Fractales : comment une règle répétée crée-t-elle ces formes ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. D'habitude, quand on regarde les plans d'une maison d'architecte, on s'attend à de la géométrie classique.

Intervenant 20:07

Ouais, un truc très

Intervenant 10:09

net quoi, très carré. C'est ça. Un carré bien propre, un cercle parfait, des lignes droites. C'est prévisible, c'est fini, c'est l'ordre euclidien avec lequel on a tous grandi en fait.

Intervenant 20:18

C'est une géométrie très humaine pour le coup. On aime concevoir des objets dont on peut embrasser les proportions d'un seul coup d'œil avec des limites claires.

Intervenant 10:27

Exactement. Sauf que dès qu'on lève les yeux de la feuille de papier et qu'on regarde le monde réel, ça ne fonctionne plus du tout.

Intervenant 20:33

Ah bah non, la nature, elle est pas lisse.

Intervenant 10:35

Voilà. Un nuage, c'est pas une sphère parfaite. Une chaîne de montagne, c'est pas une suite de cônes bien lisses. Les côtes bretonnes, avec toutes leurs criques, c'est pas des lignes droites.

Intervenant 20:44

Non, c'est même tout le contraire.

Intervenant 10:47

Et c'est là que notre sujet du jour entre en scène. Les fractales. Notre mission aujourd'hui, en nous appuyant sur un super article qui s'appelle « Les fractales, l'esthétisme itéré », Et aussi sur le hors-série Bibliothèque Tangente 18, c'est d'aller bien au-delà de la simple image un peu psychédélique de fond d'écran.

Intervenant 21:07

Ouais, ces images magnifiques qu'on a tous déjà vues, mais qui cachent des maths incroyables.

Intervenant 11:13

Tout à fait. On va vraiment décortiquer comment cette géométrie de la nature repose sur une idée complètement vertigineuse, l'esthétisme itéré.

Intervenant 21:21

Et ce concept d'esthétisme itéré, il est d'une élégance redoutable. L'idée fondatrice, en fait, c'est de prendre une transformation géométrique élémentaire, le truc le plus rudimentaire possible, et de la répéter. On l'itère, encore et encore, à des échelles de plus en plus petites. On ne change jamais la règle en cours de route.

Intervenant 11:41

On applique juste bêtement la même consigne.

Intervenant 21:44

C'est ça, bêtement. Et pourtant, de cette boucle d'itérations émerge une figure d'une complexité absolue. Et le truc fou, c'est que chaque petite portion de l'objet devient une copie conforme de l'objet tout entier.

Intervenant 11:58

Mais pour qu'on puisse bien visualiser la mécanique, je pense qu'il faut qu'on commence par la base. On va oublier la complexité des nuages à l'instant.

Intervenant 22:06

Ok, on simplifiait.

Intervenant 12:07

Prenons simplement un segment de droite. Un bête très horizontal.

Intervenant 22:11

Alors partons de ce trait. La règle de transformation va être la suivante. On coupe ce segment en trois parties égales.

Intervenant 12:17

Ok, je coupe en trois.

Intervenant 22:19

Ensuite, on supprime le tiers central, celui du milieu.

Intervenant 12:22

Donc on a un trou au milieu.

Intervenant 22:24

Voilà. Et pour combler ce vide, on ajoute deux nouveaux segments qui forment les côtés d'un triangle équilatéral qui pointerait vers le haut.

Intervenant 12:31

Ah ouais, donc notre trait plat ressemble maintenant à l'armature d'une petite tente.

Intervenant 22:35

Exactement. On est passé d'un seul segment à quatre petits segments qui forment un pic.

Intervenant 12:41

Et c'est là que la boucle infernale commence, imagine.

Intervenant 22:43

Tu as tout compris. On applique exactement la même règle à chacun de ces quatre nouveaux petits segments.

Intervenant 12:49

Donc, on prend le premier petit segment qui monte, on le coupe en trois, on remplace son milieu par un mini-triangle.

Intervenant 22:55

C'est ça. On fait pareil pour le segment qui descend et ainsi de suite. Donc, à l'étape d'après, on a 16 minuscules segments.

Intervenant 13:02

Puis 64.

Intervenant 23:04

Voilà. Et si on répète ce processus à l'infini, les bords se mettent à bourgeonner sans fin. Ça se dentelle à des échelles de plus en plus microscopiques. Et on obtient une forme fractale très célèbre conçue au début du XXe siècle par le mathématicien suédois Niels Fabian Helge Von Koch.

Intervenant 13:20

Le fameux flocon de Von Koch. D'ailleurs, il cherchait à illustrer un concept bien précis à l'époque avec ça, non ?

Intervenant 23:28

Oui, il proposait cet objet pour matérialiser une notion qui donne un peu la migraine en analyse mathématique.

Intervenant 13:33

Oula, c'est-à-dire ?

Intervenant 23:34

En gros, c'est une courbe continue, qu'on peut tracer sans jamais lever le stylo, mais qui n'admet de tangente en aucun de ses points.

Intervenant 13:41

Ah, parce qu'elle est constituée exclusivement d'angles et de pointes ?

Intervenant 23:44

C'est exactement ça. Peu importe à quel point on zoome dessus, il n'y aura jamais de segments lisses. Toujours des pics.

Intervenant 13:50

Mais attends, mon cerveau bloque sur un paradoxe mathématique précis ici. Vas-y, dis-moi. À chaque fois qu'on remplace le tiers d'un segment par les deux côtés d'un triangle, on augmente la longueur de notre tracé. On remplace une longueur de 1 par une longueur de 2.

Intervenant 24:06

Tout à fait.

Intervenant 14:07

Donc la longueur totale est multipliée par 4 tiers à chaque itération.

Intervenant 24:11

Le calcul est implacable. 4 tiers, c'est strictement supérieur à 1, donc la suite géométrique des périmètres est croissante.

Intervenant 14:19

Donc si on y terce à une infinité de fois, la longueur du contour diverge vers l'infini. Le périmètre de ce flocon est littéralement infini.

Intervenant 24:27

Ouais, il ne s'arrête jamais de grandir.

Intervenant 14:29

Mais la figure finale reste contenue sur ma feuille de papier. L'aire ne peut pas être infinie.

Intervenant 24:35

Et c'est là qu'est le grand choc géométrique. La somme de l'aire des petits triangles successifs qu'on ajoute, ça correspond à une suite géométrique qui, elle, est convergente. Donc l'aire totale délimitée par ce périmètre reste strictement finie.

Intervenant 14:49

Attends donc, si je comprends bien l'implication dans le monde physique, imaginons que ce flocon soit le plan de mon jardin.