Concours d’énigmes : dans les coulisses des choix du jury

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment super ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une exploration complètement fascinante. On va plonger dans un univers où les évidences sont vraiment faites pour être balayées.

Intervenant 20:13

Un univers où la logique pure dicte absolument toutes ses lois.

Intervenant 10:17

Exactement. Et le point de départ de cette plongée, c'est un événement assez génial. C'est le cap monumental du 200e numéro du magazine. Et pour fêter ça, ils ont lancé un grand concours de création de problèmes.

Intervenant 20:29

Avec une règle stricte, mais implacable.

Intervenant 10:32

43 auteurs brillants se sont affrontés avec le droit de ne proposer qu'un seul et unique problème par personne. Pas de seconde chance, pas de brouillon.

Intervenant 20:40

C'est clair que ça fait monter le niveau d'exigence en flèche.

Intervenant 10:43

Du coup, le jury a dû trancher et officiellement, il n'y a eu que neuf énigmes qui ont été récompensées. Seulement neuf chiffres.

Intervenant 20:49

Oui. Mais tu vois, dans ce genre de compétition, l'histoire la plus passionnante ne se trouve pas toujours sous la lumière du podium principal.

Intervenant 10:57

Bah non, il y a toujours des pépites cachées.

Intervenant 20:59

Exactement, des créations hors normes qui passent entre les mailles du filet. Et c'est justement l'angle qu'on a choisi pour notre analyse d'aujourd'hui. On laisse les gagnants de côté pour se concentrer exclusivement sur les coups de cœur du jury.

Intervenant 11:11

Les fameux coups de cœur. Ce sont ces problèmes qui ont littéralement fasciné les évaluateurs. Que ce soit pour leur forme, leur élégance ou juste la clarté lumineuse de leur solution. C'est un peu le salon des refusés de la mathématique en fait.

Intervenant 21:25

C'est une belle image,

Intervenant 11:26

oui. Et la promesse de ce moment qu'on va passer ensemble, c'est qu'il n'y a absolument pas besoin d'être un génie des équations pour être captivé. On va vulgariser tout ça avec une vraie rigueur. Donc, d'accord, décortiquons un peu tout ça. Et si on commençait par prendre l'air ? Allez,

Intervenant 21:41

on va à la plage.

Intervenant 11:42

Grave. C'est le problème de la promenade sur la plage imaginée par Pierre Lemaire. C'était le coup de cœur du membre du jury, Pierre-Jean Laurent.

Intervenant 21:51

Et ce qui est génial avec cet énoncé, c'est qu'il s'ancre dans une situation ultra concrète, visuelle même. Imaginez des vacances classiques. Le narrateur est sur le sable et le point de départ, on va l'appeler A, se trouve à exactement un kilomètre du poste de secours.

Intervenant 12:06

Donc on a cette distance très précise en tête.

Intervenant 22:08

Voilà. Et en mer, pile en face de ce poste de secours, il y a une bouée. Et le but, c'est de l'atteindre. Donc la personne marche le long de l'eau, puis elle nage.

Intervenant 12:16

Et là, on a les données chiffrées de l'énoncé. La personne marche à 3 km par heure sur le sable et elle nage à 2 km par heure dans l'eau.

Intervenant 22:25

C'est ça. Et l'auteur fait une observation super surprenante. Il remarque que pour que son temps de trajet total soit le plus court possible, il doit obligatoirement entrer dans l'eau à très exactement 100 mètres du poste de secours.

Intervenant 12:37

Pas 99

Intervenant 22:38

mètres ? Non, 100 mètres pile. S'il rentre avant ou après, il perd du temps. Et la grande question de ce problème, à partir de cette simple observation, c'est à quelle distance du rivage se trouve la bouée ?

Intervenant 12:50

Ah, c'est fou. Parce que notre instinct premier, enfin, on voudrait juste tracer une ligne droite géométrique entre le point de départ et la bouée, quoi. On nous apprend toujours que le chemin le plus court, c'est la ligne droite.

Intervenant 23:00

En géométrie pure, oui. Mais là, on n'est pas dans un milieu homogène.

Intervenant 13:03

C'est comme observer un GPS humain en temps réel. En fait, le cerveau calcule instinctivement le point de bascule parfait entre la facilité de la marche et la résistance de l'eau.

Intervenant 23:17

Exactement. Et ce que fait ce marcheur sans s'en rendre compte, c'est appliquer un principe physique fondamental. Le principe de Fermat en optique.

Intervenant 13:25

Ah mais oui, c'est ce qui régit le déplacement de la lumière, non ?

Intervenant 23:28

C'est tout à fait ça. Quand un rayon de lumière passe de l'air à l'eau, sa vitesse diminue, ce qui brise sa trajectoire. C'est ce qu'on appelle la réfraction. La lumière, de façon presque magique, choisit toujours le trajet qui minimise son temps de parcours et pas sa distance.

Intervenant 13:45

C'est incroyable. Et donc, la loi mathématique derrière ça, c'est la fameuse loi de Snell-Descartes.

Intervenant 23:51

Oui, le marcheur fait exactement la même chose que la lumière. Il compense le fait qu'il nage lentement par une marche plus longue sur le sable.

Intervenant 13:59

Comment on passe de cette observation physique à la position exacte de la bouée ?

Intervenant 24:07

Eh bien, ce qui est fascinant ici, c'est l'essence même de la modélisation. On prend une situation physique et on la traduit en une contrainte géométrique pure, sous forme d'équations. Puisqu'on sait que le point optimal d'entraînant l'aurit fixé à 100 mètres, ça verrouille absolument tout le reste.

Intervenant 14:22

Ah, ça agit comme un point d'ancrage !

Intervenant 24:24

Exactement. C'est l'indice de réfraction parfait du système. Donc, en posant les équations d'optimisation et en les remontant à l'envers, la position de la bouée ne peut exister qu'à un seul endroit très précis. C'est une déduction absolue et c'est pour ça que Pierre-Jean Laurent a tant adoré cette énigme.

Intervenant 14:39

C'est brillant ! Donc là, on a optimisé des distances dans l'espace physique. Mais que se passe-t-il si on quitte le monde physique pour l'optimisation dans le monde abstrait des nombres entiers ?

Intervenant 24:52

On passe à l'arithmétique pure.

Intervenant 14:54

Ouais, avec une énigme qui s'immisce dans notre quotidien.

Intervenant 24:58

Ouais, l'âge. C'est le coup de cœur d'Elisabeth Busser, imaginé par Arnaud de Ferry en ingénieur à la retraite.

Intervenant 15:03

Un problème apparemment inspiré par les célèbres nombres de Capricard d'ailleurs.

Intervenant 25:08

Ah oui, juste pour faire une petite parenthèse, tu peux nous rappeler ce que c'est les nombres de Capricard ?

Intervenant 15:12

Bien sûr. Ce sont des nombres qui ont des propriétés fascinantes de boucle logique. Par exemple, si tu prends 45, tu le mets au carré, ça fait 2025. Et si tu coupes ce résultat en deux, 20 et 25, que tu les additionnes…

Intervenant 25:26

20 plus 25, ça redonne 45.

Intervenant 15:28

Voilà. C'est l'idée que les nombres cachent des architectures internes secrètes. Et Arnaud de Ferry a repris cet esprit pour son problème. Et l'énoncé est super trompeur tellement il est court. Écoutez bien. L'auteur dit « Voilà, ma femme a 3 ans de plus que moi. Si j'ajoute le carré de l'âge de ma femme au carré de mon âge, j'obtiens un nombre à 4 chiffres dont la somme des chiffres fait très exactement 8. Quel est mon âge ? »

Intervenant 25:57

Et c'est tout.

Intervenant 15:57

Et c'est là que ça devient vraiment fascinant. Mais attends, on n'a que trois indices minuscules et on est censés déduire un âge précis. Ça donne franchement l'impression qu'il manque des données.

Intervenant 26:09

C'est exactement l'effet recherché. On se dit qu'il va falloir y aller à tâtons, tester des centaines de combinaisons.

Intervenant 16:14

Genre faire un fichier Excel géant, quoi.

Intervenant 26:16

Ben non, justement, c'est ce qui a séduit Elisabeth Busser. En arithmétique, une contrainte bien posée agit comme un filtre d'une puissance redoutable. On n'a pas besoin de faire des calculs compliqués, il faut juste suivre le cheminement logique.

Intervenant 16:29

Ok, donc le premier filtre, c'est l'histoire du nombre à quatre chiffres.

Intervenant 26:32

C'est ça. La somme de leurs deux âges au carré doit être comprise entre 1000 et 9999. Ça élimine d'emblée les enfants très jeunes et les personnes très âgées. On cible la tranche d'âge adulte.

Intervenant 16:43

Ok, ça c'est logique. Et la deuxième contrainte agit comme un deuxième filtre.

Intervenant 26:48

Oui, et celui-là est drastique. La somme des quatre chiffres de ce résultat doit faire huit.

Intervenant 16:52

Ah oui, donc si le nombre c'est 2033, 2 plus 0 plus 3 plus 3, ça fait 8.

Intervenant 27:00

Exactement. Et parmi les nombres à quatre chiffres, il y en a très peu qui vérifient ça. Et quand on applique la toute dernière condition, à savoir que ce nombre doit être la somme de deux carrés parfaits dont les racines n'ont que trois unités d'écart,

Intervenant 17:12

L'écart d'âge de 3 ans.

Intervenant 27:13

Exactement. Voilà, et bien les possibilités s'effondrent. Il ne reste qu'une seule et unique solution mathématique possible. Ce n'est pas une devinette, c'est un entonnoir où les nombres entiers s'éliminent d'eux-mêmes.

Intervenant 17:27

C'est génial de voir la mécanique se mettre en place. Alors, on vient de parler d'une déduction super fluide avec des chiffres. Mais que se passe-t-il si on enlève complètement les nombres ?

Intervenant 27:37

Qu'on garde uniquement la logique verbale pure.

Intervenant 17:39

Exactement, c'est le problème des huit amis logiciens. C'est une énigme de Marie-Pierre Falissard, d'ailleurs l'une des rares femmes du concours, et c'est le choix de Philippe Fondanèche.

Intervenant 27:48

Ah, les menteurs compulsifs et les diseurs de vérité, un grand classique.

Intervenant 17:53

Oui, alors imaginez un groupe de huit amis. Le principe, c'est que certains mentent toujours à 100% et d'autres disent toujours la stricte vérité. Et là, pour plonger l'audience dans le truc, il faut écouter les déclarations. C'est lunaire.

Intervenant 28:08

Vas-y, lis-nous le début pour voir.

Intervenant 18:10

Alors, on a Abel qui dit « Je n'aime pas Boule et Fraîche ment ». Direct après, Boule répond « Abel est mon meilleur ami ».

Intervenant 28:18

Ça commence bien.

Intervenant 18:19

Attends, c'est pas fini. Cantor rajoute « J'ai déménagé et boulement. » Dédekind intervient « Tu es mon meilleur ami et Cantor a changé de domicile. » Et ça continue comme ça avec Herdeus, Frèges, Gödel, Hardy. Et la question à la fin c'est « Combien l'auteur a-t-il d'amis à présent ? »

Intervenant 28:38

C'est un sacré bazar conceptuel.

Intervenant 18:39

Mais c'est un véritable casse-tête de cours de récréation. Si l'un ment en disant que l'autre du vrai sur le mensonge d'un troisième, ça donne complètement le tournis. On dirait un labyrinthe de miroirs.

Intervenant 28:51

C'est exactement l'image. Et notre cerveau bloque parce qu'on essaie de tout résoudre en même temps, ce qui est impossible. La clé, c'est de tirer sur un seul fil et de voir s'il résiste.

Intervenant 19:01

En posant des hypothèses, c'est ça ?

Intervenant 29:03

Oui, le raisonnement par l'absurde. Tu supposes arbitrairement qu'Abel dit la vérité. Si sa déclaration est vraie, alors ça implique que Frege ait ment forcément. Donc tu prends la phrase de Frege et tu l'inverses. Ce qui va conditionner un troisième personnage, et ainsi de suite.

Intervenant 19:18

Et si on arrive à une contradiction totale à la fin ?

Intervenant 29:21

Voilà. Si la logique s'effondre en cours de route, par exemple si un personnage se retrouve obligé de mentir et de dire vrai en même temps, c'est que l'hypothèse de départ sur Abel était fausse. Et tu recommences dans l'autre sens.

Intervenant 19:33

C'est hyper méthodique.

Intervenant 29:34

Mais si on relie cela à une perspective plus large, le choix de Philippe Fondanèche pour ce problème n'est pas anodin du tout. Il y a un vrai message de fond.

Intervenant 19:41

Ah bon ?

Intervenant 29:42

Lequel ? Fondaneche s'indigne beaucoup contre la façon dont les mathématiques sont parfois enseignées aujourd'hui, au collège ou au lycée. Il critique cette méthode où on apprend aux élèves à appliquer des recettes toutes faites, les yeux fermés.

Intervenant 19:54

Ah oui, genre t'as une formule, tu rentres les chiffres dedans et tu ne réfléchis pas au sens.

Intervenant 29:58

C'est tout à fait ça. Alors que face à ce problème de logicien, aucune formule ne te sauvera. Il faut structurer sa pensée, formuler des hypothèses, tester la chaîne de déduction. C'est un véritable plaidoyer pour réapprendre à penser par soi-même.

Intervenant 110:12

C'est fort, ouais. La logique est vraiment puissante. Mais bon, elle peut aussi nous piéger lourdement. Et ça nous amène à notre tout dernier problème. On quitte les mots et on retourne au visuel.

Intervenant 210:23

Là où une preuve logique peut nous paraître évidente à l'œil nu, mais être totalement fausse.

Intervenant 110:29

C'est le problème des dames en prise, imaginé par Thierry Falissard et c'est le coup de cœur de Raymond Bloch. Le défi se passe sur un échiquier. On doit placer un certain nombre N de dames blanches et un nombre N de dames noires sur un échiquier de taille N x N. Avec une limite

Intervenant 210:44

de taille à 8 comme un

Intervenant 110:47

échiquier normal. Et vite un champ de mine !

Intervenant 210:48

Totalement.

Intervenant 110:49

Alors qu'est-ce que tout cela signifie concrètement ? Est-ce qu'on cherche une formule secrète pour résoudre ça instantanément ?

Intervenant 210:55

Eh bien justement, non, il n'y a aucune formule mathématique pour ça. C'est un exercice qui demande de l'ingéniosité, beaucoup de ténacité et de la rigueur.

Intervenant 111:04

Mais visuellement, on a envie de créer une barrière, non ? De séparer le plateau en deux zones symétriques.

Intervenant 211:09

C'est le piège. Raymond Bloch met particulièrement en garde contre ça. Quand tu regardes un échiquier, ton cerveau repère des diagonales et se dit très vite « ah bah là c'est bloqué, je ne peux plus rien mettre, c'est impossible ». C'est ce qu'il appelle l'illusion de l'évidence.

Intervenant 111:24

Ah, l'illusion de l'évidence ! Tu te construis une preuve mentale qui te semble parfaite. Tu te dis que géométriquement, ça ne passe pas. Et puis, juste par persévérance, tu décales une seule petite dame d'une seule case.

Intervenant 211:37

Et là, tout l'espace s'ouvre.

Intervenant 111:39

Exactement. L'angle d'attaque change, une diagonale se libère, tu peux replacer une autre pièce et tout ce que tu croyais impossible devient soudain possible, souvent dans une configuration super asymétrique et inattendue.

Intervenant 211:51

Bloch dit que c'est l'exercice parfait pour convaincre ses amis ou sa famille du pur plaisir de chercher, même quand ça a l'air impossible.

Intervenant 111:58

C'est magnifique comme leçon. Mais quel parcours on vient de faire quand on y

Intervenant 212:02

repense ? Ah bah c'est

Intervenant 112:03

riche. On est parti de la modélisation mathématique d'une baignade sur la plage. On est passé par l'arithmétique implacable des âges. Ensuite, on a démasqué des menteurs compulsifs pour finir par déjouer les pièges visuels d'un échiquier. Et tout ça sans écrire une seule équation barbare.

Intervenant 212:20

Et c'est ça la vraie beauté des mathématiques. Mais tu sais, ça amène une dernière réflexion, un truc un peu vertigineux.

Intervenant 112:25

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 212:27

Si ces quatre problèmes absolument géniaux, super complexes et élégants, ne sont que les coups de cœur du jury, et même pas les grands gagnants finaux, Ça soulève une question presque philosophique. Qu'est-ce qui définit un problème mathématique parfait ? Est-ce que c'est la difficulté monumentale de sa résolution ? Ou bien au contraire, est-ce que c'est l'élégance absolue et la simplicité trompeuse de son énoncé ? Franchement, si les problèmes non retenus sont de ce niveau, je n'ose imaginer l'ingéniosité des neuf énigmes récompensées.

Intervenant 112:55

C'est vrai que ça donne une furieuse envie d'aller se procurer ce numéro 200 et de chercher par soi-même. C'est une réflexion finale parfaite. C'était vraiment une exploration passionnante des coulisses de la création mathématique.

Intervenant 213:08

Le plaisir

Intervenant 113:09

est partagé. Un immense merci à toutes et à tous pour votre écoute. On espère que ça vous a autant retourné le cerveau qu'à nous, dans le bon sens du terme, bien sûr. Gardez cet esprit de déduction bien aiguisé et on se retrouve très vite pour une nouvelle plongée mathématique.