Approcher une fonction : pourquoi plus de points peut nuire

Intervenant 10:00

Comment une simple calculatrice fait-elle pour recracher un cosinus parfait à 10 décimales, et ça en une fraction de seconde ? Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:11

Bonjour à tous.

Intervenant 10:12

Aujourd'hui, on entame une exploration approfondie vraiment au cœur de nos machines. Parce qu'en fait, on tape une exponentielle, on appuie sur entrée et boum, le résultat s'affiche instantanément. Ouais, c'est presque magique. Exactement. Sauf que la réalité qu'on va découvrir aujourd'hui, en épluchant nos sources, elle risque de bouleverser pas mal de choses sur notre perception de cette fameuse précision numérique.

Intervenant 20:35

Ah, ça c'est certain. Parce que nos machines ne calculent pas vraiment ses fonctions.

Intervenant 10:39

C'est ça le truc. Elles ne les calculent pas, elles trichent en fait.

Intervenant 20:43

Bah oui, elle triche ! Mais attention, elle triche avec une élégance mathématique absolue.

Intervenant 10:48

L'idée de notre plongée d'aujourd'hui, c'est vraiment de comprendre cette mécanique de l'ombre. Comment on remplace le chaos vertigineux de ces opérations complexes par des objets d'une simplicité désarmante pour minimiser les temps de calcul ?

Intervenant 21:02

C'est vrai que le terme de triche est un peu provocateur, mais c'est vraiment l'essence même de l'analyse numérique. Ce n'est pas un simple bricolage brouillon pour faire illusion. On parle vraiment de sculpter l'information avec une précision diabolique.

Intervenant 11:16

Du coup, c'est une sacrée aventure intellectuelle qui nous attend. Et ça commence par une contrainte matérielle pure et dure.

Intervenant 21:22

Oui, l'histoire qu'on va retracer, c'est ça. C'est le mariage forcé entre la contrainte matérielle très froide, très intransigeante de l'ordinateur et la créativité mathématique la plus pure.

Intervenant 11:33

Parce que si on ouvre le ventre d'un processeur, on ne va pas trouver de circuit dédié à la géométrie d'un cercle pour en extraire un sinus.

Intervenant 21:41

Ah non, pas du tout. Un ordinateur, fondamentalement, ça opère sur le corps des nombres réels ou complexes, et ça ne sait exécuter que quatre opérations élémentaires.

Intervenant 11:52

L'addition, la soustraction.

Intervenant 21:53

Voilà. La multiplication et la division. Et c'est tout. Rien d'autre.

Intervenant 11:57

C'est fou quand on y pense. Ça veut dire que dès qu'une variable entre en jeu, le fameux X, on est irrémédiablement restreint à la famille des fractions rationnelles.

Intervenant 22:05

C'est ça, donc les polynômes et leur quotient. La machine ne connaît que ces boucles d'addition et de multiplication.

Intervenant 12:11

Et c'est là qu'on se prend le mur, non ?

Intervenant 22:13

Totalement. C'est le mur conceptuel absolu des mathématiques appliquées. Dès qu'on sort de ces quatre opérations, on pénètre dans le territoire de ce qu'on appelle les fonctions transcendantes.

Intervenant 12:23

Les exponentielles, les logarithmes, la trigonométrie.

Intervenant 22:26

Voilà. Et face à ce mur, il y a une question théorique immense qui se pose. Est-il seulement possible de remplacer n'importe quelle fonction, aussi tortueuse soit-elle, par un simple polynôme ?

Intervenant 12:39

Donc par un truc fini qu'une machine peut calculer ?

Intervenant 22:41

Exactement. Et la réponse vient du XIXe siècle.

Intervenant 12:44

Karl Verstraes ?

Intervenant 22:45

Oui, le théorème du mathématicien allemand Karl Verstraes.

Intervenant 12:50

Pour visualiser, au lieu de l'image un peu éculée des briques de Lego qui feraient un truc en escalier, moi j'aime bien imaginer la chose suivante.

Intervenant 22:57

Je t'écoute.

Intervenant 12:58

On essaie de reproduire la courbure parfaitement fluide d'une vague dans

Intervenant 23:01

l'océan. D'accord.

Intervenant 13:04

Le théorème de Verstrijs nous dit en gros que si on a un fil de fer infiniment souple, on pourra toujours le tordre, de manière à épouser la forme de la vague.

Intervenant 23:13

Un segment de A à

Intervenant 13:14

B,

Intervenant 23:15

et qu'on définit une marge d'erreur, qu'on appelle epsilon,

Intervenant 13:18

même une erreur microscopique,

Intervenant 23:20

aussi petite qu'on veut, eh bien il existera toujours un polynôme dont la courbe va rester emprisonnée dans ce, disons, ce tube d'erreur tout autour de la fonction originale.

Intervenant 13:30

Ah, le tube d'erreur, c'est très visuel ça. La distance entre la courbe et le polynôme ne dépassera jamais ce fameux epsilon.

Intervenant 23:37

C'est exactement ça. Mais attention, il y a un piège dans la formulation.

Intervenant 13:41

Lequel ?

Intervenant 23:42

Est-ce qu'on peut remplacer absolument toute la fonction, partout, de moins l'infini à plus l'infini ? La réponse est non.

Intervenant 13:48

Ah, c'est pour ça que tu as précisé l'histoire du segment de A à B tout à l'heure.

Intervenant 23:52

Voilà. D'où la condition vitale de la continuité et surtout la restriction à un segment fermé.

Intervenant 13:59

Mais du coup, arrêtons-nous là-dessus deux secondes. Pourquoi cette obsession du segment fermé ? Pourquoi on ne peut pas juste garantir ça sur tout l'axe des réels ?

Intervenant 24:06

C'est la nature même des polynômes qui l'interdit. Prends un polynôme non-constant, genre x², x³ ou même x puissance 100, il finit inévitablement par s'envoler vers l'infini ou plonger vers moins l'infini quand x devient très grand.

Intervenant 14:22

Bah oui, forcément.

Intervenant 24:23

Or, si tu prends une fonction comme le sinus,

Intervenant 14:25

qui oscille tranquillement entre moins 1 et 1 pour toujours,

Intervenant 24:28

Exactement. Comment tu veux qu'une courbe polynomial qui explose vers l'infimie suive indéfiniment une petite vaguelette bornée ?

Intervenant 14:36

Ah ouais, c'est juste impossible. Elle va forcément décrocher à un moment.

Intervenant 24:39

C'est pour ça qu'on doit cadrer le terrain de jeu. On découpe un morceau fini de la fonction, et c'est sur ce morceau précis que Weierstrass nous garantit que le polynôme existe.

Intervenant 14:48

D'accord, c'est le fameux théorème d'existence. C'est magnifique, mais ça a le défaut de tous les théorèmes d'existence purs, non ?

Intervenant 24:55

C'est-à-dire ?

Intervenant 14:56

Il nous certifie que notre fil de fer magique existe, mais il ne nous donne pas du tout le plan de torsion. Il ne nous dit absolument pas comment calculer les

Intervenant 25:03

coefficients.

Intervenant 15:05

La pratique.

Intervenant 25:06

C'est vrai.

Intervenant 15:06

Et pour passer à la pratique, on bascule dans un autre domaine, l'art de l'interpolation. L'idée intuitive, dis-moi si je me trompe, c'est de planter des piquets sur notre courbe, on relève des points de repère et on force un polynôme à passer par ces points.

Intervenant 25:19

Tu as tout compris. Géométriquement, ça devient très concret. On a une série de valeurs y pour des abscisses x et on cherche l'équation d'une courbe qui traverse chaque point.