Heptadécagone à 17 côtés : exact ou approché ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Salut !

Intervenant 10:03

Et on a un sujet incroyable aujourd'hui.

Intervenant 20:06

Ah ouais, carrément ?

Intervenant 10:07

Alors, il faut s'imaginer une seconde enfermée dans une pièce.

Intervenant 20:11

D'accord.

Intervenant 10:11

Sur la table, une feuille blanche, un bout de bois sans aucune graduation et une pointe sèche pour faire des ronds.

Intervenant 20:18

Le matériel de base, quoi.

Intervenant 10:20

C'est ça. Et la mission pour sortir de cette pfesse, c'est de dessiner un polygone régulier parfait à 17 côtés.

Intervenant 20:26

Oula !

Intervenant 10:27

Et si on échoue, on y reste.

Intervenant 20:29

Super angoissant comme concept.

Intervenant 10:32

Ce jeu de survie intellectuelle n'est pas une fiction en fait. Pendant plus de 2000 ans, les plus grands génies de l'humanité s'y sont cassés les dents.

Intervenant 20:39

Jusqu'à ce qu'un ado trouve la faille.

Intervenant 10:41

Exactement, un adolescent de 19 ans. Le sujet de notre plongée d'aujourd'hui, c'est l'heptadécagone, cette espèce de figure géométrique mythique qui a vraiment poussé la pensée humaine dans ses retranchements.

Intervenant 20:53

Ouais, parce que derrière ce simple tracé à 17 côtés, il se cache une véritable révolution mathématique.

Intervenant 11:00

Carrément.

Intervenant 21:01

C'est l'histoire d'un mur intellectuel inenfranchissable, d'une tricherie de génie utilisant l'algèbre pour contourner la géométrie, et enfin d'un affrontement spectaculaire entre la pureté de la théorie et le pragmatisme du monde réel.

Intervenant 11:15

Bon, décortiquons tout ça.

Intervenant 21:16

Allons-y.

Intervenant 11:17

Parce que pour vraiment saisir pourquoi ce chiffre 17 a rendu fous les mathématiciens, il faut revenir aux règles du jeu.

Intervenant 21:23

Les fameuses règles.

Intervenant 11:25

Des règles fixées dans le marbre il y a plus de deux millénaires, par Euclide. La géométrie antique, elle repose sur un dogme tyrannique.

Intervenant 21:32

L'interdiction d'utiliser autre chose qu'un compas et une règle vierge.

Intervenant 11:35

Voilà, une règle non graduée. Mais soyons honnêtes une seconde, pourquoi cette obsession historique pour une règle sans marque visible ?

Intervenant 21:43

C'est vrai que ça paraît étrange.

Intervenant 11:45

Même dans l'Antiquité, on savait fabriquer des outils de mesure pour construire des temples ou des pyramides. S'imposer ça, c'est du pur masochisme intellectuel, non ?

Intervenant 21:53

Vraiment pas, non. En fait, c'est une question de philosophie fondamentale. Ah

Intervenant 11:57

bon ?

Intervenant 21:57

Ouais. Pour les Grecs anciens, la géométrie n'avait rien à voir avec l'artisanat ou l'ingénierie. Il s'agissait d'accéder à la vérité absolue.

Intervenant 12:07

D'accord, je vois l'idée.

Intervenant 22:08

Une ligne droite infinie ou un cercle parfait, ce sont des concepts immatériels. Ce sont les briques élémentaires de la logique de l'univers. Dès l'instant où l'on grave une encoche sur une règle pour mesurer genre 1 cm, on introduit l'impression humaine.

Intervenant 12:23

L'erreur

Intervenant 22:24

quoi. C'est ça. La vue baisse, le trait de couteau bave, le bois travaille avec l'humidité.

Intervenant 12:29

D'accord. Donc, l'idée, c'est qu'une graduation est une approximation empirique alors qu'une intersection entre deux lignes est une vérité absolue dictée par la logique pure.

Intervenant 22:39

Exactement. Le compas et la règle vierge garantissent qu'on ne fait que déduire étape par étape sans jamais faire confiance à nos sens faillibles.

Intervenant 12:48

Ouais, c'est super élégant comme approche.

Intervenant 22:50

Et avec ces deux seuls outils, Euclide était convaincu qu'on pouvait, en théorie, construire n'importe quelle proportion.

Intervenant 12:56

Sauf que... Spoiler.

Intervenant 22:58

Sauf que l'histoire a mis énormément de temps à prouver le contraire. La liste définitive des polygones qu'il est physiquement possible de dessiner de cette façon pure, elle n'a été verrouillée qu'au XIXe siècle.

Intervenant 13:09

Avec le fameux théorème de Gauss-Wansell.

Intervenant 23:12

C'est ça.

Intervenant 13:13

Moi je vois ça comme le videur à l'entrée de la boîte de nuit des polygones.

Intervenant 23:17

C'est une super métaphore.

Intervenant 13:18

Ce théorème, il fournit une formule magique qui dit de manière binaire oui ou non à la construction.

Intervenant 23:24

Ouais, la porte s'ouvre ou elle reste fermée.

Intervenant 13:26

Pour qu'un polygone à n côtés soit constructible, il faut que ce nombre n soit composé de puissance de 2 et de ce qu'on appelle des nombres de Fermat.

Intervenant 23:35

Les fameux nombres premiers de Fermat.

Intervenant 13:37

Voilà. On ne va pas faire un cours magistral sur la formule complète pour notre audience, mais l'idée c'est qu'on a le droit de construire des figures simples, comme le triangle équilatéral à trois côtés.

Intervenant 23:46

Bien sûr.

Intervenant 13:47

Ou le pentagone à cinq côtés.

Intervenant 23:49

Et l'astuce géométrique connue depuis toujours, c'est que dès qu'on a une figure de base, on peut facilement doubler son nombre de côtés.

Intervenant 13:56

En coupant en deux, c'est ça ?

Intervenant 23:57

Ouais, en traçant des médiatrices à la règle et au compas. On a un triangle, on coupe les angles, on obtient un hexagone à six côtés.

Intervenant 14:05

Puis à 12, à 24.

Intervenant 24:07

Exact. On a le pentagone à 5 côtés. On passe à 10, puis 20. On arrive ainsi à construire des polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 côtés.

Intervenant 14:21

Et bim ! Le mur se dresse juste après le chiffre 16.

Intervenant 24:25

Le fameux mur.

Intervenant 14:26

La théorie affirmait brutalement que le prochain sur la liste des candidats valides, le prochain nombre de fermats disponibles, c'était le chiffre 17.

Intervenant 24:34

Donc le polygone à 17 côtés.

Intervenant 14:37

Le fameux

Intervenant 24:37

heptadécagone. Il est sur la liste VIP. Le théorème dit qu'il a le droit d'entrer. Ce qui est fascinant ici, c'est l'abîme qui sépare l'existence théorique de la mise en pratique. Le théorème prouve, de façon irréfutable, que le polygone à 17 côtés appartient à la famille des figures constructibles. Le problème ? La démonstration mathématique ne donnait absolument aucun mode

Intervenant 15:04

d'emploi.

Intervenant 25:06

Elle certifiait que c'était possible, mais elle laissait le monde totalement aveugle sur la manière de manipuler concrètement ce bout de bois et cette pointe pour trouver les sommets sur le papier.

Intervenant 15:16

Donc la géométrie pure pataugée dans la semoule, quoi.

Intervenant 25:18

Complètement.

Intervenant 15:19

Et c'est là qu'intervient Karl Friedrich Gauss. En 1796, il n'a que 19 ans. Un gamin littéralement Au lieu de s'épuiser à tracer des cercles au hasard comme tout le monde, il fait un pas de côté monumental.