Gabriel Cramer : deux appendices qui ont marqué l’algèbre

Intervenant 10:00

Bienvenue à tous dans le podcast du magazine Tangente, le lieu où nous transformons les sources les plus complexes en découvertes passionnantes. Aujourd'hui, on se lance dans une exploration vraiment spéciale. Imaginons un instant faire l'une des plus grandes découvertes mathématiques de notre siècle. On formule une règle qui va changer l'algèbre à tout jamais pour finalement la cacher tout à la fin d'un livre.

Intervenant 20:23

Ouais, dans une obscure note de bas de page.

Intervenant 10:25

C'est ça. Et tout ça simplement parce qu'on n'arrive pas à trouver comment la prononcer à voix haute. C'est quand même dingue.

Intervenant 20:31

C'est le destin hallucinant de Gabriel Cramer en fait, un brillant mathématicien genevois du 18e siècle.

Intervenant 10:37

Aujourd'hui, on plonge dans une affaire qui a vraiment tous les éléments d'un thriller scientifique. On a un manuscrit perdu, une gloire historique volée par un rival et une invention majeure reléguée aux oubliettes pour des questions de formatage.

Intervenant 20:51

Et cette affaire, elle dépasse très largement le cadre d'un simple calcul algébrique sur un bout de parchemin. L'histoire de Gabriel Cramer, c'est en réalité la chronique d'une lutte acharnée. Une lutte parfois désespérée de l'esprit humain contre les limites du langage.

Intervenant 11:05

Ah oui, le fameux mur des notations.

Intervenant 21:08

Exactement. À cette époque, les concepts mathématiques avançaient beaucoup plus vite que les symboles nécessaires pour les écrire. Et Cramer, il s'est heurté de plein fouet à ce mur. Les idées étaient là, elles étaient brillantes, novatrices, mais les outils pour les formuler et les communiquer faisaient cruellement défaut.

Intervenant 11:24

Alors, pour bien comprendre comment on en arrive à un tel blocage, il faut replanter un peu le décor. On est en 1750. Et Cramer publie une œuvre monumentale, l'introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques. Bon, décortiquons un peu ça. Son objectif dans ce livre, c'est de comprendre l'anatomie géométrique des courbes.

Intervenant 21:44

C'est exactement ça. Plus précisément, il cherche à savoir combien de points sont strictement nécessaires sur un plan pour définir ce qu'on appelle une courbe d'ordre n.

Intervenant 11:53

L'ordre d'une courbe, c'est bien le degré le plus élevé de son équation, c'est ça ?

Intervenant 21:57

Voilà, c'est ça. Donc pour donner un exemple simple, une droite, c'est d'ordre 1. Une conique, comme un cercle ou une ellipse, c'est d'ordre 2. Ce que Cramer veut établir, c'est une loi universelle. Il cherche le nombre exact de coordonnées fixes qui vont, disons, verrouiller la forme de la courbe.

Intervenant 12:14

Pour qu'une seule et unique courbe puisse passer par ces points.

Intervenant 22:17

Exact. Et il y parvient. Il utilise une construction qu'il appelle le triangle analytique et il aboutit à une formule générale. Le nombre de points requis, c'est N multiplié par N plus 3, le tout divisé par 2.

Intervenant 12:34

D'accord. Alors essayons de rendre ça un peu plus concret. Si je prends une conique, donc l'ordre 2. Je remplace le N par 2. Donc 2 plus 3, ça fait 5. Ouais. Ensuite, je multiplie par le N de départ, donc par 2, ça fait 10. Et je divise le tout par 2. Ça me donne

Intervenant 22:51

5. Le compte est bon. Il faut exactement 5 points pour définir une courbe d'ordre 2.

Intervenant 12:57

Mais concrètement, pourquoi ces points sont si cruciaux ? J'essaie de me représenter la chose. C'est un peu comme monter une grande tente de camping avec une forme super asymétrique un jour de grand vent.

Intervenant 23:07

C'est une super image.

Intervenant 13:09

Bah, si on plante seulement quatre sardines, la toile flotte quoi. La forme n'est pas fixe. Il faut planter la cinquième sardine à un endroit hyper précis pour que toute la structure se tende et prenne sa forme définitive.

Intervenant 23:22

L'image de la tente illustre parfaitement la contrainte géométrique. Mais il faut voir ce que ça provoque sur le plan algébrique. Une fois que tu as planté tes cinq sardines dans le sol, il faut trouver leurs coordonnées exactes pour écrire l'équation finale. Et

Intervenant 13:33

c'est là que le mur se

Intervenant 23:35

dresse. Totalement. Remplacer les coordonnées spatiales de ces cinq points, ça génère instantanément un système de cinq équations imbriquées. Et il faut les résoudre pour trouver cinq variables inconnues. Cramer appelle ces inconnues A, B, C, D et E.

Intervenant 13:48

Attends, cinq équations avec cinq inconnues à résoudre à la moins avec une plume et de l'encre ?

Intervenant 23:55

C'est un cauchemar absolu.

Intervenant 13:56

Impact B qui change C et ainsi de suite.

Intervenant 24:00

Exactement. Chaque variable est accrochée aux autres. Pour isoler A, tu dois manipuler les quatre autres équations. Tu dois substituer des termes immenses, regrouper des fractions. Le risque d'erreur de calcul grimpe de façon exponentielle à chaque ligne.

Intervenant 14:15

Et surtout, il n'y avait pas de méthode standardisée à l'époque, si ?

Intervenant 24:18

Aucune. Aucune grille de calcul. Les savants avançaient à tâtons dans une jungle de lettres et de chiffres.

Intervenant 14:23

Et c'est là que l'auteur de ce traité magistral va faire un truc franchement incroyable. Cramer, arrivé au moment crucial où il devrait faire la démonstration de ce calcul géant, il s'arrête.

Intervenant 24:33

Il abandonne en plein vol.

Intervenant 14:35

Grave. Il écrit noir sur blanc dans son livre que, et je le cite texto, « le calcul véritablement en serait assez long ». Il baisse les bras en plein milieu du texte principal.

Intervenant 24:44

C'est quand même très drôle de l'écrire comme ça.

Intervenant 14:46

À la place, il met un petit astérisque. Il renvoie vers une note de bas de page et cette note indique qu'il y a un minuscule appendice de trois pages à la toute fin du livre. Et c'est là qu'il propose une règle qu'il appelle « assez commode ».

Intervenant 25:00

Et ce qui est fascinant ici, c'est que la solution formelle à ce problème écrasant tient dans un mécanisme purement logique décrit dans ces trois pages clandestines. Cet appendice, c'est ce qui deviendra l'un des piliers de l'algèbre linéaire.

Intervenant 15:14

La fameuse règle de Cramer.

Intervenant 25:16

Universellement connue, oui. C'est une méthode systématique pour résoudre n'importe quel système d'équations linéaires. Mais pour l'écrire, Cramer a dû bricoler un langage de toutes pièces. Comment ça ? Eh bien, il utilise des majuscules Z, Y, X pour représenter différentes parties du système. Et il leur accole des petits chiffres en exposant. Donc Z1, Y1, Z2 pour indiquer de quelle équation provient la lettre.

Intervenant 15:42

Ah ouais, c'est hyper déroutant pour nous aujourd'hui, non ? On a plutôt l'habitude de voir ces chiffres en bas, en indices. Pas en haut, comme si on mettait la lettre au carré ou au club.

Intervenant 25:50

Et d'ailleurs, cette notation archaïque prêtait énormément à confusion. Un œil non averti pouvait confondre cet exposant identifiant avec une vraie puissance mathématique.

Intervenant 16:00

Tu m'étonnes.