Nombres transcendants : pourquoi résistent-ils aux preuves ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration, le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:04

Bonjour, ravi d'être là pour creuser ce sujet.

Intervenant 10:08

Alors pour commencer, imaginons un instant un club VIP, mais un club ultra-select, très très fermé, qui rassemble en fait 99,99% de la population mondiale.

Intervenant 20:21

Ouais, un club où pratiquement tout le monde a sa place.

Intervenant 10:24

C'est ça, mais, et c'est là quel paradoxe vertigineux, si on prend une personne au hasard dans la rue, c'est mathématiquement fondamentalement impossible de prouver qu'elle a sa carte de membre.

Intervenant 20:35

C'est exactement ça, et c'est à ça qu'on s'attaque aujourd'hui en épluchant nos dossiers.

Intervenant 10:40

Voilà, notre mission dans cette plongée, c'est de comprendre cette énigme qui rend les mathématiciens complètement fous depuis des siècles. Je parle des nombres transcendants, des nombres qui font littéralement de la résistance.

Intervenant 20:53

Et il faut bien comprendre que cette résistance, ce n'est pas juste une difficulté de calcul. Ce n'est pas une question de temps.

Intervenant 10:59

C'est plus profond que ça.

Intervenant 21:00

Ah bah oui, on parle d'un vrai gouffre structurel dans notre compréhension d'univers numérique. C'est un domaine où on sait très bien qu'une chose existe. On sait même que ça compose la quasi-totalité de l'espace mathématique. Mais nos outils théoriques s'effondrent complètement dès qu'on essaie de pointer un seul élément précis du doigt.

Intervenant 11:16

Du coup, pour bien mesurer l'ampleur de cette frustration, il faut d'abord comprendre contre quoi ces fameux nombres se rebellent en fait.

Intervenant 21:23

Exactement.

Intervenant 11:23

Avant de parler de transcendance, je suis ravie d'introduire l'establishment, la norme, ce qu'on appelle les nombres algébriques.

Intervenant 21:31

Les bons élèves quoi.

Intervenant 11:32

C'est ça, ceux qui rentrent bien sagement dans les cases.

Intervenant 21:35

En fait, les nombres algébriques forment ce qu'on appelle en algèbre un corps. Et pour visualiser ça facilement, imaginons un écosystème fermé, un truc parfaitement autonome.

Intervenant 11:45

D'accord.

Intervenant 21:46

Un nombre, il est considéré comme algébrique s'il peut être la solution d'une équation, polynomiale, finie, et qui n'utilise que des coefficients entiers.

Intervenant 11:54

Ok, donc pas de nombre bizarre dans l'équation.

Intervenant 21:57

Voilà, que des entiers. Et l'avantage immense de cet écosystème, c'est sa prévisibilité totale. Si on prend deux nombres algébriques et qu'on les additionne, ou qu'on les soustrait, les multiplie, ou qu'on les divise, le résultat restera invariablement bloqué à l'intérieur de ce même système. On ne peut pas en sortir par hasard.

Intervenant 12:15

C'est un terrain de jeu hyper sécurisé. Mais le nombre transcendant, par définition, c'est celui qui refuse de jouer le jeu finalement.

Intervenant 22:22

C'est le rebelle absolu.

Intervenant 12:24

Ouais, il n'est la solution d'absolument aucune équation polynomiale à coefficient entier, peu importe la complexité ou la longueur de l'équation. Il échappe totalement à l'arithmétique finie.

Intervenant 22:34

Tout est le fait.

Intervenant 12:35

Et là, évidemment, on pense à la star pi ou au nombre e, la base des logarithmes naturels. Et c'est là que le chaos s'installe. Dans les sources du magazine, il y a des exemples qui m'ont fait un peu bugger.

Intervenant 22:46

Ah oui, je vois très bien desquels tu parles.

Intervenant 12:48

Bah ouais, parce qu'on se dit spontanément que si on manipule deux objets hyper complexes, genre de nombres transcendants, on va obtenir un Rélilta encore plus impénétrable, non ?

Intervenant 22:57

Ouais, c'est l'intuition humaine classique. Mais l'ensemble des nombres transcendants ne possède aucune des garanties de l'écosystème algébrique dont on vient de parler. Il n'est pas stable du tout.

Intervenant 13:07

Ok.

Intervenant 23:08

Prenons l'addition, par exemple. Imaginons le nombre transcendant composé de la constante π à laquelle on ajoute 4. Donc π plus 4. Ok,

Intervenant 13:17

très bien. π plus 4, c'est transcendant.

Intervenant 23:20

Et si on lui soustrait un autre nombre transcendant, disons Pi lui-même, on obtient tout simplement 4. Ah

Intervenant 13:25

ouais, un nombre entier, basique, algébrique au possible, la transcendance s'est carrément volatilisée.

Intervenant 23:31

C'est fou ! Et pareil avec la multiplication. Si on multiplie Pi par son inverse, 1 sur Pi, qui est tout aussi transcendant, ça nous ramène brutalement au chiffre 1. L'interaction de deux éléments transcendants peut carrément s'annuler pour retomber dans le monde algébrique le plus simple.

Intervenant 13:48

Alors, poussons la logique sur les deux transcendants les plus célèbres du monde, Pi et E.

Intervenant 23:54

Vas-y.

Intervenant 13:55

Si on les additionne de façon hyperfrontale, sans artifices, Pi plus E. Ou si on les multiplie, Pi fois E. Quel est le résultat de l'âme ? On reste dans le monde transcendant ou on retombe chez les algébriques ?

Intervenant 24:09

Eh bien là, la réponse actuelle de la communauté mathématique mondiale, c'est un silence assourdissant.

Intervenant 14:15

Attends, vraiment ?

Intervenant 24:16

On n'en sait absolument rien. À ce jour, il n'y a aucune preuve qui permet de statuer sur la nature de leurs sommes individuelles ou de leurs produits. C'est le flou total.

Intervenant 14:24

Non mais attends, je suis obligée de t'arrêter là-dessus. Il y a un truc qui m'échappe complètement. Dis-moi. On a aujourd'hui des supercalculateurs quantiques de folie, des algorithmes qui ont craché des milliers de milliards de décimales de pi et de e. Comment est-ce qu'on peut pas juste brancher une machine, faire l'addition de ces milliards de décimales, analyser le résultat et bim, avoir notre réponse ?

Intervenant 24:47

Ah, ça c'est la question que tout le monde se pose. Et ça touche vraiment au cœur de la différence entre le calcul numérique et la preuve formelle.

Intervenant 14:55

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:56

En fait, avoir 1000 milliards de décimales, ça ne donne qu'une vision locale et finie du nombre. La définition même de la transcendance, elle porte sur l'infini.

Intervenant 15:06

D'accord.

Intervenant 25:07

C'est l'impossibilité d'être la solution d'une équation, quelle que soit sa taille. Une machine, elle peut vérifier des milliards d'équations et rien trouver du tout.

Intervenant 15:16

Ouais.

Intervenant 25:17

Mais ça prouvera jamais, au grand jamais, qu'il n'existe pas une équation gigantesque, genre bien au-delà de la puissance de calcul de l'ordinateur, qui, elle, fonctionnerait.

Intervenant 15:26

Ah oui, je vois. Les mathématiques exigent une preuve structurelle qui englobe l'infini, pas juste un constat empirique sur un bout de nombre.

Intervenant 25:33

Exactement. C'est pas de la physique, on peut pas juste observer.

Intervenant 15:37

Donc, la puissance brute de nos ordis ne sert strictement à rien face à un problème purement conceptuel.

Intervenant 25:44

Voilà.

Intervenant 15:45

Ne pourtant, nos sources décrivent quand même une déduction incroyable sur Pi et E. Une sorte de tour de passe-passe logique pour affirmer une vérité, même sans résoudre le mystère de base.

Intervenant 25:57

Ah oui, le fameux raisonnement par l'absurde, dans toute sa splendeur. Les mathématiciens ont réussi à prouver avec une certitude absolue qu'au moins l'un des deux résultats, donc soit la somme pi plus e, soit le produit pi fois e, est obligatoirement transcendant.

Intervenant 16:13

C'est dingue. On ne sait pas lequel, mais l'un des deux l'est.

Intervenant 26:16

C'est ça.

Intervenant 16:17

Pour ceux qui nous écoutent, c'est littéralement comme avoir un billet de noterie gagnant entre les mains. Savoir qu'il y a le gros lot, mais être incapable de savoir à qui il appartient. Mais comment on arrive à prouver qu'il y a un gagnant sans connaître son identité ?

Intervenant 26:29

Eh bien, en utilisant justement les règles du monde algébrique. Imaginons un instant que la somme Pi plus E et le produit Pi fois E soient tous les deux des nombres algébriques.

Intervenant 16:38

Ok, on suppose l'inverse.

Intervenant 26:40

Voilà. Il y a un théorème super basique sur les polynômes qui dit qu'on peut construire une équation à partir d'une somme et d'un produit. Donc si la somme et le produit étaient algébriques, ça voudrait dire que pi et e seraient en fait les solutions d'un polynôme à coefficient algébrique.

Intervenant 16:54

Et alors ?

Intervenant 26:55

Or, un autre théorème prouve que les racines d'un tel polynôme doivent elles-mêmes être algébriques.

Intervenant 17:00

Ah ! Et là, le piège se referme.

Intervenant 27:03

Exactement.

Intervenant 17:03

Puisqu'on sait déjà de manière absolue que pi et e sont transcendants dès le départ, ils ne peuvent pas être les racines de ce fameux polynôme.

Intervenant 27:10

Et boum ! L'hypothèse de départ s'effondre.