Babbage : concevoir une machine sans multiplication

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, on va commencer tout de suite avec une petite série de nombres. 2, 4, 132, 2192, 16390, 78132. Ah oui, ça commence fort ! Oui, et ça ne s'arrête pas là. Si on demande à n'importe qui de trouver le terme suivant de cette suite, qui a l'air totalement chaotique, et de le faire de tête, sans faire la moindre multiplication, ça semble tout bonnement impossible. C'est clair. Et pourtant, la réponse, c'est 10 millions 12. Alors aujourd'hui, dans notre discussion, on va découvrir la magie mathématique qui rend ce calcul possible.

Intervenant 20:41

C'est un défi qui donne des sueurs froides, même aux plus passionnés d'entre nous. Présenter de cette manière, on dirait vraiment une progression complètement aléatoire.

Intervenant 10:48

Ah bah moi tu me montres ça, je prends un tableau entier et je commence à écrire des équations dans tous les sens quoi.

Intervenant 20:54

Exactement, le genre de calcul qui nécessite normalement des heures. Mais la réponse à cet énigme repose en fait sur une astuce mathématique d'une élégance rare. Et le plus fou, c'est que cette astuce va nous emmener dans un voyage totalement inattendu. On va croiser des perruquiers au chômage pendant la révolution française et de fil en aiguille tomber sur la toute première ébauche d'un ordinateur mécanique.

Intervenant 11:17

Bon, décortiquons tout ça, parce que passer d'une suite de nombres vertigineuses à des fabricants de perruques du XVIIIe siècle pour atterrir sur des ordinateurs mécaniques victoriens, faut avouer que le grand écart est audacieux.

Intervenant 21:30

C'est le moins qu'on puisse dire.

Intervenant 11:31

Cette méthode secrète.

Intervenant 21:33

Il s'agit d'une méthode parfaitement rigoureuse qu'on appelle la méthode des différences finies.

Intervenant 11:38

Les différences finies.

Intervenant 21:39

Voilà. En fait, le principe repose sur un simple changement de perspective. Au lieu de chercher une formule super complexe, avec des puissances et des multiplications hyper fastidieuses, on va simplement soustraire les termes successifs de notre suite.

Intervenant 11:51

D'accord, juste des soustractions.

Intervenant 21:53

C'est ça. Si on reprend tes premiers nombres, on avait 4 et 2, bah 4 moins 2 ça fait 2.

Intervenant 11:58

Ok, jusque-là, ça va, c'est de mon niveau.

Intervenant 21:59

Ensuite, le troisième terme, c'était 132. Donc 132 moins 4, ça fait 128. Et on continue comme ça pour toute la ligne. Ça nous génère une toute nouvelle suite de nombres qui représentent simplement l'écart entre les valeurs originales.

Intervenant 12:14

D'accord, donc on crée une sorte de sous-suite uniquement en calculant l'intervalle entre chaque nombre. Mais attends, si on s'arrête là, les nombres restent gigantesques, non ?

Intervenant 22:22

Ah oui,

Intervenant 12:23

complètement ! Je veux dire 16 390 moins 2 192, on est toujours dans des milliers. Ça simplifie pas vraiment le problème mentalement.

Intervenant 22:30

Absolument ! Et c'est tout l'intérêt de la démarche. On s'arrête pas à cette première ligne.

Intervenant 12:35

Ah !

Intervenant 22:36

On va répéter l'opération sur cette nouvelle suite qu'on vient de créer. On fait la différence des différences.

Intervenant 12:42

Ok, on descend d'un cran supplémentaire.

Intervenant 22:44

Voilà, puis on continue, ligne après ligne, étage après étage, comme une pyramide inversée. Et ce qui est merveilleux avec la suite vertigineuse que tu as donnée en introduction, c'est qu'à la septième ligne de soustraction consécutive... La

Intervenant 12:57

septième, carrément ?

Intervenant 22:59

Ouais, la septième, et là, un phénomène mathématique très précis se produit. La ligne ne contient plus qu'un seul et unique nombre, totalement constant.

Intervenant 13:09

Attends, la ligne entière devient le même nombre ?

Intervenant 23:12

Exactement, et dans ce cas précis, c'est le nombre 5040.

Intervenant 13:16

C'est fou ça. Donc toute cette complexité, ces centaines de milliers qui partaient dans tous les sens, tout ça s'effondre pour laisser place à un simple 5040 répété à l'infini.

Intervenant 23:27

C'est ça.

Intervenant 13:28

Mais pourquoi 5040 exactement ? C'est pas un nombre au hasard j'imagine, il doit bien y avoir une logique derrière.

Intervenant 23:33

C'est là que réside toute la beauté des mathématiques discrètes. Le fait d'atteindre une constante à la septième étape, ça signifie en fait que la suite de départ correspond aux valeurs d'un polynôme de degré 7.

Intervenant 13:45

Un polynôme de degré 7, donc avec un x puissant 7 dedans ?

Intervenant 23:50

Très exactement, c'est les valeurs générées par le polynôme x puissance 7, plus x, plus 2. Et le nombre 5040, c'est pas du tout un hasard, ça correspond à la factorielle de 7.

Intervenant 14:00

Un factoriel de 7, donc 7 x 6, x 5 ?

Intervenant 24:06

x 4, x 3, x 2, x 1, et ça donne pile 5040. En fait, c'est la signature intrinsèque d'un polynôme du septième degré.

Intervenant 14:14

D'accord. Pour que ceux qui nous écoutent visualisent bien, c'est comme analyser le déplacement d'un véhicule, non ?

Intervenant 24:21

C'est-à-dire ?

Intervenant 14:22

La première ligne de différence, c'est comme calculer la vitesse, la différence de position sur un temps donné.

Intervenant 24:28

Ah oui, tout à fait.

Intervenant 14:29

Ensuite, si on refait une différence sur cette vitesse, on obtient l'accélération, puis la variation de l'accélération, ce que les physiciens appellent le jerk. Et on continue de creuser, de dériver, jusqu'à tomber sur la force constante fondamentale du moteur.

Intervenant 24:44

Mais c'est une excellente analogie. En fait, en mathématiques continues, on parlerait de dérivés, comme tu dis. Mais ici, en mathématiques discrètes, on parle de différences finies. Cette méthode, elle épluche le polynôme.

Intervenant 14:56

Elle l'épluche ? J'aime bien le

Intervenant 24:58

terme. Ouais. À chaque ligne de soustraction, on élimine le degré le plus élevé. On réduit la puissance 7, puis la puissance 6, jusqu'à isoler cette fameuse constante. Et la véritable puissance de ce truc-là, c'est que c'est parfaitement réversible.

Intervenant 15:09

Réversible. Donc, une fois qu'on a touché le fond, qu'on a isolé ce 5040, on peut reconstruire le mouvement vers le haut.

Intervenant 25:17

Exactement. Au lieu de s'épuiser à calculer des puissances de 7 pour trouver le terme suivant, ce qui prendrait un temps fou, on fait le chemin inverse avec de toutes simples additions.

Intervenant 15:26

Juste des additions.

Intervenant 25:27

C'est ça. On prend notre 5040, on l'ajoute au nombre de la ligne juste au-dessus, ce qui nous donne 35 280, et ce nombre, on l'ajoute à la ligne encore au-dessus.

Intervenant 15:38

C'est une vraie réaction en chaîne.

Intervenant 25:40

Et on propage les différences. On passe de 35 280 à 142 800 puis à 436 800 et ainsi de suite. On remonte les 7 étages de notre pyramide numérique, juste avec des additions, jusqu'à atteindre la valeur finale cherchée au sommet.

Intervenant 15:54

Le fameux 10 millions 12.

Intervenant 25:56

Exactement. En gros, l'algorithme a remplacé des calculs de puissance incroyablement lourds par une simple petite chorégraphie d'addition de base.

Intervenant 16:05

Réduire la complexité vertigineuse des hautes mathématiques en une chorégraphie d'addition basique. Franchement, c'est ça l'élégance de l'algorithmique. Mais il y a un truc qui me turlupine.

Intervenant 26:16

Je t'écoute.

Intervenant 16:17

C'est génial sur le papier pour un nombre. Mais si on doit calculer des milliers de valeurs, par exemple pour construire une table de logarithme entière, faire des milliers d'additions à la main en cascade sur sept étages, ce n'est pas le meilleur moyen de provoquer une catastrophe humaine. Comment ça ? Bah une seule petite erreur de retenue, tu vois, tout en bas de la pyramide, une erreur d'inattention de rien du tout, et le résultat final, tout au sommet, sera complètement faux.

Intervenant 26:41

Ah mais cette observation, elle est cruciale. Et c'était précisément l'antise des scientifiques à la fin du XVIIIe siècle.

Intervenant 16:48

Je m'en doute.

Intervenant 26:48

À cette époque-là, faut bien comprendre que l'éros humaine, c'est pas juste un petit désagrément académique. C'est littéralement une question de vie ou de mort.

Intervenant 16:56

De vie ou de mort, à cause des maths.

Intervenant 26:57

Eh oui ! On est dans une période de grande expansion maritime, de cartographie mondiale, et pour naviguer en pleine mer, pour déterminer sa longitude, un capitaine de vaisseau se repose entièrement sur des éphémérides astronomiques et des tables trigonométriques.

Intervenant 17:10

D'accord, donc des bouquins immenses, remplis de centaines de milliers de nombres, calculés à la moins ?

Intervenant 27:16

C'est exactement ça.

Intervenant 17:17

Et j'imagine qu'une erreur sur, je sais pas moi, la quatrième décimale d'un cosinus, ça peut dévier un navire de plusieurs dizaines de kilomètres et l'envoyer directement s'écraser sur des récifs.