Pourquoi 200 reste-t-il composé quand un chiffre change ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour à toutes et à tous.

Intervenant 10:04

Si on prend un bout de patier là tout de suite et qu'on écrit le nombre 200, ben soyons honnêtes, on a l'impression d'avoir devant nous le truc le plus banal du monde.

Intervenant 20:13

Ah ben c'est sûr que ça a l'air un peu lisse quoi. C'est un nombre bien rond, presque ennuyeux.

Intervenant 10:18

Ouais c'est ça, le nombre qu'on voit sur une étiquette de prix ou un panneau de limitation de vitesse. Mais voilà, bienvenue à toutes et à tous pour cette nouvelle immersion au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:28

Je suis ravie d'être là pour cette exploration.

Intervenant 10:31

Aujourd'hui, on célèbre à la sortie du 200e numéro du magazine. Et du coup, notre mission, c'est de passer ce fameux nombre 200 à la loupe.

Intervenant 20:39

Et franchement, il ne faut jamais, au grand jamais, se laisser endormir par l'apparence bien sage d'un nombre avec deux zéros à la fin.

Intervenant 10:46

Ah ouais ? Qu'est-ce qu'il a de si spécial ?

Intervenant 20:48

Derrière cette façade de normalité, 200 cache une véritable tragédie grecque arithmétique.

Intervenant 10:56

Une tragédie grecque, rien que ça ?

Intervenant 20:58

Et c'est pas tout. Il y a aussi des mystères structurels liés à l'architecture, un pont vers l'une des plus grandes énigmes non résolues des maths. Et pour couronner le tout, un record absolu.

Intervenant 11:10

Un record absolu incontesté. Bon, l'accroche est terrible. Je suis prêt à démonter le moteur pour voir ce qu'il y a sous le capot.

Intervenant 21:17

On va bien s'amuser. Je suis convaincue que ce nombre va vous surprendre.

Intervenant 11:20

Alors, commençons par la base. La carte d'identité de 200. De quoi il est fait quand on analyse un peu ses diviseurs, par exemple ?

Intervenant 21:27

L'inventaire de base est assez classique. Déjà, ce n'est pas un nombre premier.

Intervenant 11:32

Ben non, il est paire et il finit par zéro.

Intervenant 21:34

Voilà, c'est un nombre composé et il possède très exactement 12 diviseurs au total.

Intervenant 11:40

12 ? D'accord.

Intervenant 21:41

Ouais, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 et 200 lui-même.

Intervenant 11:47

Alors 12 diviseurs, ça fait une belle ramification, c'est clair. Mais de mémoire, par rapport à nos anciennes émissions, c'est pas un exploit en soi ?

Intervenant 21:55

Ah bah non, pas du tout.

Intervenant 11:56

Je veux dire, le nombre 60 qui est beaucoup plus petit, il a aussi 12 diviseurs, non ?

Intervenant 22:01

La comparaison est cruelle mais totalement juste. 200 rate complètement la marche des nombres dits hautement composés.

Intervenant 12:08

Dommage pour lui.

Intervenant 22:09

Mais en fait, si on laisse de côté le décompte brut pour s'intéresser à la somme de ses diviseurs, là, ça devient croustillant.

Intervenant 12:15

Ah, la somme de ses diviseurs, on additionne tout.

Intervenant 22:17

Exactement. Enfin, tous ses diviseurs stricts, c'est-à-dire qu'on additionne tout, sauf le nombre de 100 lui-même.

Intervenant 12:24

Ok, donc on s'arrête à 100.

Intervenant 22:25

C'est ça. Eh bien, la somme atteint 265. Et

Intervenant 12:29

265, c'est supérieur à 200. La somme des parties est plus grande que le tout.

Intervenant 22:33

Ouais, et en maths, on qualifie ça de nombre abondant.

Intervenant 12:37

Un nombre abondant ? C'est courant ça, l'abondance ?

Intervenant 22:40

Franchement, oui, c'est pas une anomalie rare. Il y a un résultat de 1998 qui prouve qu'un peu moins de 25% des entiers partagent cette propriété.

Intervenant 12:50

Un quart de la population numérique, quoi ? C'est banal. Moi, l'image que j'ai en tête, c'est comme si 200, c'était un acteur qui essayait désespérément de rentrer dans un club ultra vieillipé.

Intervenant 23:01

Le club des nombres parfaits.

Intervenant 13:03

Exactement. Le club le plus fermé du monde. Le videur à l'entrée, il a une règle stricte. La somme des diviseurs doit être exactement égale au nombre lui-même.

Intervenant 23:13

Eh oui, 200 se pointe, le videur calcule sa somme, il trouve 265 et lui dit non. Tu débordes, tu laisses se doire.

Intervenant 13:20

C'est triste. Mais ce club des nombres parfaits, il est vraiment si sélect que ça ?

Intervenant 23:25

Oh, c'est d'une rareté sidérante. On n'en connaît que 51 à ce jour.

Intervenant 13:30

Attends, 51 dont toute l'infinité des mathématiques ?

Intervenant 23:35

Juste 51. Et le plus grand d'entre eux a près de 50 millions de chiffres.

Intervenant 13:40

C'est absurde.

Intervenant 23:41

Ouais, un peu plus de 49 millions de chiffres, pour être précise. Et un détail fascinant, absolument tous les nombres parfaits connus sont pairs. On soupçonne qu'il n'y a aucun nombre parfait impair.

Intervenant 13:52

Ça reste un grand mystère,

Intervenant 23:54

ça. Un mystère total, ouais.

Intervenant 13:56

Donc notre pauvre 200 se fait refouler du club. Mais en creusant un peu, il trouve une porte déroulée vers un club alternatif, un peu moins prestigieux.

Intervenant 24:05

Le club des nombres semi-parfaits. Ou pseudo-parfaits.

Intervenant 14:08

C'est très malin comme concept. Au lieu d'utiliser tous ses diviseurs pour faire la somme, il en pioche juste quelques-uns pour bricoler une fausse perfection.

Intervenant 24:16

C'est exactement ça. Et pour 200, l'équation marche nickel. Si on prend juste 10, 40, 50 et 100 parmi ses diviseurs, on retombe pile sur 200.

Intervenant 14:24

Hop, il rentre dans le club semi-parfait. Mais bon, mathématiquement, ça vaut quoi ce club ?

Intervenant 24:30

Bah, ça vaut pas grand-chose, faut être honnête.

Intervenant 14:33

Ah ouais ? Pourquoi ?

Intervenant 24:34

Parce que les nombres semi-parfaits sont extrêmement banaux. Si on prend un nombre semi-parfait et qu'on le multiplie par n'importe quel entier, le résultat sera systématiquement semi-parfait lui aussi.

Intervenant 14:45

Ah bah oui, à cause de la distributivité. Si je multiplie le nombre total, je multiplie aussi ses parties de manière proportionnelle.

Intervenant 24:52

C'est imparable. Du coup, il y en a une infinité qu'on peut générer sans aucun effort.

Intervenant 14:57

Bon, donc jusqu'ici, 200 navigue dans des eaux très communes. Mais tu nous as promis une tragédie grecque tout à l'heure. J'y arrive, j'y arrive. La clé, elle se trouve dans sa structure multiplicative intime. Si on décompose 200 en ces briques fondamentales, c'est facteur premier ?