Fausses preuves graphiques : l’aire 64 qui semble faire 65

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente pour cette nouvelle plongée fascinante au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:06

Bonjour et merci pour cette introduction toujours aussi enthousiaste. Je suis ravie d'être là.

Intervenant 10:11

Ah mais il y a de quoi être enthousiaste aujourd'hui parce qu'on va aborder un sujet qui donne un peu le vertige.

Intervenant 20:16

Oh que oui, on va carrément malmener notre cerveau aujourd'hui.

Intervenant 10:19

Exactement. Et pour mettre notre audience dans le bain, on va imaginer une situation totalement absurde.

Intervenant 20:25

Allez-y, je visualise.

Intervenant 10:27

Disons qu'on prend un billet de 10 euros. On le pose bien à plat sur une table.

Intervenant 20:31

D'accord.

Intervenant 10:32

Ensuite, on prend une paire de ciseaux et on le découpe en quatre morceaux bien nets. Jusque là, pas de magie.

Intervenant 20:38

Non, juste un billet détruit, ce qui est un peu dommage en

Intervenant 10:40

fait. C'est vrai, c'est dommage. Mais attendez la suite. On recolle ces mêmes morceaux avec un peu de ruban adhésif, exactement comme un puzzle.

Intervenant 20:47

Et là, il se passe quelque chose de bizarre, n'est-ce pas ?

Intervenant 10:50

Et bim, oui.

Intervenant 20:51

On se retrouve miraculeusement avec un billet de 11 euros.

Intervenant 10:54

Ah bah c'est le rêve de n'importe quel banquier ça !

Intervenant 20:56

C'est clair. Aucune matière n'a été ajoutée, on n'a absolument pas triché, et pourtant, la surface totale a grandi.

Intervenant 11:03

Eh bien, c'est exactement ce que la géométrie va essayer de nous faire croire aujourd'hui.

Intervenant 21:06

C'est une excellente métaphore pour démarrer. L'intuition visuelle, c'est formidable. Ça nous aide à appréhender le monde au quotidien.

Intervenant 11:13

Ouais, on se fie tout le temps à ce qu'on voit. On dit bien qu'une image vaut mille mots.

Intervenant 21:17

C'est ça. Mais le problème, c'est que notre cerveau est câblé pour lisser les imperfections. Il cherche la symétrie, même là où il n'y en a pas du tout.

Intervenant 11:25

Il nous ment en gros.

Intervenant 21:26

Absolument. Des dessins qui prouvent des choses absolument impossibles. Et on va voir comment une logique mathématique très rigoureuse, lorsqu'elle s'appuie sur un croquis corrompu, peut nous emmener vers des conclusions hallucinantes.

Intervenant 11:38

Eh bien, je suis prêt. Et pour commencer cette escalade dans l'illusion, on va s'attaquer à un paradoxe qui se joue vraiment à une fraction de millimètre près.

Intervenant 21:46

Le fameux casse-tête du carré manquant.

Intervenant 11:48

C'est ça. Alors, on prend un carré parfait, disons de 8 unités sur 8.

Intervenant 21:52

Ce qui nous donne une aire totale de 64 unités. 8 x 8, 64.

Intervenant 11:57

Voilà, on découpe ce carré en quatre pièces spécifiques. Deux triangles rectangles et deux trapèzes.

Intervenant 22:04

Des pièces qu'on va ensuite réorganiser.

Intervenant 12:07

On mélange ces 4 pièces, on les réassemble et on forme un long rectangle.

Intervenant 22:12

Un rectangle qui a des dimensions bien précises.

Intervenant 12:15

Oui, on mesure ce nouveau rectangle et là, surprise, il fait 5 unités de large sur 13 unités de long.

Intervenant 22:22

Et si on fait la multiplication ?

Intervenant 12:24

5 x 13, ça donne 65. Le 64 de départ est devenu 65.

Intervenant 22:31

C'est complètement fou quand on y pense.

Intervenant 12:33

Mais d'où vient cette unité fantôme, sérieusement ?

Intervenant 22:35

Eh bien, cette arnaque brillante a été popularisée par le mathématicien Charles Ludwig Dodgson.

Intervenant 12:42

Ce nom me dit vaguement quelque chose.

Intervenant 22:44

C'est normal, le monde entier le connaît sous son nom de plume Lewis Carroll.

Intervenant 12:48

Ah, le père d'Alice au Pays des Merveilles.

Intervenant 22:51

Lui-même. Et en étant plein de dents là, le secret repose sur une illusion d'optique vraiment redoutable.

Intervenant 12:56

D'accord. Comment ça marche ?

Intervenant 22:58

Quand on assemble les triangles et les trapèzes pour former ce fameux rectangle de 5 par 13, l'œil perçoit une magnifique diagonale.

Intervenant 13:06

Oui, une ligne qui traverse le rectangle d'un bout à l'autre.

Intervenant 23:09

Exactement, une ligne droite parfaite sur laquelle on pourrait poser une règle sans problème.

Intervenant 13:13

Sauf que je sens venir le piège.

Intervenant 23:14

Sauf que cette ligne droite n'existe pas.

Intervenant 13:18

Attendez, si on regarde la figure dans les livres de maths, la coupure a l'air parfaitement rectiligne.

Intervenant 23:22

Elle en a l'air, oui. Mais l'œil humain est tout simplement incapable de voir la brisure.

Intervenant 13:26

Donc il faut faire appel aux équations pour révéler la supercherie.

Intervenant 23:29

Absolument. Et plus précisément en calculant les pentes. C'est de la géométrie pure.

Intervenant 13:34

Je vous suis. Allons-y pour les pentes.

Intervenant 23:36

Prenons le grand rectangle global, celui de 5 par 13. Pour aller d'un bout à l'autre de sa prétendue diagonale, on doit monter de 5 unités et avancer de 13 unités.

Intervenant 13:46

Ok, la pente théorique est donc de 5 divisé par 13.

Intervenant 23:50

C'est ça. Mais maintenant, regardons les pièces géométriques qu'on a utilisées pour construire cette ligne.

Intervenant 13:56

Le triangle, par exemple.

Intervenant 23:57

Oui, le triangle, placé le long de cette diagonale, a lui une hauteur de 3 et une base de 8.

Intervenant 14:04

Donc sa propre pente est de 3 divisé par 8.

Intervenant 24:06

Exactement. Et c'est là que la magie s'effondre.

Intervenant 14:09

Attendez, je pose de calcul dans ma tête. 5 divisé par 13. Mentalement, ça donne environ 0,384. Oui. Et 3 divisé par 8, ça fait très exactement 0,375.

Intervenant 24:21

Voilà.

Intervenant 14:21

Mais ce n'est pas le même chiffre du tout. Il y a une différence.

Intervenant 24:24

Une différence d'1 sur 104. Pour être très précis, c'est infime.

Intervenant 14:29

Donc ça veut dire que les bords des différentes pièces ne s'alignent pas parfaitement.

Intervenant 24:33

Pas du tout. Ils ne forment pas une ligne continue, mais une ligne très légèrement brisée.

Intervenant 14:38

Au lieu d'avoir un joint parfait entre les pièces, on a en fait un espace vide.

Intervenant 24:42

Oui, une sorte d'interstice extrêmement fin.

Intervenant 14:46

Un parallélogramme très étiré tout le long de la diagonale.

Intervenant 24:48

Exactement. Et notre cerveau remplit automatiquement ce vide parce que la brisure est trop subtile pour notre rétine.

Intervenant 14:55

C'est bluffant. Et j'imagine que si l'on calcule l'aire de cette interstice

Intervenant 24:59

invisible... Devinez quoi ? On trouve très exactement une unité de surface.

Intervenant 15:04

Ah, la voilà notre fameuse unité manquante.

Intervenant 25:07

C'est elle. Le vide généré par ce mauvais alignement ajoute exactement la superficie qui manque.

Intervenant 15:13

Nos pièces font toujours 64 en réalité ?

Intervenant 25:15

Oui, mais la figure englobe une unité de vide, ce qui donne la parfaite illusion d'une ère de 65.

Intervenant 15:21

C'est diabolique de simplicité.

Intervenant 25:24

Et l'histoire ne s'arrête pas là. Parce que les dimensions de nos pièces…

Intervenant 15:27

3, 5, 8, 13…

Intervenant 25:30

Voilà, ces chiffres n'ont absolument pas été choisis au hasard.

Intervenant 15:34

Et ce sont les nombres de la suite de Fibonacci, n'est-ce pas ?

Intervenant 25:37

Absolument. Cette fameuse suite où chaque nombre est la somme des deux précédents.

Intervenant 15:41

Et quel est le rapport direct avec notre arnaque géométrique ?

Intervenant 25:44

Le cœur du moteur de cette illusion, c'est une règle mathématique fascinante qu'on appelle l'identité de Cassini.

Intervenant 15:51

L'identité de Cassini ? D'accord, qu'est-ce qu'elle dit cette loi ?

Intervenant 25:54

Elle stipule que si on prend n'importe quel nombre de la suite de Fibonacci et qu'on le met au carré.

Intervenant 16:00

Ok.

Intervenant 26:01

Puis qu'on multiplie le nombre qui le précède par celui qui le suit.

Intervenant 16:04

Oui. On a donc deux résultats.

Intervenant 26:06

Eh bien, la différence entre ces deux résultats sera toujours de 1. Exactement 1.

Intervenant 16:12

C'est super élégant. Essayons pour voir, pour que ce soit concret.

Intervenant 26:16

Allez-y.

Intervenant 16:17

Je prends le nombre 5 dans la suite. Au carré, ça fait 25. C'est

Intervenant 26:22

ça.

Intervenant 16:23

Ses voisins directs dans la suite sont 3 et 8.

Intervenant 26:26

Oui.

Intervenant 16:26

Et 3 x 8, ça fait 24. La différence entre 25 et 24, c'est bien 1.

Intervenant 26:32

Ça marche à tous les coups.

Intervenant 16:33

Si je prends 8. 8 au carré, 64.

Intervenant 26:36

Et ses voisins ?

Intervenant 16:38

Ses voisins sont 5 et 13. 5 x 13, 65. 65 – 64, encore une différence de 1.

Intervenant 26:46

Eh bien, c'est la beauté de l'identité de Cassini. Elle garantit qu'il existera toujours un écart d'exactement une unité.

Intervenant 16:53

Entre l'air du carré initial et l'air du rectangle final.

Intervenant 26:56

C'est ça.