Covid-19 : comment le modèle SIR éclaire-t-il les mesures ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va faire une exploration vraiment fascinante. Imaginez, au début de l'année 2020, on a cette menace purement biologique qui balaye la planète à une vitesse mais foudroyante. Ouais,

Intervenant 20:14

un chaos total.

Intervenant 10:16

Un chaos total, exactement. Des hôpitaux débordés, une incertitude absolue. Et pourtant, face à tout ça, l'arme de compréhension massive la plus efficace de l'humanité, ce n'était pas un microscope super puissant.

Intervenant 20:29

Non, clairement pas.

Intervenant 10:30

C'était un tableau noir. Un simple tableau recouvert de craies et de modèles statistiques. C'est quand même une ironie incroyable, non ?

Intervenant 20:38

Ah bah c'est sûr que c'est un changement de paradigme qui est fondamental. Parce que d'habitude, la médecine, elle gère la maladie à l'échelle de l'individu, tu vois. Le patient arrive, on l'examine, on le traite.

Intervenant 10:52

Ouais, du un pour un quoi.

Intervenant 20:53

Voilà. Mais quand on passe à l'échelle d'une pandémie mondiale, la biologie toute seule ne suffit plus du tout pour anticiper. Et c'est exactement ce que démontre l'article qu'on va décortiquer aujourd'hui, qui s'intitule « Covid-19, les maths à la rescousse », publié dans Tangente.

Intervenant 11:08

Un article passionnant d'ailleurs.

Intervenant 21:10

Absolument, il met en lumière cette bascule. Il nous montre comment des modèles épidémiologiques ont permis de quantifier cette propagation, de donner un sens à l'invisible en fait, et surtout de fournir un cadre rationnel à des mesures d'urgence qui étaient d'une ampleur inédite.

Intervenant 11:25

Et c'est exactement notre mission pour cette discussion. On veut démontrer que les maths, ce n'est pas juste une abstraction un peu froide qui fait peur aux collégiens, c'est un véritable outil de survie massif. Carrément. Mais du coup, pour comprendre comment ces équations tentent de nous sauver, il faut d'abord comprendre comment elles nous perçoivent. Et c'est là qu'entre en scène ce que l'article appelle les modèles compartimentaux.

Intervenant 21:48

Ouais, les fameux modèles compartimentaux.

Intervenant 11:51

Ça sonne hyper clinique, presque industriel comme terme. C'est quoi exactement l'idée derrière ça, Evan ?

Intervenant 21:56

Alors, l'idée de base, c'est de prendre une très grande population, genre les habitants d'un pays entier. Et pour simplifier cette complexité qui est juste vertigineuse, on va ranger les individus dans des boîtes virtuelles.

Intervenant 12:08

Des boîtes, d'accord.

Intervenant 22:10

Des compartiments, oui. Et le modèle fondamental, celui qui sert de socle à presque toute l'épidémiologie moderne, c'est ce qu'on appelle le modèle SIR. SIR. Trois lettres pour trois états possibles face à un virus.

Intervenant 12:24

Ok, donc on étiquette littéralement des millions de personnes pour suivre le flux. Quelles sont les caractéristiques de ces trois compartiments ? Alors, la première lettre, le S, c'est pour quoi ?

Intervenant 22:35

La première boîte, le S, ça regroupe les personnes dites « saines » ou, pour utiliser le vrai jargon des épidémiologistes, les « susceptibles ».

Intervenant 12:43

Les susceptibles, ouais.

Intervenant 22:44

Ce sont tous les gens qui n'ont pas la maladie, mais qui n'ont aucune protection contre elle non plus. Ils peuvent l'attraper. Ensuite, t'as la deuxième boîte, le I pour infecter. Là, on trouve les gens qui ont contracté le virus, qui l'ont en eux, et surtout, et c'est ça le point clé, qui sont capables de le transmettre à d'autres.

Intervenant 13:01

D'accord, donc on a les susceptibles qui peuvent l'attraper, les infectés qui le donnent et la troisième lettre, le R.

Intervenant 23:09

Le R, ça vient de l'anglais « recovered », ce qu'on traduit chez nous par « guéri ». C'est le compartiment de ceux qui ont eu la maladie, qui s'en sont remis et qui ont développé une immunité. Donc le virus ne peut plus les toucher, ils sortent de la chaîne de transmission en fait.

Intervenant 13:24

Tu sais, en lisant cette répartition dans l'article, j'ai tout de suite pensé à un truc. C'est une version à l'échelle d'un pays, du jeu du loup dans la cour de récréation. Ah

Intervenant 23:33

ouais, c'est une super analogie

Intervenant 13:34

ça. Bah oui, au début de la récré, presque tous les enfants sont dans la catégorie S, les susceptibles, ils courent partout. Le compartiment I, c'est le gamin qui fait le loup. Et dès qu'il touche un de ses potes, paf, transfert mathématique. L'enfant touché passe de la boîte S à la boîte I. C'est exactement la

Intervenant 23:49

dynamique, oui.

Intervenant 13:51

Sauf que là, bon, on ne joue pas pour rigoler à la récré, c'est la santé publique d'une nation entière qui est en jeu.

Intervenant 23:57

Voilà, l'enjeu est un peu plus lourd, mais l'image illustre parfaitement la contagion. Et pour modéliser ça au niveau mondial au tout début de Covid-19, l'Institut international de la statistique s'est appuyé sur des simulations très poussées, notamment celle d'un statisticien suédois, le professeur Tom Britton de l'Université de Stockholm.

Intervenant 14:15

Et qu'est-ce qu'il a trouvé de particulier ce professeur ?

Intervenant 24:18

Eh bien, l'article souligne un truc capital dans ces simulations. Le paramètre le plus crucial, c'est la condition initiale. À l'instant zéro, face à un virus totalement nouveau, comme le SARS-CoV-2, il n'y a aucune immunité naturelle préalable. Et pas de vaccin, évidemment.

Intervenant 14:32

Ce qui veut dire que la boîte R, les immunisés, elle est vide de chez vide au début.

Intervenant 24:37

Exactement, zéro personne. Et la boîte S, elle, elle contient quasiment 100% de la population. Il suffit qu'une poignée d'individus, voire juste une seule personne, entre dans la boîte I pour que le mouvement se déclenche entre les compartiments.

Intervenant 14:51

L'étincelle, quoi.

Intervenant 24:52

C'est ça. Après, on peut complexifier les modèles. On peut ajouter une boîte D pour les décédés ou une boîte Q pour ceux en quarantaine. Mais mathématiquement parlant, pour le virus, une personne décédée ou isolée joue le même rôle de frein qu'une personne guérie. Elle ne transmet plus la maladie.

Intervenant 15:06

Ouais, elle est hors-jeu. Mais attends, il y a un point dans l'article qui me chiffonne un peu. Pour que ce modèle SIR fonctionne, la théorie suppose que tous les individus de la population sont, et je cite l'article, « semblables ».

Intervenant 25:17

Oui, semblables.

Intervenant 15:18

Mais mon esprit critique a bondi en lisant ça. C'est une simplification qui paraît complètement absurde sur le terrain. La société, ce n'est pas un gigantesque billard avec des sphères identiques qui rebondissent au hasard.

Intervenant 25:28

Je vois très

Intervenant 15:30

bien où tu veux en venir. Ben oui, prends un chauffeur-livreur. Il va rencontrer, je ne sais pas, une centaine de personnes par jour. Alors qu'un développeur informatique en télétravail, il peut rester une semaine sans croiser personne. Comment un modèle qui efface toutes ces nuances sociologiques peut être pris au sérieux pour dicter des politiques publiques ?

Intervenant 25:46

C'est la remarque la plus naturelle qui vient à l'esprit quand on découvre la modélisation du vivant, franchement. Et la réponse, elle se trouve dans un des piliers des statistiques, la loi des grands nombres.

Intervenant 15:57

La loi des grands nombres.

Intervenant 26:00

C'est évident qu'à l'échelle microscopique, c'est-à-dire l'individu, le comportement est hyper erratique et imprévisible. Ton livreur et ton développeur, ils n'ont pas du tout le même risque, on est d'accord. Mais l'épidémiologie, elle ne cherche pas à prédire le destin de Jean le développeur ou de Marc le livreur. Elle étudie des populations de plusieurs millions de personnes.

Intervenant 16:21

C'est un peu le principe de la thermodynamique avec les gaz en fait.

Intervenant 26:24

Mais oui, c'est une très bonne comparaison.

Intervenant 16:26

On ne peut pas calculer la trajectoire d'une seule molécule d'air dans un ballon, c'est impossible. Mais si on prend des milliards de molécules ensemble, on peut parfaitement calculer la pression globale à l'intérieur du ballon.

Intervenant 26:35

Exactement. Quand on additionne le comportement super social du livreur, l'isolement du télétravailleur et les sorties du week-end de l'étudiant, Le tout se lisse, les extrêmes se compensent pour dégager une moyenne qui est mathématiquement extrêmement robuste. C'est ce lissage macroscopique qui permet de construire un modèle prédictif sans avoir à fliquer l'agenda de chaque citoyen.

Intervenant 16:55

D'accord, je comprends mieux. C'est le prix à payer pour avoir une vision globale. Bon, une fois qu'on a accepté cette vision macroscopique, la question c'est le moteur. Qu'est-ce qui détermine la vitesse à laquelle la boîte désinfectée va se remplir ? Ce qui nous amène à la star de cette crise sanitaire, le fameux paramètre R0.

Intervenant 27:14

Ah, le R0. Le taux de reproduction de base. C'est vraiment le cœur battant de toute l'épidémiologie. Pour faire simple, c'est le nombre moyen de personnes saines qu'un malade va infecter pendant qu'il est contagieux, dans une population sans immunité. Ok. Et Tom Britton modélise ça de façon super élégante. Le R0, c'est la multiplication de deux facteurs. D'un côté, la variable N, qui est le nombre de contacts moyens qu'on a chaque jour, et de l'autre, la variable P, qui est la probabilité que le virus soit effectivement transmis pendant un de ces contacts.

Intervenant 17:49

Donc, si je résume, le R0, c'est la fréquence de nos rencontres multipliée par le risque de chaque rencontre.

Intervenant 27:56

C'est ça. N fois P.

Intervenant 17:57

Et c'est ce score qui fixe le destin de l'épidémie. L'article est hyper clair là-dessus. Si ce fameux R0 est inférieur ou égal à 1, on gère.

Intervenant 28:05

Oui, parce que mathématiquement, si une personne infecte moins d'une personne en moyenne, disons 0,8, la chaîne s'appauvrit. L'épidémie s'étouffe. Les simulations montrent que dans ce cas, le total de personnes touchées ne dépassera jamais les 10% de la population. Le feu s'éteint tout seul, par manque de relais.

Intervenant 18:23

Mais alors c'est là que les recherches de Britton, relayées par Tangente, deviennent complètement contre-intuitives. C'est quand on franchit ce seuil de 1. Oui,

Intervenant 28:31

là tout bascule.

Intervenant 18:32

Prenons un scénario où le R0 est à 1,5. Le virus est moyennement contagieux. Une personne en infecte une et demie en moyenne. Les simulations révèlent qu'à la fin, près de 60% de la population aura contracté le virus.

Intervenant 28:45

C'est énorme.

Intervenant 18:46

Mais le point qui défie le bon sens, c'est qu'entre les 10% du scénario calme et les 60% du scénario 1,5, il n'y a rien. C'est ce qu'ils appellent la zone vide.

Intervenant 28:57

Ouais, l'équation 1 taux expo main R0 taux égal 0 donne des résultats très nets.

Intervenant 19:03

Mais pourquoi ? C'est ça que je ne piche pas. Pourquoi on n'observe jamais un virus qui toucherait juste, je ne sais pas, 30% d'un pays qui déciderait de s'arrêter tranquillou ? Pourquoi il n'y a pas de juste milieu ?

Intervenant 29:14

C'est parce que c'est la manifestation pure de ce qu'on appelle la dynamique non linéaire. La croissance exponentielle quoi. Et c'est hyper dur à appréhender pour notre cerveau qui pense de manière proportionnelle. Faut imaginer une réaction en chaîne. C'est comme une étincelle dans une forêt ultra sèche.

Intervenant 19:31

L'étincelle, c'est notre passion zéro tout à l'heure.

Intervenant 29:34

Voilà. Ah ouais, la réaction s'emballe. Très vite, c'est plus juste des arbres qui brûlent, c'est un brasier qui génère sa propre chaleur, son propre vent, c'est ça l'exponentiel.

Intervenant 110:00

Le feu crée les conditions de sa propre accélération en fait.

Intervenant 210:04

Exactement. Et un feu de forêt pareil, il ne va pas s'arrêter poliment au tiers de la forêt en disant « bon, je suis fatigué, je m'arrête là ». La dynamique garantit que ça va continuer tant qu'il y a du carburant.

Intervenant 110:14

Et le carburant, dans notre modèle SIR, c'est la boîte S, les susceptibles.

Intervenant 210:19

C'est ça. Le seul truc qui force l'épidémie à ralentir, c'est l'épuisement massif de ces personnes saines. Quand le virus se retrouve entouré de gens déjà immunisés, il ne trouve plus de cible. Et cet épuisement, mathématiquement, il ne se produit que quand la grande majorité de la population a été touchée. D'où la France de palier à 30%. Une fois l'exponentielle lancée, elle va jusqu'au bout.

Intervenant 110:42

Waouh, ça éclaire d'un jour vraiment terrifiant les estimations du début du Covid. Parce qu'à l'époque, on estimait le R0 entre 2 et 2,5, non ? Ouais, entre 2 et 2,5. Un

Intervenant 210:50

malade infectait plus de deux personnes.

Intervenant 110:55

Donc si on suit la logique impitoyable de ce feu de forêt, sans aucune intervention de notre part, le modèle prévoyait que l'épidémie ne s'arrêterait qu'après avoir brûlé tout son carburant, ce qui donnait un taux d'infection de 80%.

Intervenant 211:07

80% de la population touchée en quelques mois. Face à ce mur mathématique, avec nos capacités hospitalières, laisser faire l'exponentiel, c'était l'effondrement garanti du système de soins. Et cette démonstration n'était pas là pour faire peur. Elle était juste fondée sur des probabilités implacables.

Intervenant 111:22

C'est d'une froideur mathématique qui donne le vertige. Mais paradoxalement, c'est aussi là qu'on trouve la solution. Parce que si les modèles dessinent la cata, ils fournissent aussi le plan de secours. Face à ces 80%, quel arsenal on a pour modifier le destin ?

Intervenant 211:38

Bah, puisqu'on connaît la mécanique du moteur, on peut bidouiller les pièces. Le levier le plus puissant, évidemment, c'est la vaccination. On introduit une nouvelle variable, Q, qui est la proportion de gens immunisés artificiellement dès le départ.

Intervenant 111:53

Pour reprendre l'image de la forêt, c'est comme si on enlevait des arbres très secs avant le feu ou qu'on les remplaçait par des arbres bétons inflammables.

Intervenant 212:01

C'est tout à fait ça. On vide la boîte S pour remplir la boîte R, sans passer par la case maladie I. Et l'article montre un truc génial si on arrive à vacciner la moitié de la population, donc Q égale 0,5, et que le R0 est inférieur à 2. La dynamique de la réaction en chaîne est brisée nette. L'épidémie s'éteint.

Intervenant 112:19

C'est une démonstration éclatante. Le seul gros problème, c'est qu'en mars 2020, les vaccins, ils n'existaient pas encore.

Intervenant 212:26

Non, les labos cherchaient encore, oui.

Intervenant 112:28

Comment on fait pour modifier l'équation si on est biologiquement désarmé ?

Intervenant 212:32

On s'attaque à la définition du R0. On a dit que c'était N fois P. L'objectif, c'est de faire chuter le résultat de cette multiplication en dessous de 1. Et pour ça, on a deux leviers

Intervenant 112:43

concrets. En lisant cette partie de l'article, j'ai eu une image mentale super claire. Le R0, en fait, c'est exactement comme les réglages d'un gros ampli de son sur une chaîne IFI. Voyons voir

Intervenant 212:53

ça.

Intervenant 112:56

Pour baisser le volume assourdissant de la pandémie, on a deux gros boutons rotatifs. Le premier bouton, c'est les basses. C'est la variable P, la probabilité que le virus passe d'une personne à l'autre lors d'un contact.

Intervenant 213:10

OK. Et pour baisser ces basses, on met en place des barrières mécaniques. C'est les gestes barrières. Le lavage des mains au savon qui détruit le virus. Le port du masque qui bloque les gouttelettes. À chaque fois qu'on met un masque, on tourne le bouton des basses vers la gauche. La probabilité de transmission s'effondre.

Intervenant 113:26

On continue de se croiser, mais sans se contaminer. Et le deuxième bouton sur mon ampli, c'est les aigus. Ça, c'est la variable N, la fréquence de nos interactions sociales.

Intervenant 213:36

C'est le deuxième front, ouais. Si baisser la probabilité P ne suffit pas à ramener le R0 sous les 1, il faut s'attaquer au nombre de contacts N. C'est ce qui a justifié la fermeture des bars, l'annulation des concerts et finalement le confinement. Le confinement, c'est une méthode radicale pour forcer la variable N à s'approcher de zéro. Si tout le monde reste chez soi, le virus ne trouve plus aucun chemin pour se déplacer.

Intervenant 114:00

Et c'est là que la modélisation révèle toute sa puissance en fait. Priver les gens de liberté, les confiner, c'est d'une lourdeur historique. Sans le socle mathématique qui prouve qu'il fallait absolument faire chuter cette variable N, ces décisions auraient eu l'air totalement arbitraires ou dictatoriales.

Intervenant 214:17

Absolument. Les modèles n'ont pas pris la décision, mais ils en ont fourni la justification rationnelle. C'est des outils d'aide à la décision. Ils simulent les différents scénarios selon l'intensité avec laquelle on tourne les deux boutons de l'ampli.

Intervenant 114:30

Ouais, la mécanique théorique est vraiment brillante. Mais parce qu'il y a un mais, il faut quand même aborder la grosse faille de tout ce système. Une équation, aussi belle soit-elle, elle vaut que ce que valent les données qu'on lui donne à manger. Et au printemps 2020, la réalité du terrain, c'était un brouillard total. Oh

Intervenant 214:48

que oui, un sacré brouillard.

Intervenant 114:50

Si on ne teste pas les gens à grande échelle, comment on fait pour remplir correctement la fameuse boîte e-désinfectée ? Comment les modèles peuvent calculer la trajectoire du virus si on ne sait même pas combien de gens l'ont au départ ?

Intervenant 215:01

C'est le défi majeur de l'épidémiologie en temps réel. L'article de Tangente en parle longuement de cette collision entre la pureté de la théorie Et le bordel, disons-le, du terrain. Le recueil des données a créé des divergences de dingue. Il donne l'exemple du contraste entre l'Allemagne et la Belgique.

Intervenant 115:21

Qu'est-ce qui s'est passé entre ces deux pays justement ?

Intervenant 215:23

L'Allemagne a très vite mis en place un dépistage massif. Ils testaient beaucoup de monde, donc leur compartiment I était assez droge de la réalité. À l'inverse, en Belgique, au tout début, il y avait pénurie de tests PCR. Du coup, pour être testé, il fallait soit être dans un état grave à l'hôpital, soit être un soignant avec de la fièvre.

Intervenant 115:42

Mais c'est une catastrophe statistique de faire ça. Ça veut dire qu'il y avait une foule immense de gens asymptomatiques ou juste un peu malades qui passaient sous les radars. Ils contaminaient tout le monde, mais pour l'équation, ils n'existaient pas. La boîte I de la Belgique devait être complètement sous-estimée.

Intervenant 215:59

Complètement. Et cette erreur initiale, elle a provoqué un effet domino sur toutes les autres statistiques. Si tu sous-estimes massivement les infectés, ta boîte R des guéris devient fausse aussi, puisqu'elle loupe des millions de guérisons invisibles. Et la conséquence la plus angoissante, ça a été sur le calcul du taux de létalité.

Intervenant 116:16

Le taux de létalité, c'est la proportion de morts par rapport au nombre total de personnes qui ont attrapé le virus, c'est ça ?

Intervenant 216:21

Exactement. Sauf que si le chiffre du bas de ta fraction, le nombre total de cas, est artificiellement bas parce que tu testes que les gens en soins intensifs, et bien mathématiquement, ton taux de mortalité s'envole vers des sommets terrifiants. C'est en grande partie ça qui a créé cette angoisse gigantesque au début. On naviguait dans un ouragan avec des instruments de bord qui nous mentaient.

Intervenant 116:44

Mais alors, avec des données aussi foireuses, comment les mathématiciens ont fait pour redresser la barre ?

Intervenant 216:49

C'est là que la collaboration scientifique entre en jeu. La source cite le projet POLYMAT. Quand les données d'un seul pays sont parcellaires, la solution c'est de croiser les informations à l'échelle mondiale. Des mathématiciens, des statisticiens de tous les pays se sont mis à travailler ensemble en open source. En comparant les anomalies, en corrigeant les biais des uns avec les méthodes des autres, l'intelligence collective a permis de trianguler une vérité beaucoup plus solide.

Intervenant 117:16

C'est une illustration magnifique de la résilience de la science en fait. Quand on prend du recul sur tout ça, sur ces modèles SIR, le constat est quand même saisissant. Au milieu du chaos de 2020, les statistiques se sont dressées comme un phare dans la tempête. Elles n'ont pas guéri le virus, mais elles l'ont traduit dans un langage qu'on pouvait combattre.

Intervenant 217:33

C'est le mot juste. La modélisation, elle a offert un cadre de référence. C'est ce qui nous a permis de sortir de la sidération pour gérer le risque de manière rationnelle.

Intervenant 117:42

Et tu sais, en explorant cette mécanique de la contagion, ses effets de seuil exponentiels, il y a une dernière réflexion qui me vient à l'esprit et qui dépasse complètement la biologie. C'est que ces modèles compartimentaux, ils décrivent la propagation de presque n'importe quoi dans un réseau, même des choses immatérielles.

Intervenant 218:00

Ah, je vois à quoi tu penses. Le parallèle est effectivement frappant.

Intervenant 118:04

Bah oui, si on remplace le mot virus biologique par fausses informations ou rumeurs sur les réseaux sociaux, l'architecture mathématique reste la même. Un individu exposé à une théorie du complot a une certaine probabilité de la transmettre en la retweetant. C'est notre variable P de transmission. C'est clair.

Intervenant 218:20

On retrouve la même mécanique.

Intervenant 118:22

C'est vertigineux. Si les algorithmes des plateformes poussent ce contenu pour générer de l'engagement, ils agissent comme un accélérateur de rencontre. Ils augmentent la variable N, ils poussent le R0 de la désinformation au-dessus du seuil critique de 1. Et là, l'emballement exponentiel démarre, jusqu'à saturer tout l'espace public. La contagion idéologique est obéie au même tableau noir que le Covid.

Intervenant 218:46

C'est une perspective vraiment riche pour comprendre comment notre monde moderne fonctionne avec toutes ces dynamiques de réseaux invisibles.

Intervenant 118:53

C'est fascinant à observer. Il y aurait encore tellement de choses à décrypter, mais c'est ici qu'on va clore l'analyse de ce formidable article de Tangente. Merci à tous d'avoir suivi cette plongée au cœur de l'épidémiologie. À très bientôt pour de nouvelles explorations, toujours ici, dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 219:09

À très bientôt. Et d'ici là, gardez un œil attentif sur ces petites variations qui, soudainement, peuvent franchir un seuil décisif et tout changer.