Espaces de Hilbert : le quantique en dimension infinie

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Salut Sam, je suis ravie d'être là pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 10:07

Et aujourd'hui, on entame un décryptage mathématique absolument fascinant.

Intervenant 20:14

Oui.

Intervenant 10:14

Et pour poser les bases tout de suite, il faut vraiment citer ce célèbre aphorisme qui circule depuis des décennies dans les couloirs de tous les labos de physique.

Intervenant 20:23

Ah, je crois voir de quelle citation tu parles.

Intervenant 10:26

Oui, celle qui dit « si l'on a compris la physique quantique, c'est qu'on nous l'a mal expliquée ».

Intervenant 20:31

C'est ça. C'est une phrase qui fait toujours sourire, mais qui cache en fait une réalité historique et scientifique assez vertigineuse quand on se penche vraiment sur la mécanique interne de la théorie.

Intervenant 10:42

Exactement. Et la mission de notre émission aujourd'hui, en s'appuyant sur un super dossier publié dans Tangente ainsi que sur plusieurs essais d'Histoire des sciences, ce n'est évidemment pas de rendre l'intégralité de la physique quantique limpide pour quiconque écoute.

Intervenant 20:58

Non, ça, ce serait mission impossible en une seule session.

Intervenant 11:02

Carrément impossible. Le but, en fait, c'est de révéler son armature secrète. On va découvrir ensemble que la quantique est infiniment plus complexe, mais surtout beaucoup, beaucoup plus mathématique qu'on ne le croit généralement.

Intervenant 21:14

Ouais, et c'est vraiment le cœur du sujet aujourd'hui. Parce que tu vois, souvent, la vulgarisation, elle s'arrête un peu au paradoxe philosophique.

Intervenant 11:22

Au fameux chat de Schrödinger, par exemple ?

Intervenant 21:24

Voilà, le chat qui est à la fois mort et vivant. Mais en réalité, sous le capot, c'est une théorie mathématique d'une rigidité absolue. C'est l'alliance inattendue de la théorie des probabilités et de ce qu'on appelle les espaces de Hilbert.

Intervenant 11:39

Des espaces de Hilbert, d'accord.

Intervenant 21:41

C'est un cadre formel qui a littéralement sauvé la physique d'une crise majeure au début du XXe siècle. Et ça a même permis de calculer l'énergie des atomes avec une précision vraiment diabolique.

Intervenant 11:52

Bon, décortiquons tout ça. Parce qu'avant de plonger dans des espaces de Hilbert ou des probabilités complexes, il faut bien comprendre que les physiciens ne se sont pas réveillés en bas au matin en se disant qu'ils allaient compliquer des maths juste pour le plaisir.

Intervenant 22:02

Ah non, pas du tout. Ils y ont été un peu forcés, en fait.

Intervenant 12:06

C'est ça. Les sources qu'on a épluchées décrivent d'un véritable mur d'incohérence, une espèce de crise identitaire de la matière et de la lumière.

Intervenant 22:15

Ce qui est fascinant ici, c'est que c'est une crise qu'on résume souvent sous le terme de dualité ondes corpuscules. Si on prend l'histoire de la lumière, par exemple. Au début du 19e siècle, Thomas Young réalise sa fameuse expérience des fentes.

Intervenant 12:29

L'expérience où on fait passer de la lumière par deux minuscules ouvertures, c'est ça ?

Intervenant 22:32

Exactement. Et là, on n'obtient pas deux taches lumineuses sur le mur d'en face, mais une succession de bandes claires et sombres.

Intervenant 12:39

Des figures d'interférence.

Intervenant 22:40

Voilà. Et ça, c'est la signature mécanique absolue d'une onde. C'est comme, tu sais, comme deux vagues sur l'eau qui se croisent, dont les creux et les crêtes s'annulent ou s'additionnent.

Intervenant 12:50

Donc, si je te suis, jusqu'à la fin du 19e siècle, le débat est clos, la lumière est une onde.

Intervenant 22:56

Bah, c'est ce qu'on croyait.

Intervenant 12:57

Sauf que nos sources rappellent l'apparition d'un énorme grain de sable, avec Max Planck, puis Albert Einstein en 1905, avec l'effet photoélectrique.

Intervenant 23:06

Ouais, et là, tout s'effondre. Einstein démontre, pour expliquer comment la lumière arrive à arracher des électrons à un métal, que cette onde lumineuse, elle agit en réalité comme un bombardement de petits projectiles.

Intervenant 13:18

Des paquets d'énergie.

Intervenant 23:20

C'est ça, des paquets discrets, ce qu'on appellera plus tard des photons. Donc la lumière est aussi une particule.

Intervenant 13:26

Attends, je t'arrête tout de suite. Que la lumière soit un peu abstraite et difficile à classer, ok. Parce qu'un photon, ça n'a pas de masse. Puis, qui tourne autour du noyau ? On ne va quand même pas dire qu'un morceau de matière est une onde.

Intervenant 23:38

Et pourtant, c'est exactement l'hypothèse folle que Louis de Broglier avance en 1924. Il se dit, puisque la lumière, qui est une onde, se comporte comme une particule, alors la matière, qui est une particule, doit pouvoir se comporter comme une onde.

Intervenant 13:54

C'est complètement contre-intuitif.

Intervenant 23:56

Totalement. Et le plus fou, c'est que ça a été prouvé expérimentalement en 1927 par Davison et Germer. Et presque par accident en plus. Ils observaient des électrons rebondir sur un cristal de nickel.

Intervenant 14:09

Et qu'est-ce qu'ils ont vu ?

Intervenant 24:11

Les électrons, ces petits morceaux de matière avec une masse, créaient eux aussi des figures d'interférence. Ils ondulaient.

Intervenant 14:18

Mais comment est-ce physiquement possible ? Enfin je veux dire, une vague c'est de l'eau qui ondule, le son c'est de l'air qui ondule. Quand un seul électron voyage dans le vide, qu'est-ce qui est en train d'onduler au juste ? Comment les physiciens de l'époque géraient cette contradiction ?

Intervenant 24:33

En fait, ils ne la géraient pas. Ou plutôt, disons qu'ils bricolaient. Pendant une bonne vingtaine d'années, c'est ce qu'on a appelé la vieille théorie quantique. Ils utilisaient les équations de la physique classique, celles de Newton ou Maxwell, et ils y ajoutaient artificiellement des règles quantiques, des sortes de sauts d'énergie.

Intervenant 14:51

Un peu pour forcer les mathématiques à coller aux résultats des labos, quoi.

Intervenant 24:54

Exactement. C'était du pur empirisme. Jusqu'à ce qu'un jeune physicien allemand, Werner Heisenberg, décide de tout reprendre à zéro.

Intervenant 15:02

C'est là que ça devient vraiment intéressant et que l'histoire bascule dans les mathématiques pures.

Intervenant 25:08

Complètement. Heisenberg, il se retire sur une île isolée de la mer du Nord. Et là, il décide d'arrêter d'essayer d'imaginer à quoi ressemble un électron parce que notre intuition classique nous trompe constamment.

Intervenant 15:20

D'accord.

Intervenant 25:21

Il se concentre uniquement sur ce qu'on peut observer, mesurer et cataloguer, c'est-à-dire les rays de lumière émises par les atomes. Donc il construit des tableaux de nombres pour calculer les transitions de l'électron d'un état à un

Intervenant 15:32

autre.

Intervenant 25:33

Et quand il montre ces calculs à son directeur, Max Born, ce dernier a un choc. Il réalise que Heisenberg vient de réinventer, sans le savoir, le calcul matriciel.