17 nov. 2022 · 29 min
Cercles tangents : l’inversion qui change le problème
L’épisode suit, étape par étape, une inversion qui transforme des cercles en droites, puis éclaire les cercles jumeaux et les chaînes de Pappus et Steiner.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi d'accueillir tous ceux qui nous écoutent aujourd'hui pour une nouvelle exploration géométrique qui s'annonce absolument passionnante.
Intervenant 2
Bonjour Sam. Oui, je suis ravie d'être là. On a un très beau programme aujourd'hui.
Intervenant 1
Un programme fascinant, oui. Alors pour commencer, j'aimerais qu'on imagine une petite scène.
Intervenant 2
Allez-y, je visualise.
Intervenant 1
Bon, on essaye de glisser une pièce de monnaie parfaitement ronde pile au milieu de trois autres pièces, de tailles différentes.
Intervenant 2
D'accord, un petit puzzle sur un coin de table ?
Intervenant 1
C'est ça. Le but du jeu, en fait, c'est que cette nouvelle pièce vienne embrasser, effleurer très exactement les trois autres.
Intervenant 2
Sans laisser le moindre espace entre les pièces ?
Intervenant 1
Absolument aucun. Mais surtout, sans faire bouger les autres pièces d'un seul millimètre.
Intervenant 2
Ah, ça se corse.
Intervenant 1
Voilà, dit comme ça, ça ressemble à un petit casse-tête inoffensif de fin de repas, quoi. Mais ce qu'il faut savoir, c'est qu'au XVIe siècle, ce problème exact a déclenché des rivalités intellectuelles, mais féroces. Oh oui, le
Intervenant 2
mot est faible.
Intervenant 1
Des accusations de tricheries, des débats sans fin, ça a littéralement rendu fous les mathématiciens pendant des centaines d'années.
Intervenant 2
Et c'est pas une exagération, c'est un véritable cauchemar historique.
Intervenant 1
C'est fou. Donc aujourd'hui, on plonge au cœur d'une forme si pure qu'on a parfois tendance à la banaliser. C'est le cercle.
Intervenant 2
La forme parfaite par excellence.
Intervenant 1
Mais attention, l'audience doit le savoir, on ne va pas s'ennuyer avec des calculs de périmètre ou des formules basiques.
Intervenant 2
Non, non, on va aller beaucoup plus loin.
Intervenant 1
On va parler de cette fascination quasi obsessionnelle pour la tangence, pour les fameux cercles touchants.
Intervenant 2
Tout un programme.
Intervenant 1
Et surtout, on va voir comment une véritable baguette magique mathématique a fini par débloquer ce fameux cauchemar séculaire.
Intervenant 2
C'est une excellente entrée en matière. Et vraiment, le terme de cauchemar est à peine exagéré quand on lit les lettres et les correspondances de l'époque.
Intervenant 1
Et j'imagine l'ambiance.
Intervenant 2
Mais bon, avant d'arriver à cette fameuse baguette magique, il me semble indispensable de poser une fondation un peu plus rigoureuse.
Intervenant 1
Allez-y, on vous écoute.
Intervenant 2
Qu'est-ce que la tangence, au fond ? Si on parle en termes mathématiques, c'est ce qu'on appelle la linéarisation locale d'une courbe.
Intervenant 1
Oh la linéarisation locale !
Intervenant 2
Oui, je sais, ça fait peur dit comme ça.
Intervenant 1
C'est exactement le genre de terme qui fait fuir le grand public en général. On peut décortiquer ça un peu. C'est l'idée de zoomer très fort sur une courbe. C'est tout à fait ça, oui. Imaginez un cercle. C'est une forme qui est par nature tout en rondeur. Jusque là, on est bon. Bah, si vous zoomez à l'infini sur un point très précis de son bord, la courbure finit par s'estomper à l'œil nu.
Intervenant 2
Ah d'accord, le bord devient quasiment plat.
Intervenant 1
Exactement. Il devient indiscernable d'une ligne droite. En fait, c'est le même principe qui fait que lorsqu'on se tient au milieu d'un grand champ, la Terre nous paraît complètement plate.
Intervenant 2
Alors qu'elle est évidemment sphérique.
Intervenant 1
Voilà. La tangente, c'est vraiment l'art d'effleurer cette courbe en un point unique. C'est partager cette même ligne droite imaginaire, l'espace d'un instant, sans jamais la traverser.
Intervenant 2
C'est très poétique en fait. On effleure, mais on ne coupe pas. C'est la beauté de la géométrie. Et le cercle étant la courbe fermée la plus symétrique, la plus élégante, c'est naturellement devenu le terrain de jeu ultime pour ces problèmes de contact.
Intervenant 1
Et ce terrain de jeu, il ne date pas d'hier. Il est ancien, très ancien même. Bien avant les querelles du XVIe siècle, l'Antiquité grecque était déjà sur le coup, non ?
Intervenant 2
Ah oui, complètement. Dès le IIIe siècle avant notre ère, on a un esprit brillant comme Archimède, qui passait déjà ses journées à étudier des configurations intriquées de cercles tangents.
Intervenant 1
L'obsession était déjà là.
Intervenant 2
Mais le véritable père fondateur de ce domaine bien spécifique, c'est Apollonius de Perge.
Intervenant 1
Apollonius, un grand nom.
Intervenant 2
Un géant. Il a d'ailleurs consacré un livre entier à cette question de la tangence, un ouvrage qui est devenu mythique. Ça s'appelait « Le traité des contacts ».
Intervenant 1
Un livre entier juste sur la façon dont les choses se touchent géométriquement ?
Intervenant 2
C'est ça. Il les recensait de manière systématique, les manières de faire se toucher des points, des droites et, bien sûr, des cercles.
Intervenant 1
Mais il y a un côté très dramatique à cette histoire, un peu comme pour la grande bibliothèque d'Alexandrie, je trouve.
Intervenant 2
Vous voulez dire par rapport à la perte des documents ?
Intervenant 1
Voilà. Ce traité d'Apollonius, le traité des contacts, on ne l'a plus en fait.
Intervenant 2
Et non, tragiquement oui. Le texte originel est perdu à jamais.
Intervenant 1
Il a complètement disparu, consumé par le temps, les incendies ou simplement l'oubli.
Intervenant 2
C'est un grand classique de l'histoire antique. Mais ce qui est fascinant, c'est la façon dont ce savoir a survécu malgré tout. Ah. Une lueur d'espoir. Comment on en a gardé la trace alors ?
Intervenant 1
Eh bien, des siècles plus tard, un autre mathématicien grec, Papus d'Alexandrie, a eu la présence d'esprit d'inclure des résumés.
Intervenant 2
Des résumés de l'œuvre d'Apollonius ? Oui, des résumés très détaillés des théorèmes d'Apollonius dans ses propres écrits. Et ces résumés ont agi comme une véritable capsule temporelle.
Intervenant 1
C'est inespéré.
Intervenant 2
Sans Papus, tout un pan de cette géométrie aurait été effacé. Et du coup, c'est justement quand ces textes sont retrouvés et traduits à la Renaissance que le feu aux poudres est mis.
Intervenant 1
Ce qui nous amène à notre grande mission d'aujourd'hui dans ce podcast, en effet.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
On va essayer de comprendre comment l'esprit humain est passé de cette géométrie très stricte de l'Antiquité, avec ses règles qui ressemblent presque à un dogme.
Intervenant 2
C'était clairement
Intervenant 1
un dogme, oui. À l'invention d'outils d'une beauté, d'une fluidité incroyable. Et pour comprendre cette bascule, il faut s'arrêter sur ce fameux défi qui a rendu tout le monde fou. Le fameux dixième problème d'Apollonius.
Intervenant 2
C'est la pierre angulaire de notre histoire.
Intervenant 1
L'énoncé est d'une simplicité trompeuse. En gros, c'est ce que je disais au début avec mes pièces de monnaie. Étant donné trois cercles placés n'importe où sur une feuille, trouvez un quatrième cercle qui vienne toucher les trois autres.
Intervenant 2
Sur le papier, comme vous dites, ça a l'air simple. Le cerveau visualise très bien la solution. On imagine la bulle qui gonfle au milieu jusqu'à toucher les trois parois.
Intervenant 1
Voilà, l'intuition est bonne.
Intervenant 2
Mais à construire rigoureusement avec les outils de l'époque. C'est une montagne inenfranchissable.
Intervenant 1
C'est là que ça bloque.
Intervenant 2
Bah oui. À la fin du XVe siècle, le savant Régio Montanus s'y était attaqué. Il avait même trouvé une solution, mais il avait dû ruser.
Intervenant 1
Ruser comment ?
Intervenant 2
Il avait utilisé des méthodes algébriques, des équations lourdes.
Intervenant 1
Ah, l'algèbre. Le gros mot pour un géomètre de l'époque.
Intervenant 2
Mais totalement ! Pour les puristes, l'algèbre n'a absolument rien à faire dans un problème de tracés géométriques. Le mystère de la construction géométrique pure restait entier.
Intervenant 1
Et c'est là qu'éclate notre fameux clash historique, on est au XVIe siècle.
Intervenant 2
Un de mes moments préférés de l'histoire des sciences.
Intervenant 1
J'adore cette partie aussi, on se croirait vraiment dans une joute verbale sur les réseaux sociaux d'aujourd'hui, mais bon, avec des plumes et du parchemin.
Intervenant 2
Le drama était réel.
Intervenant 1
Alors, on a d'un côté François Viette, un immense mathématicien français, une sommité absolue à l'époque.
Intervenant 2
Une très grande figure, oui.
Intervenant 1
Et Viette, du coup, décide de lancer un défi à un jeune loup, Adrien Romain, un médecin et mathématicien belge.
Intervenant 2
Il voulait le tester.
Intervenant 1
Il lui dit en substance « prouvez votre valeur, résolvez le problème d'Apollonius, mais faites-le avec de la vraie géométrie. »
Intervenant 2
Le défi en C.
Intervenant 1
Et là, Adrien Romain relève le gant. Il publie une solution à une vitesse vraiment fulgurante. Donc, fin de l'histoire, la communauté scientifique applaudit et on passe à la suite.
Intervenant 2
Bah, pas du tout. C'est même l'inverse.
Intervenant 1
Viet n'est pas content.
Intervenant 2
Il est furieux. Il lit la solution de Romain et la rejette avec un mépris total.
Intervenant 1
Mais pourquoi ? La solution était fausse.
Intervenant 2
Non, c'est ça le pire. Romain a bel et bien trouvé comment tracer le cercle. Mais pour y arriver, au milieu de sa démonstration, il a tracé d'autres types de courbes, des coniques et plus spécifiquement des hyperboles.
Intervenant 1
Ah, j'essaie de trouver une image pour que ceux qui nous écoutent comprennent le dégoût de Viette. C'est un peu comme si je vous demandais d'ouvrir une noix de la manière la plus délicate possible et que vous rameniez un bulldozer pour l'écraser.
Intervenant 2
C'est une excellente analogie.
Intervenant 1
Le travail est fait, l'amende est intacte, mais la méthode est d'une brutalité sans nom pour l'époque.
Intervenant 2
C'est exactement ce qu'a ressenti Viette. Pour comprendre ce rejet viscéral, il faut vraiment se replonger dans la philosophie d'Euclide.
Intervenant 1
Les fameux éléments de Clyde.
Intervenant 2
Oui, depuis la Grèce antique, la règle absolue, le summum de la noblesse mathématique, c'est que toute construction géométrique doit se faire exclusivement avec deux outils.
Intervenant 1
La règle et le compas, j'imagine.
Intervenant 2
Mais attention, une règle non graduée.
Intervenant 1
Oui.
Intervenant 2
Juste un bout de bois droit. Tracer des droites, tracer des cercles et c'est tout, rien d'autre.
Intervenant 1
C'est minimaliste, au possible.
Intervenant 2
C'était perçu comme l'ordre naturel des choses, une perfection quasi divine.
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