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5 nov. 2020 · 18 min

Pourquoi Thue-Morse répète-t-elle deux fois, jamais trois ?

Dans cet épisode, partez des chocolats, passez aux 0 et aux 1, puis suivez les étapes qui permettent à cette suite d’écarter tout motif répété trois fois.

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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?

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  1. Intervenant 1

    Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

  2. Intervenant 2

    Bonjour à toutes et à

  3. Intervenant 1

    tous. Aujourd'hui, on entame une nouvelle plongée vraiment fascinante au cœur d'un sujet qui commence par un truc super trivial.

  4. Intervenant 2

    Un truc de tous les jours, ouais.

  5. Intervenant 1

    Exactement. Un dilemme d'apparence banal. On va parler de dégustation de chocolat.

  6. Intervenant 2

    Le meilleur sujet.

  7. Intervenant 1

    N'est-ce pas ? Imaginez une réserve infinie de carrés de chocolat. D'un côté, une pile inépuisable de chocolat au lait, qu'on va appeler L.

  8. Intervenant 2

    D'accord.

  9. Intervenant 1

    Et de l'autre, une montagne de chocolat noir, la lettre N. Le point de départ de notre exploration mathématique, c'est un gourmand, mais un gourmand avec une règle très stricte.

  10. Intervenant 2

    Il ne veut pas de répétition, c'est ça ?

  11. Intervenant 1

    C'est ça. Son obsession absolue, c'est de ne jamais répéter deux fois de suite la même expérience gustative.

  12. Intervenant 2

    Et le problème, c'est que cette simple exigence pose tout de suite un mur combinatoire.

  13. Intervenant 1

    Un mur massif, ouais. En essayant de construire la séquence, on s'en rend compte hyper vite. Le gourmand commence par un carré au lait, donc L. Puis un noir, N.

  14. Intervenant 2

    Donc on a L, N.

  15. Intervenant 1

    Voilà. Et l'étape suivante, elle dicte tout le reste. S'il choisit le noir à nouveau, on obtient L, N, N.

  16. Intervenant 2

    Le N est répété.

  17. Intervenant 1

    Exactement. C'est une répétition immédiate, ce qu'on appelle un carré en mathématiques combinatoires. Il est donc forcé d'alterner et de prendre du lait.

  18. Intervenant 2

    Ce qui donne L, N,

  19. Intervenant 1

    L. Oui. Mais au quatrième carré, le piège se referme.

  20. Intervenant 2

    La structure elle-même force l'erreur.

  21. Intervenant 1

    Complètement. Si le choix se porte sur le lait, la séquence devient L-N-L-L. Le lait se répète.

  22. Intervenant 2

    Et s'il choisit le noir, c'est L-N-L-N.

  23. Intervenant 1

    Et là, c'est le motif complet L-N qui est répété deux fois de suite. C'est inévitable. Avec seulement deux saveurs, un carré géométrique est une certitude absolue.

  24. Intervenant 2

    Ce qui nous amène à une question d'un tout autre niveau en fait.

  25. Intervenant 1

    Ah, la fameuse question des cubes.

  26. Intervenant 2

    Oui, parce que si les carrés sont impossibles à éviter avec un choix binaire, qu'en est-il des cubes ?

  27. Intervenant 1

    Un cube, en combinatoire, c'est un motif qui se répète trois fois de suite, comme le son bla bla bla.

  28. Intervenant 2

    C'est exactement ça. Et la grande question, c'est, est-il possible de générer une suite infinie, avec seulement deux éléments, sans jamais laisser émerger un seul cube ?

  29. Intervenant 1

    Et la réponse, heureusement pour nous, ouvre la porte sur un véritable joyau mathématique, la fameuse suite de Prouette-Thue-Morse.

  30. Intervenant 2

    Une suite qui est construite d'une manière presque enfantine, mais qui a des propriétés magiques.

  31. Intervenant 1

    Carrément magique, ouais. Alors, pour bien comprendre la mécanique, on va laisser le chocolat de côté en instant.

  32. Intervenant 2

    On passe au langage binaire.

  33. Intervenant 1

    Voilà, les zéros et les ans. La base de la logique, comment on construit cette suite concrètement ?

  34. Intervenant 2

    En fait, ça repose sur ce qu'on appelle un morphisme de substitution.

  35. Intervenant 1

    Un principe de remplacement, quoi.

  36. Intervenant 2

    Ouais, un remplacement systématique. La règle est invariable. On part d'une graine initiale, le chiffre 0. D'accord. Et à chaque nouvelle étape, on lit la suite et on remplace chaque chiffre par un petit bloc.

  37. Intervenant 1

    Donc le 0 devient quoi ?

  38. Intervenant 2

    Le 0 est systématiquement remplacé par le bloc 0, 1. Et le 1, lui, est remplacé par 1, 0.

  39. Intervenant 1

    Ok, essayons de visualiser ça. A l'étape 0, on a juste 0. C'est ça. A l'étape 1, ce 0 se transforme en 0, 1. Parfait. A l'étape 2, on lit de gauche à droite. Le 0 du début devient 0, 1. Et le 1 devient 1, 0.

  40. Intervenant 2

    Ce qui nous donne, mis-vous tabou, 0,1, 1, 0.

  41. Intervenant 1

    Et la croissance est super rapide, non ?

  42. Intervenant 2

    Exponentielle.

  43. Intervenant 1

    À l'étape 3, le mot 0, 1, 1, 0 subit la même mutation. Le premier 0 donne 0, 1. Les deux 1 donnent 1, 0 et 1, 0.

  44. Intervenant 2

    Et le dernier 0 redevient 0,

  45. Intervenant 1

    1. Exactement. On obtient huit chiffres 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1. La taille double à chaque fois.

  46. Intervenant 2

    En voyant ça sur le papier, il y a une image qui m'a tout de suite frappé.

  47. Intervenant 1

    Ah oui, laquelle ?

  48. Intervenant 2

    Ça ressemble grave à la division cellulaire d'un organisme mathématique.

  49. Intervenant 1

    C'est une très belle analogie, ouais.

  50. Intervenant 2

    Parce que quand on passe d'une génération à la suivante, la première moitié de la nouvelle séquence, c'est une copie exacte de la génération précédente.

  51. Intervenant 1

    Et la seconde moitié agit comme un miroir inversé. Conjugué où on bascule toutes les valeurs. Les zéros deviennent des 1 et les 1 des zéros.

  52. Intervenant 2

    Cette dualité copie et inversion, c'est vraiment l'ADN de la suite. Mais le truc, c'est que ce morphisme nous oblige à calculer toutes les étapes précédentes si on veut connaître un terme super éloigné.

  53. Intervenant 1

    Ce qui serait un cauchoir à faire à la main.

  54. Intervenant 2

    Totalement. Mais c'est là qu'intervient une méthode de calcul directe.

  55. Intervenant 1

    Ah oui, le raccourci incroyable. J'avoue, j'ai passé de longues minutes sur mon brouillon pour décortiquer ça avant l'enregistrement.

  56. Intervenant 2

    C'est vrai que c'est bluffant.

  57. Intervenant 1

    C'est une vraie faille dans la matrice. Pour trouver la valeur exacte à la millionième position, on n'a pas besoin de calculer les 999 000 autres.

  58. Intervenant 2

    On utilise juste le système binaire.

  59. Intervenant 1

    Ouais, il suffit de prendre ce nombre, 1 million, et de l'écrire en base 2, donc avec des zéros et des 1.

  60. Intervenant 2

    Et ensuite, l'opération est basique.

  61. Intervenant 1

    On compte juste combien de chiffres 1 sont présents dans cette écriture binaire.

  62. Intervenant 2

    Le tri se fait sur la parité. Si le nombre de chiffres 1 est pair, alors le terme dans la suite de Pro et Thue-Morse est 0.

  63. Intervenant 1

    Et s'il est impair, le terme est 1. C'est tout ?

  64. Intervenant 2

    C'est tout.

  65. Intervenant 1

    Allez, prenons un exemple concret pour tout le monde.

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