Conjecture de Syracuse : pourquoi résiste-t-elle encore ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Démarrons cette plongée en profondeur avec un vertige absolu. Ouais,

Intervenant 20:07

le mot est faible.

Intervenant 10:08

Imaginez un jeu mathématique dont les règles sont tellement élémentaires qu'on pourrait les enseigner à un enfant de 8 ans en moins d'une minute.

Intervenant 20:15

C'est ça, un jeu qui demande littéralement qu'une feuille de papier et un crayon.

Intervenant 10:18

Exactement. Et pourtant, ce même petit jeu d'enfant a réussi l'exploit de mettre en échec les esprits les plus brillants du siècle dernier. Ça fait carrément fumer les super ordinateurs les plus puissants de notre planète.

Intervenant 20:29

Il tourne à plein régime pour ça.

Intervenant 10:31

Le nom de ce mystère, c'est Syracuse. Alors, pour une grande partie de notre auditoire, ce mot évoque tout de suite la douche mélodie de la célèbre chanson d'Henri Salvador.

Intervenant 20:40

Oui, l'invitation au voyage, la sérénité, tout ça.

Intervenant 10:43

C'est ça. Mais si on prononce Syracuse dans les couloirs d'un département de maths à la fac, là, l'atmosphère se fige nette.

Intervenant 20:52

Il n'y a plus du tout de sérénité.

Intervenant 10:54

Non, c'est clair. C'est le synonyme d'un casse-tête infernal. Et l'objectif de notre épisode d'aujourd'hui, c'est justement de décortiquer cette fameuse conjecture de Syracuse, qu'on appelle aussi la conjecture de Collatz.

Intervenant 21:05

Et ce qui est fascinant, c'est le contraste. D'habitude, les problèmes mathématiques non résolus, il faut avoir bac plus 10 juste pour comprendre la question.

Intervenant 11:13

Genre des équations sur trois tableaux.

Intervenant 21:15

Voilà, alors qu'ici, la porte d'entrée est grande ouverte, mais le labyrinthe derrière est infini et imprévisible. C'est vraiment une anomalie dans le paysage scientifique.

Intervenant 11:24

Du coup, pour comprendre comment un truc si simple a pu devenir le cauchoir de la communauté scientifique, il faut regarder le moteur, quoi.

Intervenant 21:31

Ouais, regardons sous le capot. La mécanique tient en deux règles. C'est très simple. On prend un nombre entier positif, au hasard. S'il le perd, on le divise par deux.

Intervenant 11:41

Ok, donc ça tire la valeur vers le bas.

Intervenant 21:44

Exactement. Et si le nombre est impair, on le multiplie par 3 et on lui ajoute 1. Ça, c'est la seconde règle qui propulse la valeur vers le

Intervenant 11:53

haut. Le fameux fois 3 plus 1.

Intervenant 21:55

C'est ça. Le résultat qu'on obtient devient notre nouveau nombre de départ et on recommence en boucle.

Intervenant 12:01

Paire, on coupe en deux. Impaire, on fait fois 3 plus 1. Quand on regarde ça, on a l'impression d'avoir un moteur parfaitement déterministe. Genre, on lance pas de dés, y'a pas de hasard.

Intervenant 22:10

Zéro hasard, non.

Intervenant 12:11

Mais dès qu'on le met en route, la trajectoire devient complètement folle. Un vrai flippeur ! Prenons le nombre 7, par exemple. C'est impair, donc 3 fois 7, 21. Plus 1, ça donne 22.

Intervenant 22:21

Et 22, c'est pair. Donc la règle nous force à diviser par 2, ce qui nous amène à 11.

Intervenant 12:27

Qui est impair, donc fois 3, 33, plus 1, 34. On repart à la hausse.

Intervenant 22:33

On divise 34, on tombe sur 17. Impair, donc on s'envole à 52, en le coupant 2, 26, puis 13.

Intervenant 12:42

Et à partir de 13, boum, on grimpe à 40. Et

Intervenant 22:44

là, c'est la dégringolade finale.

Intervenant 12:46

L'écrasement,

Intervenant 22:47

ouais. 40, on divise, ça fait 20, puis 10, puis 5. Et 5 x 3, 15, plus 1, 16. Et là, c'est fini, non ?

Intervenant 12:55

Ah ben, 16, c'est une puissance de 2, donc 16, 8, 4, 2, et on atterrit sur 1.

Intervenant 23:01

Waouh, c'est ce que les matheux appellent un vol, c'est ça ?

Intervenant 13:04

Oui, la nomenclature est super poétique. On parle du vol ou de la trajectoire du nombre avec son altitude maximale. Pour Seth, c'était 52 avant de s'écraser.

Intervenant 23:14

Mais pourquoi c'est si imprévisible en fait ? À chaque fois qu'on fait fois 3 plus 1 sur un nombre impair, on est mathématiquement sûr de tomber sur un nombre pair.

Intervenant 13:23

Ah bah oui, impair fois 3 c'est impair, plus 1 c'est pair.

Intervenant 23:26

Voilà, la parité est rétablie, donc on sait qu'une division par deux va suivre obligatoirement.

Intervenant 13:31

Ok mais alors où est le piège ?

Intervenant 23:33

Le piège c'est qu'on ignore combien de fois de suite on va diviser. Si on tombe sur 16, on chute 4 fois direct jusqu'à 1. Mais si on tombe sur 22, on chute juste une fois avant de redondir.

Intervenant 13:43

Ah je vois. C'est les puissances de 2 qui se cachent un peu partout au hasard dans les nombres.

Intervenant 23:48

C'est exactement l'essence du chaos déterministe. Une équation basique qui génère une bataille entre la division et la multiplication. Et la conjecture affirme un truc fou.

Intervenant 13:57

Que tout finit toujours par tomber sur 4 2 1.

Intervenant 24:00

Inéluctablement. Que tu partes de 7, de 10 milliards, ou d'un nombre avec 100 000 zéros, ça finira toujours par atterrir sur la séquence 4 2 1.

Intervenant 14:08

Et dû que 1 est impair, 3 fois 1 plus 1 égale 4, on divise 2 puis 1. C'est un trou noir.