Dichotomie, Newton, sécante : la course vers la racine

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. On a souvent cette image, un peu idéalisée en fait, des mathématiques qu'on nous vend à l'école. Ah

Intervenant 20:11

oui, la fameuse illusion des formules parfaites.

Intervenant 10:14

Exactement. On nous apprend que c'est une affaire de recettes magiques infaillibles, vous voyez. On prend un carinome du second degré, on applique l'équation avec son discriminant et bam, la solution tombe toute propre, emballée dans un joli paquet.

Intervenant 20:27

Sauf que la réalité du terrain, une fois qu'on quitte les bancs du lycée, c'est pas du tout ça.

Intervenant 10:32

Pas du tout. Que se passe-t-il face à une équation absolument, disons, monstrueuse, pour laquelle aucune formule n'a jamais été découverte et ne le sera probablement jamais d'ailleurs ? C'est le but de notre enquête mathématique aujourd'hui. On va explorer les méthodes itératives, ces ruses qu'on déploie pour traquer la solution étape par étape quand la porte principale est verrouillée.

Intervenant 20:52

Et c'est un royaume fascinant. C'est vraiment une traque de longue haleine, bien plus qu'une simple démonstration posée sur un tableau noir. Pour poser les bases calmement, imaginons d'abord une courbe sur un graphique.

Intervenant 11:05

Ouais, une fonction continue hyper complexe.

Intervenant 21:07

Voilà. Mais on va lui en poser deux conditions assez simples pour notre chasse. D'abord, elle doit être continue. C'est-à-dire qu'on peut la dessiner, du début à la fin, sans jamais lever la pointe du stylo de la feuille.

Intervenant 11:20

D'accord, donc pas de trous ou de cassures au milieu, quoi.

Intervenant 21:23

C'est ça. Et la deuxième condition, c'est qu'elle doit être monotone. Elle ne fait pas des montagnes russes. Elle est soit toujours en train de grimper vers le sommet, soit toujours en train de plonger.

Intervenant 11:33

Juste une longue pente fluide, sans rupture de terrain. Mais... Comment on fait le lien entre cette simple pente géométrique et la solution tant espérée de notre équation impossible ?

Intervenant 21:45

Eh bien, imaginez que cette grande pente commence tout en bas, dans le sous-sol des nombres négatifs, profondément en dessous de l'axe horizontal.

Intervenant 11:52

Ok, je la vois.

Intervenant 21:53

Et qu'elle termine sa course tout en haut, dans les nuages des nombres positifs. Puisqu'elle ne s'interroge jamais, pour passer de ce monde souterrain au monde aérien, elle était obligée de percer le plafond, de traverser la ligne du zéro.

Intervenant 12:05

C'est d'une logique implacable. On ne peut pas traverser un mur sans faire un trou dedans. C'est le fameux théorème des valeurs intermédiaires, non ?

Intervenant 22:12

Exactement. L'appellation fait parfois un peu peur aux étudiants, mais l'idée sous-jacente est d'une simplicité enfantine. Et comme notre courbe ne fait que monter, elle ne percera cet axe horizontal qu'à un seul endroit précis.

Intervenant 12:26

Et cette intersection unique, ce moment suspendu où la fonction vaut exactement zéro, c'est notre cible. La fameuse racine de l'équation, souvent baptisée de la lettre grecque alpha.

Intervenant 22:37

C'est tout à fait ça. On a la certitude absolue que ce trésor, ce point alpha, existe bel et bien quelque part sur la carte.

Intervenant 12:45

Génial, mais si on n'a aucune carte au trésor justement, aucune formule pour calculer ces coordonnées précises, par quel bout on prend le problème ? On ne va quand même pas demander à un ordinateur de tester bêtement tous les nombres de l'univers un par un ?

Intervenant 22:58

Oh non, on va procéder par encadrement. On va construire un piège autour de la cible et le refermer de plus en plus fort. Et la toute première arme de cet arsenal, c'est la méthode par dichotomie.

Intervenant 13:11

La dichotomie, ça me donne une image très précise en tête. C'est comme la stratégie qu'on utilise instinctivement pour chercher un mot précis, disons le mot racine, dans un énorme dictionnaire papier.

Intervenant 23:23

C'est l'analogie parfaite, oui.

Intervenant 13:24

On ne lit pas chaque page depuis la lettre A, on ouvre le dictionnaire à vue de nez, en plein milieu, on regarde. Si on tombe sur la lettre M, on sait immédiatement que le mot racine est dans la seconde moitié. Du coup, toute la première moitié du livre part à la poubelle, conceptuellement parlant.

Intervenant 23:41

On garde la bonne moitié et on recommence.

Intervenant 13:43

C'est ça. On prend la grosse moitié restante, on l'ouvre pile en son centre, on élimine encore la moitié inutile et on boucle la manœuvre.

Intervenant 23:51

Le milieu géométrique exact.

Intervenant 13:52

Et il vérifie quoi, concrètement, à ce milieu B ?

Intervenant 23:54

Il vérifie si le résultat de la fonction à cet endroit est positif ou négatif. En comparant avec les bornes d'origine, la machine sait instantanément si le point alpha se cache à gauche ou à droite. Le piège se referme avec une mécanique implacable.

Intervenant 14:09

La racine est toujours emprisonnée ?

Intervenant 24:10

Voilà, dans un intervalle dont la taille est divisée par 2 à chaque étape. La formule de l'erreur, c'est tout bêtement la distance initiale divisée par 2 à la puissance n.

Intervenant 14:19

Mais attendez, couper en deux à chaque fois, ça a l'air redoutablement efficace dit comme ça. Est-ce que ça pose vraiment un problème de vitesse ? Un ordinateur fait des millions de calculs par seconde, on doit avoir une précision énorme en un clin d'œil, non ?

Intervenant 24:30

La réalité du terrain est beaucoup moins glorieuse en fait. Face à des exigences industrielles, la dichotomie c'est le bulldozer des mathératiques.