Fractions égyptiennes : calculer sans nos fractions ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va commencer par imaginer un truc. On a un super gâteau devant nous, très appétissant.

Intervenant 20:10

D'accord, je visualise très bien le gâteau.

Intervenant 10:12

Et on veut le partager de manière équitable. Mais attention, il y a une contrainte de taille. C'est que le concept même de dire trois quarts, ça n'existe absolument pas.

Intervenant 20:23

Ah oui, donc impossible de dire ou même de penser qu'on va prendre trois quarts de cette pâtisserie.

Intervenant 10:29

Exactement. C'est impossible à écrire, impossible à formuler. Alors comment on fait pour formaliser ce partage ? Eh bien c'est le point de départ, un peu vertigineux, de notre nouvelle plongée au cœur des sources historiques d'aujourd'hui.

Intervenant 20:40

C'est un sacré défi.

Intervenant 10:42

N'est-ce pas ? On s'apprête à faire une véritable expédition dans une mathématique qui pourrait presque sembler extraterrestre pour nos esprits modernes, mais qui a pourtant posé les bases de l'ingénierie et de la géométrie de notre monde.

Intervenant 20:55

Absolument. L'objectif, c'est vraiment de décortiquer les mathématiques de l'Égypte antique et plus précisément de percer le mystère de leurs fameuses fractions.

Intervenant 11:04

Parce que derrière ce qui ressemble à un casse-tête exotique, il y a une logique implacable, non ?

Intervenant 21:09

Ah mais totalement ! Ce n'est pas juste une limitation primitive due à une époque lointaine. C'est une rigueur mathématique redoutable. C'est un système avec des règles combinatoires tellement complexes que ça passionne encore les chercheurs en théorie des nombres aujourd'hui.

Intervenant 11:23

C'est fou de se dire que des chercheurs bossent encore là-dessus. Mais pour aborder cette philosophie sans fausser notre regard, il y a un énorme piège à éviter, c'est l'anachronisme.

Intervenant 21:33

Voilà, il faut vraiment déconstruire nos réflexes modernes avant même d'ouvrir les papyrus.

Intervenant 11:38

Parce qu'on a tellement l'habitude de notre petite barre de fractions horizontales qu'on se rend même plus compte de la densité de l'information qu'elle contient.

Intervenant 21:45

C'est exactement ça. Notre écriture moderne d'une fraction, disons A sur B, c'est un concept ultra condensé. C'est une prouesse d'abstraction pure en fait.

Intervenant 11:56

Ça regroupe plein de choses en un seul symbole.

Intervenant 21:58

Dans un seul objet visuel, on réunit deux opérations fondamentales et contraires. En haut, le numérateur, la valeur a, ça agit comme un multiplicateur. Et en bas, le dénominateur b impose une division.

Intervenant 12:10

Donc on a littéralement fusionné la multiplication et la division en trois millimètres d'encre.

Intervenant 22:15

Voilà. Et prêter ce concept tel quel, avec cette fluidité-là, à la Mésopotamie ou à l'Égypte antique, c'est un anachronisme total.

Intervenant 12:24

C'est un peu comme juger un boulier antique avec les critères d'un tableur Excel, c'est pas tout le même outil.

Intervenant 22:28

J'aime beaucoup l'analogie, c'est exactement ça. Parce que les notions même de multiplication et de division, en tant qu'opérations indépendantes et formelles, elles n'étaient tout simplement pas définies dans ces cultures.

Intervenant 12:40

Attendez, pas définies du tout ? Mais comment ils faisaient leur compte alors ?

Intervenant 22:43

Eh bien, l'absence de formalisme abstrait ne les empêchait pas de gérer des parties fractionnaires au quotidien. Et c'est là qu'on voit un contraste historique fascinant entre les civilisations.

Intervenant 12:53

Ah oui, avec les Sumériens d'un côté.

Intervenant 22:54

C'est ça. En Mésopotamie, les Sumériens avaient des mathématiques tournées vers l'abstraction. C'était un peuple de commerçants internationaux, donc ils devaient tenir des comptabilités complexes, calculer des volumes de grains dans des greniers, anticiper des intérêts.

Intervenant 13:09

Donc des trucs très orientés business et spéculation. Ils allaient même jusqu'à résoudre des équations du second degré, c'est ça ?

Intervenant 23:15

Tout à fait, grâce à leur système sexagésimal. Mais de l'autre côté, en Égypte, la géographie impose une réalité radicalement différente.

Intervenant 13:22

Bah oui, eux, ils n'étaient pas focalisés sur le commerce de la même façon. C'étaient des paysans, avant tout.

Intervenant 23:27

Voilà. Et cette agriculture était soumise à une force implacable, le pouls même de leur civilisation, c'est-à-dire les crues du Nil.

Intervenant 13:34

Ah, les fameuses crues. Donc on n'est plus du tout sur des mathématiques de bureau pour spéculer sur des dettes. C'étaient des mathématiques de survie.

Intervenant 23:41

Exactement. Chaque année, le Nil débordait et déposait ce limon noir, qui était indispensable pour les cultures. Sauf que cette inondation effaçait littéralement toutes les frontières physiques des champs.

Intervenant 13:52

Toutes les bornes disparaissaient sous la boue.

Intervenant 23:55

C'est ça. Donc dès que l'eau se retirait, la survie économique de la région et la perception des impôts par le pharaon, tout ça dépendait d'une chose, la capacité à redéfinir le cadastre à une vitesse grand V.

Intervenant 14:07

D'où les fameux tendeurs de cordes, ces arpenteurs égyptiens qui pataugeaient dans la boue fraîche pour remesurer les surfaces. C'est une géométrie de terrain pure et dure.

Intervenant 24:16

Et très empirique. Sauf que quand on mesure des parcelles physiques, on tombe très rarement sur des nombres entiers parfaits.

Intervenant 14:23

C'est clair, il y a toujours un petit bout qui dépasse.

Intervenant 24:25

Voilà, il fallait inévitablement gérer des morceaux de terrain, donc des fractions.

Intervenant 14:30

Mais alors s'ils n'avaient pas nos opérations de base pour recalculer tout ça, comment ils faisaient concrètement ?

Intervenant 24:36

La réponse se trouve dans des documents incroyables. Et la star incontestée, c'est le papyrus Rind.