D’Avogadro à Graham : l’escalade des nombres géants

Intervenant 10:00

Bienvenue à tous dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Salut à tous.

Intervenant 10:04

Aujourd'hui, on entame une exploration qui va littéralement faire exploser les limites de notre imagination.

Intervenant 20:09

Ah, ça, c'est le moins qu'on puisse

Intervenant 10:11

dire, ouais. En fait, on s'attaque à un article fascinant qui s'intitule « De grands noms pour de grands nombres ». Et nos sources nous emmènent à un carrefour absolument vertigineux, pile là où la combinatoire rencontre la logique mathématique pure.

Intervenant 20:25

C'est un voyage qui donne le tournis, vraiment.

Intervenant 10:27

Totalement. Alors, pour poser le décor, prenons le nombre total de particules élémentaires dans notre univers observable, tout entier. Rien que ça ? Ouais, rien que ça. C'est un chiffre proprement astronomique, situé quelque part entre 10 puissance 80 et 10 puissance 87. Dans le monde physique, matériel, c'est la limite absolue de ce qui existe.

Intervenant 20:47

Bah ouais, c'est le plafond de la réalité, quoi.

Intervenant 10:50

Et pourtant, pour les mathématiciens, ce nombre colossal n'est qu'une vulgaire poussière d'arrondi. On a tous entendu parler du fameux nombre d'avocadro en chimie, tu vois ?

Intervenant 21:00

Oui, les fameuses 6,022×1023 particules dans une molle.

Intervenant 11:06

Exactement. C'est un chiffre suivi de 23 zéros, ça a l'air immense. Mais face aux besoins titanesques des maths d'aujourd'hui, ce genre de constante fait presque sourire.

Intervenant 21:15

C'est clair.

Intervenant 11:16

Du coup, la question centrale d'aujourd'hui s'impose d'elle-même. Comment les mathématiciens font-ils pour concevoir, écrire et manipuler des nombres qui sont tellement gigantesques que l'espace-temps de notre univers ne suffirait même pas à les contenir ? Bon, décortiquons un peu tout ça.

Intervenant 21:31

En fait, c'est véritablement le défi ultime de la notation mathématique et de la cognition humaine par la même occasion.

Intervenant 11:38

Ouais, c'est clair.

Intervenant 21:39

Le nombre d’Avogadro dont on vient de parler, il se gère très bien avec la notation scientifique classique en puissance de 10. Mais les mathématiciens s'aventurent constamment sur des terrains où la croissance des nombres défie complètement l'entendement.

Intervenant 11:51

Ils aiment bien se compliquer la vie !

Intervenant 21:53

On manipule des carrés, des cubes et surtout des exponentiels. Et l’exponentielle, par sa nature même, elle croît avec une brutalité inouïe. Ouais. Le problème survient très rapidement en fait. La typographie classique, tu sais, avec les petits chiffres qu'on place en exposant en haut à droite d'un nombre.

Intervenant 12:12

Ouais, le petit 2 ou le petit 3.

Intervenant 22:14

Voilà, ça atteint vite un mur indépassable. On se heurte aux limites physiques du papier, du stylo et même des pixels sur un écran.

Intervenant 12:21

Ah, pour bien visualiser ce mur indépassable, on peut filer une petite analogie pour notre audience sur nos moyens de locomotion mathématiques.

Intervenant 22:31

Oh, j'aime bien cette idée !

Intervenant 12:32

Si on prend l'addition classique, c'est un peu comme se déplacer en marchant. C'est lent, mais c'est fiable. Si on fait une addition itérée, c'est-à-dire qu'on additionne le même nombre encore et encore, on invente la multiplication.

Intervenant 22:44

Et là, on va plus vite.

Intervenant 12:46

Ouais. Là, c'est comme si on prenait la voiture sur l'autoroute, on va beaucoup plus loin avec beaucoup moins d'efforts. Ensuite, si on itère cette multiplication, qu'on multiplie un nombre par lui-même plein de fois, on obtient l'exponentiation.

Intervenant 22:58

Et on change de véhicule.

Intervenant 13:00

C'est ça. On laisse tomber la voiture et on s'installe dans une fusée spatiale. L'accélération nous plaque au siège. Mais la question qui rend vraiment fou, c'est de savoir comment on fait quand la fusée s'arrête.

Intervenant 23:10

Ouais, quand le carburant typographique manque pour itérer l'exponentiation elle-même quoi.

Intervenant 13:15

Exactement.

Intervenant 23:16

C'est précisément à ce point de rupture qu'intervient une solution particulièrement élégante. Elle a été inventée en 1976 par Donald Knuth. Le fameux Knuth ? Oui. Un immense mathématicien américain né en 38, qui est largement reconnu comme un des grands pionniers de l'algorithmique et de la programmation informatique. Knuth, il a introduit ce qu'on appelle la notation fléchée.

Intervenant 13:38

Ok.

Intervenant 23:39

L'idée de base est simple, mais franchement, ses conséquences sont redoutables. Au lieu d'écrire un exposant de plus en plus petit et illisible, en haut à droite, on utilise une flèche pointant vers le haut et on la place sur la même ligne de texte.

Intervenant 13:52

Ah oui !

Intervenant 23:52

Donc si j'écris M flash N, ça correspond tout bonnement à M à la puissance N.

Intervenant 13:57

On imagine aisément que c'était une question que tu en vis, non ? Je veux dire, pour les premiers informaticiens qui devaient taper des formules sur des claviers à ligne de commande, il n'y avait aucune interface graphique pour gérer les exposants.

Intervenant 24:09

C'est exactement ça. La contrainte technologique a forcé l'innovation. Mais là où le vertige commence vraiment, là où Knuth ouvre une toute nouvelle dimension arithmétique, c'est quand il généralise cette idée.

Intervenant 14:21

Ok, comment il fait

Intervenant 24:22

ça ? Il invente une nouvelle opération fondamentale qu'il baptise la tétration. C'est représenté visuellement par une double flèche vers le haut.

Intervenant 14:31

Ok, deux flèches.

Intervenant 24:33

Voilà. Si l'exponentiation est une multiplication itérée, la tétration, c'est l'exponentiation itérée.

Intervenant 14:39

D'accord.

Intervenant 24:40

Pour comprendre le mécanisme, si on écrit m double flèche n, ça veut dire qu'on va calculer m à la puissance m et on va prendre ce résultat et le mettre à la puissance m. Et on va empiler ces puissances sous forme de tour.

Intervenant 14:55

Une tour géante.

Intervenant 24:56

C'est ça, avec exactement n exemplaires du nombre m.

Intervenant 15:00

Il faut faire un test mental pour que ceux qui nous écoutent saisissent bien la folie du mécanisme. Prenons des nombres minuscules, totalement inoffensifs. 3 puissance 3.

Intervenant 25:08

D’accord.

Intervenant 15:08

3 multiplié par 3 par 3, ça fait 27. C'est le quotidien, c'est facile. Mais si on utilise la tétration de Knuth, on calcule 3 double flèche 3.

Intervenant 25:18

Et là, ça change tout.

Intervenant 15:19

Ouais, ça veut dire qu'on doit construire une tour géante, on calcule 3 à la puissance de 3 puissance 3, le sommet de la tour c'est 27, donc on calcule 3 à la puissance 27. Ce

Intervenant 25:28

qui est énorme.

Intervenant 15:29

C'est faramineux. D’un seul coup de baguette magique, à partir de deux malheureux petits chiffres 3, la valeur explose à plus de 7,6 trillions.

Intervenant 25:39

Précisément 7 625 597 494 987.

Intervenant 15:50

Oh la vache ! Notre cerveau arrive encore à peu près à conceptualiser des trillions, notamment avec l'économie mondiale ou ce genre de choses, mais l'accélération est terrifiante.

Intervenant 26:01

Mais tu sais, ce qui est fascinant ici, c'est la mécanique sous-jacente de cette accélération. Parce que Knuth a conçu son système pour ne jamais s'arrêter. On peut utiliser trois flèches. Ah non ? Si, si. Essayons d'imaginer le calcul de trois triples flèches trois. Cette notation exige qu'on utilise l'opération inférieure, donc la double flèche, de manière itérée.

Intervenant 16:26

Ouais.

Intervenant 26:26

Autrement dit, ce calcul se transforme en trois doubles flèches, appliquées au résultat gigantesque de notre calcul précédent. On applique la double flèche à ces fameux 7,6 trillions.

Intervenant 16:37

Euh, attends, attends, je veux être absolument sûr de bien visualiser le monstre. Ça veut dire qu'on ne multiplie plus, on n'élève même plus à une simple puissance. On est en train de construire une tour d'exposants où l'on calcule 3 à la puissance 3 à la puissance 3 et on empile ces chiffres 3 les uns sur les autres 7,6 trillions de fois.

Intervenant 26:56

C'est la cruelle réalité de la triple flèche, oui. La tour devient tellement gigantesque, tellement stratosphérique en fait, qu'on perd toute capacité à écrire le résultat de manière conventionnelle.

Intervenant 17:06

C'est vertigineux.

Intervenant 27:07

Totalement, on n'aurait ni le temps dans une vie immanentière, ni la place physique dans notre système solaire pour aligner tous les chiffres de cette tour d'exposants si on devait l'écrire en notation en décimales classiques. C'est fou. Et rappelons-le, on est parti de trois triples flèches, trois, des chiffres absolument minuscules au départ.

Intervenant 17:26

Le décalage entre la simplicité de l'écriture et l'immensité du résultat donne le tournis, franchement. D'ailleurs, ça nous pousse logiquement vers la prochaine étape de notre réflexion.

Intervenant 27:34

Je t'écoute.

Intervenant 17:35

Parce que maintenant qu'on a le langage de Knuth, ces fameuses flèches salvatrices pour réussir à dompter la typographie de ces monstres, qui a bien pu avoir l'idée de fabriquer des formules mathématiques capables de générer une telle croissance de manière structurelle ?

Intervenant 27:48

Alors pour ça, il faut remonter le temps d'une cinquantaine d'années avant l'invention de Knuth. En 1928, on trouve les travaux fondateurs de deux mathématiciens brillants.

Intervenant 17:58

Qui ça ?

Intervenant 27:58

L’allemand Wilhelm Ackermann et la hongroise Rosa Peter. Leurs recherches croisées ont abouti à la création de la fameuse fonction d'Ackermann-Peter. C'est considéré aujourd'hui comme l'exemple archétypal, le joyau absolu de ce qu'on nomme une fonction récursive.

Intervenant 18:15

Ah, une fonction récursive pour vulgariser le concept sans trahir la rigueur. C'est l'équivalent en mathématiques de l'ouroboros, non ? Le serpent qui se mord la queue. C'est une

Intervenant 28:24

excellente image,

Intervenant 18:26

ouais.