Persistance des nombres : deux calculs, deux destins

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour commencer, prenons un nombre entier, au hasard. Vraiment, n'importe lequel.

Intervenant 20:07

D'accord, je vous

Intervenant 10:08

suis. Ensuite, additionnons ces chiffres entre eux. Ou bien, si on a envie de changer, on les multiplie. Ça ressemble à... Enfin, c'est typiquement une occupation de cours de récréation, non ? Un petit passe-temps innocent qu'on griffonne sur un coin de cahier pour faire passer le temps.

Intervenant 20:23

Absolument, ça a l'air complètement inoffensif.

Intervenant 10:25

Sauf que voilà, ce postulat de départ, qui est d'une simplicité enfantine, a donné naissance en 1973 à un gouffre conceptuel incroyable. Et ça, c'est grâce à Neil Sloan.

Intervenant 20:37

Ah oui, le célèbre créateur de l'encyclopédia en ligne des suites d'entiers, le Oeis.

Intervenant 10:42

Exactement. C'est lui qui a révélé la vraie nature de ce petit jeu. Et le plus fou, c'est vraiment ça qui me fascine, c'est qu'il a soulevé des questions qui aujourd'hui, en 2025, demeurent absolument non résolues. Même nos supercalculateurs s'y cassent les dents.

Intervenant 20:57

C'est toute la puissance redoutable de la théorie des nombres en fait. Une simple règle que n'importe qui connaissant ces tables de calculs élémentaires peut comprendre peut générer une arborescence d'une complexité impénétrable. Et selon qu'on choisisse d'additionner ou de multiplier ces fameux chiffres, la mécanique itérative bascule dans des dimensions totalement différentes.

Intervenant 11:18

Et c'est pour ça qu'on est là. La mission de cette exploration aujourd'hui, c'est de décortiquer cette notion fascinante que les mathématiciens appellent la persistance d'un nombre. On veut comprendre pourquoi une simple addition nous condamne à gravir une sorte d'escalier infini, alors que la multiplication, et c'est là le drame, nous précipite contre un mur mystérieux, un vrai plafond de verre mathématique contre lequel toute notre logique s'écrase.

Intervenant 21:45

C'est un beau programme.

Intervenant 11:46

Ok, décortiquons tout ça. Et pour bien comprendre le vertige de la multiplication, il faut d'abord s'échauffer avec le terrain où l'on sent sécurité, l'addition.

Intervenant 21:55

Ouais, c'est la bonne approche. Il faut poser les bases. Pour saisir le mécanisme, prenons un exemple très tangible. Disons le nombre 999. Un

Intervenant 12:04

grand classique.

Intervenant 22:05

Voilà. La règle nous impose d'additionner ces chiffres. Donc 9 plus 9 plus 9, ce qui nous donne 27.

Intervenant 12:13

Mais on ne s'arrête pas là. C'est le principe.

Intervenant 22:17

C'est ça. 27 comporte deux chiffres, donc on réitère le processus. 2 plus 7, ça donne 9. Et là, nous avons atteint un seul chiffre, donc l'opération s'arrête.

Intervenant 12:26

Moi, j'adore comparer ça à la cuisine. C'est comme faire réduire une sauce sureille. On a un grand volume au départ, on le fait bouillir, on l'évapore étape par étape. Et à la fin, il ne reste qu'un concentré, l'essence pure au fond de la casserole. Et ce chiffre final, 9 dans notre exemple, c'est ce qu'on appelle la cible additive.

Intervenant 22:46

Précisément.

Intervenant 12:47

Mais il y a un truc qui m'interpelle souvent quand je lis la documentation là-dessus. On dit que cette cible correspond toujours au reste de la division du nombre de départs par 9. D'où vient ce lien presque magique avec le chiffre 9 ?

Intervenant 23:00

C'est une excellente interrogation. Ça semble magique, oui, mais en fait, c'est une conséquence purement mécanique de notre système de numération en base 10. Il faut décomposer un nombre pour vraiment le comprendre.

Intervenant 13:13

Allez-y, je suis toutouille.

Intervenant 23:14

Prenons le nombre 34, par exemple. C'est 3 dizaines et 4 unités. Or, une dizaine, on est d'accord que c'est le chiffre 9 plus 1.

Intervenant 13:23

Ouais, 10, c'est 9 plus 1, logique. Donc 3 dizaines, ce serait 3 fois

Intervenant 23:29

le bloc 9 plus 1 ? Exactement. Et si on développe mathématiquement, on obtient 3 fois 9 plus 3 fois 1. D'accord. Et si on ajoute les quatre unités qu'on avait au départ, on réalise que 34, c'est un certain multiple de 9 auquel on vient juste ajouter le chiffre 3 et le chiffre 4.

Intervenant 13:47

Ah mais oui ! 3 et 4, c'est la somme des chiffres ? C'est une révélation brillante ça !

Intervenant 23:54

Et ce principe s'applique à absolument toutes les puissances de 10. 100, c'est 99 plus 1. 1000, c'est 999 plus 1. Donc n'importe quel entier, c'est un immense multiple de 9 auquel s'ajoute toujours la somme de ses propres chiffres.

Intervenant 14:11

C'est d'une pureté totale, quoi. Puisque la grosse partie est un multiple parfait de 9, le reste de la division sera toujours et uniquement dictée par cette somme des chiffres. C'est ce que vous appelez la congruence modulo 9.

Intervenant 24:24

C'est ça, la congruence modulo 9. La seule petite exception, c'est quand la somme donne un multiple exact de 9. Le reste mathématique est 0, mais dans notre jeu, la cible s'arrête sur le chiffre

Intervenant 14:36

9. Cette cible, c'est la persistance additive. Pour 999, on a fait deux réductions, donc sa persistance est de 2. Mais la grande question que tout le monde se pose, c'est est-ce qu'il y a un plafond ? Est-ce que la persistance additive est bornée ?

Intervenant 24:53

Eh bien, ce qui est fascinant ici, c'est que la persistance additive n'est absolument pas bornée.

Intervenant 14:59

Vraiment pas ?

Intervenant 24:59

Aucun plafond. Le nombre d'étapes peut croître vers l'infini.

Intervenant 15:03

Ah, un instant, je suis obligée de contester ça. Comment on peut en être certain ? Je veux dire, on ne peut pas demander à un ordinateur de tester tous les nombres de l'univers jusqu'à l'infini pour vérifier qu'il y a toujours une marge de plus dans l'escalier.

Intervenant 25:15

Non, bien sûr que non. Mais nous n'avons pas besoin de tout tester. En mathématiques, il suffit de construire une preuve logique. Et pour ça, on utilise une famille très spécifique de nombres, ceux qui ne sont composés que de chiffres 1, ce qu'on appelle les répunis. D'accord, les

Intervenant 15:30

nombres faits que de

Intervenant 25:33

1. C'est une démonstration implacable. On peut prouver qu'un nombre composé exclusivement de 1 demandera toujours, systématiquement, une étape de plus que la propre somme de ces chiffres.

Intervenant 15:45

Ok, il faut vraiment qu'on déroule cette suite pas à pas pour que notre audience puisse visualiser le truc.

Intervenant 25:50

Faisons-le. Pour avoir une persistance de une étape, prenons le nombre 10. 1 plus 0 donne 1. Fin de l'histoire. Une étape.

Intervenant 15:59

Ok, facile.

Intervenant 26:00

Maintenant, comment forcer le système à faire deux étapes ? Il nous faut un nombre de départ dont la somme des chiffres donne 10 pour retomber sur l'étape précédente.