en sorte que le dénominateur devienne égal à 1.

Intervenant 13:36

Ah oui, parce que diviser par 1, c'est comme ne rien faire.

Intervenant 23:38

Exactement. Alors comment transformer ce C sur D en 1 ? En le multipliant par son propre inverse, D sur C. Parce que C fois D divisé par D fois C, ça s'annule complètement et ça fait 1.

Intervenant 13:51

Ah, je vous suis. Mais du coup, si on modifiait le bas de la grande fraction en le multipliant par D sur C, on déséquilibre tout notre calcul de départ ?

Intervenant 24:00

C'est là qu'intervient la règle d'or des fractions. Tout ce qu'on fait en bas, on doit obligatoirement le faire en haut.

Intervenant 14:07

Ah bah oui, pour maintenir la proportion.

Intervenant 24:09

Voilà, pour garder la valeur intacte. Donc puisqu'on a multiplié le bas par l'inverse d sur c, on doit aussi multiplier le haut, donc notre fraction a sur b par ce même inverse d sur c.

Intervenant 14:20

D'accord.

Intervenant 24:21

Le bas disparaît puisqu'il devient 1, et il ne nous reste plus que le haut, a sur b multiplié par d sur c.

Intervenant 14:27

Et boum, voilà comment on écrase la tour.

Intervenant 24:30

C'est ça, le rouleau compresseur algébrique.

Intervenant 14:33

C'est génial. Donc les numérateurs se multiplient entre eux, en haut, A fois D, et les dénominateurs se multiplient en bas, B fois C. C'est beaucoup plus clair vu comme ça.

Intervenant 24:43

Et si on applique ce mécanisme à nos premiers chiffres, prenons le temps de voir ce que ça donne. On partait de notre base, 1 demi.

Intervenant 14:49

Ouais.

Intervenant 24:50

On applique la logique, on retourne la fraction du bas et on multiplie. Donc, le 1 tout en haut va se multiplier avec le 4 qui remonte. Et le 2 se multiplie avec le 3.

Intervenant 15:01

Donc, notre monstre à 4 étages devient une fraction toute simple. Une seule barre horizontale, avec 1 x 4 en haut, posée sur 2 x 3 en bas. C'est quand même vachement plus lisible.

Intervenant 25:12

Absolument ! Mais c'est là qu'on passe à la vitesse supérieure. On prend ce nouveau bloc aplati et on le divise par un autre monstre, 5 sixièmes, divisé par 7 huitièmes.

Intervenant 15:22

Waouh. D'accord. Alors j'essaye de faire l'opération de tête.

Intervenant 25:26

Allez-y.

Intervenant 15:27

Le bloc du bas, 5 sixièmes sur 7 huitièmes, il va lui aussi s'aplatir avec la même règle, c'est ça ?

Intervenant 25:33

Exactement. Il devient 5 x 8 sur 6 x 7.

Intervenant 15:37

Ok. Donc on a notre bloc de départ, 1 x 4 sur 2 x 3, divisé par ce nouveau bloc, 5 x 8 sur 6 x 7.

Intervenant 25:45

C'est ça. Et on réapplique notre fameux rouleau compresseur global.

Intervenant 15:51

Alors on prend le numérateur global, donc 1 x 4, et on le multiplie par le dénominateur du bas, mais inversé. Donc le 6 x 7 remonte s'associé avec le 1 x 4. Parfait. Et au sous-sol, on a notre 2×3 qui accueille le 5×8. La nouvelle fraction consolidée devient donc en haut 1×4×6×7 et en bas 2×3×5×8. C'est

Intervenant 26:16

un calcul mental sans faille. Je suis impressionné.

Intervenant 16:19

Merci. Mais bon, il faut s'accrocher.

Intervenant 26:22

Et imaginez si l'on pousse l'exercice à l'étage suivant.