La suite de nombres de Fibonacci racontée par les lapins

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un vrai plaisir de lancer cette nouvelle exploration mathématique aujourd'hui. D'habitude, on imagine souvent les maths comme quelque chose de très abstrait, une équation bien froide tracée sur un tableau noir. Mais en fait, la mission d'aujourd'hui, c'est de décortiquer l'une des suites les plus célèbres au monde.

Intervenant 20:21

Oui, la fameuse suite de Fibonacci.

Intervenant 10:23

Exactement. Et pour comprendre d'où elle vient vraiment, il faut complètement quitter ce fameux tableau noir pour plonger directement dans un élevage de lapins.

Intervenant 20:33

C'est ça. Alors pour poser un peu le cadre historique, on part en Italie au XIIIe siècle. On a ce mathématicien, Leonardo Fibonacci, qui a vécu entre 1175 et 1250 environ. Et il a laissé derrière lui cette suite de nombres qui commence de façon assez simple.

Intervenant 10:49

Ah oui, les fameuses valeurs. Si on regarde seulement celles en dessous de 200 par

Intervenant 20:54

exemple. 34, 55, 89 et 144. Et d'ailleurs, même si on ajoute parfois un zéro tout au début pour des raisons purement formelles, ça ne change absolument rien à la logique de base.

Intervenant 11:07

Oui, parce qu'en entendant juste ce début, je veux dire, la mécanique saute aux yeux. On prend simplement les deux nombres précédents, on les additionne et paf, on a le suivant.

Intervenant 21:17

Tout à fait, c'est la définition même d'une relation de récurrence.

Intervenant 11:20

Donc en langage purement mathématique, ça donne Fn égale Fn-1 plus Fn-2. Ça, c'est à partir du moment où n est supérieur ou égal à 3, bien sûr, avec F1 et F2 qui valent 1.

Intervenant 21:35

C'est exactement ça. La formule est hyper claire et rigoureuse. Mais bon, c'est vrai que le lien avec des lapins, il ne saute pas vraiment aux yeux de prime abord.

Intervenant 11:43

Non, pas du tout même. On se demande ce qu'ils font là.

Intervenant 21:46

En fait, l'explication, on la trouve dans le livre majeur de Fibonacci, le Liber Abassi. L'objectif, ce n'était pas juste de formuler des additions à l'infini. Il voulait modéliser une dynamique de population.

Intervenant 11:57

Ah d'accord, donc une vraie situation biologique.

Intervenant 21:59

Voilà, l'expérience de pensée, elle commence avec un seul couple de lapins. La règle fixée, c'est que chaque mois, chaque couple donne naissance à un nouveau couple.

Intervenant 12:08

Sauf que, et c'est là que ça devient intéressant, un nouveau couple a besoin de temps pour arriver à maturité. Il devient productif seulement au troisième mois de son existence.

Intervenant 22:17

Exactement. Il y a un délai d'attente.

Intervenant 12:19

Mais attends, il y a quand même un détail presque absurde qu'il faut vraiment souligner dans ce modèle. Pour que la population croisse indéfiniment comme ça, selon l'équation, ça implique que ces lapins ne meurent absolument jamais. C'est

Intervenant 22:31

le secret de l'élevage mathématique, ouais.

Intervenant 12:33

C'est fou, mais c'est une excellente analogie sur la façon dont les maths procèdent en fait. On s'empare d'un phénomène du monde réel et on le purge délibérément de ses variables aléatoires, comme la mortalité.

Intervenant 22:44

Ben oui, pour en extraire une structure logique pure, et cette simplification extrême, c'est le fondement même de la modélisation théorique.

Intervenant 12:52

Et c'est justement ça qui nous mène tout droit à notre relation de récurrence.

Intervenant 22:55

Ah, voyons voir comment l'histoire des animaux se traduit par la formule du coup.

Intervenant 12:59

Alors, au mois N, le nombre total de couples, donc notre fameux FN, il est d'abord composé de tous les couples qui étaient déjà en ville au mois précédent.

Intervenant 23:08

Donc, FN-1.

Intervenant 13:09

Logique, vu qu'ils sont immortels.

Intervenant 23:11

C'est ça. Et à cette population de base, il faut bien sûr ajouter les naissances du mois en cours.

Intervenant 13:16

D'accord, mais c'est là que le fameux délai de maturation entre en jeu. Les nouveaux-nés du mois N ne peuvent pas provenir de toute la population N-1, puisqu'une partie de ces lapins est encore trop jeune pour se reproduire.

Intervenant 23:28

Exactement, bien

Intervenant 13:30

vu. Donc si un couple ne devient productif qu'au troisième mois, ça veut dire que pour avoir des naissances aujourd'hui, il faut regarder le nombre de couples qui existaient déjà deux mois plus tôt.

Intervenant 23:39

Donc, n-2, le compte est bon en fait ? L'équation s'équilibre d'elle-même. La population d'aujourd'hui, Fn, c'est bien la somme de la population d'hier, Fn-1, et des naissances qui sont égales à la population d'avant-hier, Fn-2.

Intervenant 14:02

C'est une traduction mathématique d'une grande élégance. Ce qui se présente au départ comme une simple énigme de croissance animale, ça se métamorphose en une pure relation de récurrence implacable.

Intervenant 24:13

Ouais, les mathématiques agissent ici comme un outil redoutable pour isoler le moteur fondamental de la croissance. Ça montre comment une petite règle de retard dans la reproduction engendre une expansion totalement prévisible.

Intervenant 14:25

Ce qui ramène vraiment à ce paradoxe du début, entre la froideur de l'équation et le foisonnement du vivant. Si ce modèle mathématique, pourtant simplifié, parvient à capturer l'essence d'une prolifération théorique avec une telle précision, il y a de quoi réfléchir.

Intervenant 24:40

Ah oui, le champ des possibles est vaste.

Intervenant 14:42

Quelles autres structures ou quels autres schémas de croissance dans la nature pourraient secrètement obéir à cette même règle mathématique ? C'est une réflexion ouverte, tout à fait captivante pour clôturer cette exploration. Merci à tout le monde d'avoir suivi ce numéro et à très bientôt pour une nouvelle plongée mathématique.