Carrés magiques : quand multiplier remplace additionner

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on part sur une enquête mathématique complètement dingue.

Intervenant 20:06

Ah oui, complètement. C'est une vraie immersion dans ce que les mathématiques ont de plus vertigineux.

Intervenant 10:11

Franchement, oui. Parce que bon, on a tous déjà rempli un carré magique classique.

Intervenant 20:16

Oui, le fameux carré où on additionne les nombres.

Intervenant 10:18

Voilà, les lignes, les colonnes, les diagonales, ça donne toujours le même résultat. C'est rassurant, c'est

Intervenant 20:24

C'est presque apaisant, on peut le dire.

Intervenant 10:26

C'est ça. Mais aujourd'hui, on va prendre cette petite grille paisible et on remplace le doux signe de l'addition par celui de la multiplication.

Intervenant 20:33

Et là, c'est le drame. Ce simple changement fait totalement disjoncter les mathématiques.

Intervenant 10:38

Mais vraiment, ça brise les algorithmes d'ordinateurs, ça crée des nombres qui se comptent en billions. C'est le chaos.

Intervenant 20:44

C'est une zone de turbulences arithmétiques fascinantes. Notre exploration du jour va nous emmener de la Chine antique jusqu'à la pointe de la recherche informatique contemporaine.

Intervenant 10:55

Rien que ça ?

Intervenant 20:55

Oui, parce que passer du plus au fois, ça déclenche une réaction en chaîne redoutable. Toute la structure vole en éclats.

Intervenant 11:02

Et ça révèle des mystères qui tiennent encore tête aux chercheurs aujourd'hui, ce qui est quand même fou. Alors, avant d'aborder ces sommets, posons nos fondations.

Intervenant 21:10

D'accord, remontons le temps.

Intervenant 11:12

On va remonter 22 siècles en arrière, en plein cœur de la Chine antique. Nos sources pointent vers un objet fondamental, le fameux lochu.

Intervenant 21:20

Le lochu, oui. C'est vraiment la base absolue.

Intervenant 11:24

C'est une grille très simple en fait. Un carré magique additif de 3 cases sur 3, avec les chiffres de 1 à 9.

Intervenant 21:30

Et la somme magique est de 15 partout. C'est élégant.

Intervenant 11:34

Et pendant des siècles, l'humanité s'est satisfaite de cette belle harmonie additive, jusqu'à un énorme point de bascule.

Intervenant 21:41

En 1683 exactement. C'est là qu'intervient Antoine Arnold.

Intervenant 11:45

Un théologien et mathématicien français, c'est bien ça ?

Intervenant 21:48

C'est ça. Il publie un ouvrage hyper ambitieux, Les nouveaux éléments de géométrie, et dedans, il présente le tout premier carré magique multiplicatif de l'histoire.

Intervenant 11:57

Donc le but n'est plus de faire 15 en additionnant ?

Intervenant 21:59

Non, le but c'est d'obtenir un produit constant en multipliant les cases.

Intervenant 12:04

Et la méthode d'Arnold, je la trouve d'une ruse incroyable. En lisant nos documents, j'ai tout de suite pensé au cheval de Troie.

Intervenant 22:11

Ah, l'image du cheval de Troyes est parfaite pour ça.

Intervenant 12:14

Parce qu'il n'a pas du tout jeté le vieux lochou à la poubelle pour chercher de nouveaux nombres au hasard. Il l'a utilisé de l'intérieur.

Intervenant 22:21

Comme une mécanique cachée. C'est un vrai coup de génie qui repose sur une propriété fondamentale de l'arithmétique.

Intervenant 12:28

Le comportement des puissances, non ?

Intervenant 22:30

Exactement. Au lieu de prendre les nombres de 1 à 9 de la grille originale comme des simples valeurs, il s'en sert comme d'exposants.

Intervenant 12:38

Donc il prend un nombre de base, disons le chiffre 2.

Intervenant 22:42

Oui, et il l'élève à la puissance des nombres du vieux carré magique.

Intervenant 12:46

On se retrouve donc avec 2 puissance 1, 2 puissance 2, et ça jusqu'à 2 puissance 9.

Intervenant 22:52

Voilà. Et comme on apprend au collège que multiplier des puissances, ça revient secrètement à additionner leurs exposants, la magie opère.

Intervenant 13:01

C'est ça. La magie de l'addition originelle, qui est cachée à l'intérieur, garantit la magie de la multiplication en surface. Le pont, l'autre lieu de l'onde, est juste parfait. Si on multiplie 2 à la puissance 8 par 2 à la puissance 1, puis par 2 à la puissance 6, on additionne 8, 1 et 6.

Intervenant 23:19

Ce qui fait 15. Donc on obtient 2 à la puissance 15.

Intervenant 13:24

La somme constante de l'ancien carré, ce fameux 15, devient l'exposant constant du nouveau produit. Sauf que cette bascule a un prix.

Intervenant 23:33

Ah oui, les valeurs numériques s'emballent très brutalement.

Intervenant 13:36

C'est le moins qu'on puisse dire. 2 puissance 15, ça représente un produit magique de 32 768.

Intervenant 23:43

Pour une minuscule grille de 3 cases sur 3. L'inflation est colossale.

Intervenant 13:47

Arnaud s'en est rendu compte, j'imagine.

Intervenant 23:49

Oui, il en était conscient. Du coup, il a cherché à réduire la voilure en décalant sa matière première.

Intervenant 13:54

C'est-à-dire ?

Intervenant 23:55

Au lieu d'utiliser les chiffres de 1 à 9, il a construit une grille avec les nombres de 0 à 8.

Intervenant 14:01

Ah oui, le zéro ! Parce que tout nombre élevé à la puissance 0, ça donne 1. C'est un exposant formidable.

Intervenant 24:08

Voilà, ce petit pas de côté vers le zéro fait baisser la somme magique additive de 15 à 12.

Intervenant 14:14

Et mécaniquement, le produit multiplicatif chute de 2 puissance 15 à 2 puissance 12.

Intervenant 24:20

Ce qui nous donne un nombre beaucoup plus digeste de 4096. C'est

Intervenant 14:24

une belle optimisation pour le XVIIe siècle.

Intervenant 24:27

Carrément, mais on connaît la nature obsessionnelle des mathématiciens. Dès qu'une limite est posée, il y a toujours quelqu'un pour demander si on peut faire mieux.

Intervenant 14:35

C'est clair. On veut toujours le produit magique, le plus petit possible, mais avec la contrainte d'une utilisée que des entiers tout différents.

Intervenant 24:43

Exactement. Et cette quête va dormir pendant un bon moment, jusqu'à la fin du 19e

Intervenant 14:48

siècle. En 1893 pour être précis, avec George Pfefferman.