Quand une asymptote devient-elle une tangente ?

Intervenant 10:00

Bienvenue sur le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour à tous.

Intervenant 10:04

L'espace où on prend vraiment le temps d'explorer la beauté et les mystères des mathématiques, toujours avec une bonne dose de curiosité. Alors, petite mise en situation pour commencer. Imaginez un tableau de salle de classe, un prof de maths qui rature violemment un graphique avec son stylo rouge vif.

Intervenant 20:24

Ah oui, le fameux stylo rouge, on

Intervenant 10:26

le connaît bien. C'est ça. Et l'erreur de l'élève en question, avoir osé tracer une courbe qui vient frôler, et pire encore, qui vient toucher son asymptote. On a tous connu cette règle d'or assez néo-lycée, hein ?

Intervenant 20:38

Oh que oui !

Intervenant 10:39

Genre, une tangente, ça touche la courbe, mais une asymptote, c'est cette espèce de ligne invisible que la courbe approche jusqu'à la fin des temps, sans jamais, au grand jamais, la toucher.

Intervenant 20:51

C'est vraiment le grand drame de l'étude de fonction en classe de terminale, ça.

Intervenant 10:54

Grave.

Intervenant 20:54

Partient au monde du fini, avec un point de contact bien réel.

Intervenant 10:58

Ouais.

Intervenant 20:59

Tandis que l'autre, l'asymptote, c'est une promesse éternelle de rapprochement vers l'infini. Mathématiquement parlant, dans la géométrie classique qu'on apprend à l'école, c'est vraiment une frontière infranchissable.

Intervenant 11:10

Eh ben justement, l'objectif de notre exploration d'aujourd'hui, c'est de jeter un énorme pavé dans la mare.

Intervenant 21:15

Ah, j'aime quand on

Intervenant 11:17

fait ça. Et si cette prétendue erreur d'élève n'en était absolument pas une ? Et si, en changeant simplement notre façon de regarder l'espace, les asymptotes devenaient purement et simplement des tangentes ?

Intervenant 21:28

C'est une idée assez

Intervenant 11:30

radicale. Totalement. Pour introduire le truc, on peut penser à ma piste de décollage d'un aéroport. D'accord. Vu du sol, les bords de la piste sont deux lignes strictement parallèles. Elles ne se croisent pas.

Intervenant 21:42

Normal.

Intervenant 11:43

Mais pour le pilote d'avion qui prend de l'altitude et qui regarde vers l'horizon, ces deux lignes finissent par fusionner complètement au loin. En fait, pour comprendre l'infini, il faut littéralement prendre de la hauteur et changer de géométrie.

Intervenant 21:57

Exactement. Et ce qui est fascinant ici, c'est que pour percer ce mystère, et en fin de compte réhabiliter cette erreur d'élève, on doit abandonner le confort de notre bonne vielle feuille de papier en deux dimensions.

Intervenant 12:08

Adieu la feuille à carreaux.

Intervenant 22:10

Voilà. Le stratagème mathématique consiste à passer à ce qu'on appelle la géométrie projective.

Intervenant 12:16

Ok.

Intervenant 22:17

Pour faire simple, on va construire un modèle visuel en trois dimensions. C'est en regardant nos graphiques habituels à travers le prisme de la perspective spatiale que l'infini va soudainement se matérialiser sous nos yeux.

Intervenant 12:29

Et se comporter de façon tout à fait rationnelle du coup.

Intervenant 22:32

Tout à fait.

Intervenant 12:32

D'accord, mais il faut qu'on m'explique le mécanisme exact là. Parce qu'on ne va pas juste léviter au-dessus de notre feuille avec un jetpack imaginaire ?

Intervenant 22:41

Non, ça risque d'être compliqué.

Intervenant 12:42

C'est ça. Il faut qu'on installe un dispositif optique super rigoureux. Comment est-ce qu'on modélise ça mathématiquement ? Comment on place nos caméras en quelque sorte ?

Intervenant 22:51

Alors, imaginons un sol parfaitement plat, d'accord ? Un sol qui s'étend à l'infini.

Intervenant 12:56

Ouais.

Intervenant 22:57

C'est ce qu'on appelle le plan mathématique classique, avec ses axes X et Y. C'est là-dessus que sont tracées toutes les courbes qu'on étudie au lycée.

Intervenant 13:04

Le plan de base,

Intervenant 23:05

quoi. Voilà. Maintenant, on ajoute une troisième dimension, la verticale. Et on va placer un observateur dans cet espace.

Intervenant 13:12

Ok.

Intervenant 23:13

Cet observateur a ses yeux situés à une certaine hauteur, qu'on appellera « H ».

Intervenant 13:17

Donc, si je résume, on a un observateur debout sur notre graphique géant, à une hauteur

Intervenant 23:22

H. C'est exactement ça. Mais attention, il ne regarde pas directement ses pieds. On va placer devant lui une vitre parfaitement transparente.

Intervenant 13:31

Un écran vertical.

Intervenant 23:32

C'est ça. Situé à une distance d, toute l'idée du modèle, c'est d'étudier comment l'observateur voit les courbes dessinées sur le sol, mais à travers cette vitre.

Intervenant 13:42

Ah ok, c'est comme quand on essaye de décalquer un paysage sur une fenêtre en fait. On regarde un point sur le sol, notre regard trace une ligne droite invisible entre notre œil et ce point, et paf, cette ligne traverse la vitre en endroit hyper précis.

Intervenant 23:57

C'est rigoureusement le même principe. Mathématiquement parlant, on prend un point M sur le sol, le rayon visuel part de l'œil, il traverse l'écran transparent et va frapper ce fameux point M.

Intervenant 14:08

D'accord.

Intervenant 24:08

L'impact de ce regard sur la vitre nous donne un nouveau point. Et ce point, il a de nouvelles coordonnées qu'on va noter X indice E et Y indice E.

Intervenant 14:17

Le E c'est pour écran j'imagine ?

Intervenant 24:19

Tout juste. La géométrie projective, au fond c'est l'art de calculer comment les coordonnées du sol se transforment en ces coordonnées d'écran.

Intervenant 14:27

Et c'est des calculs compliqués ?

Intervenant 24:28

Pas tant que ça en fait. On utilise des mathématiques très basiques. Le bon vieux théorème de Thalès, avec des histoires de proportions et de triangles semblables.

Intervenant 14:36

Ah bah Thalès, ça rappelle des souvenirs. Et c'est en appliquant ces proportions que la notion d'horizon entre en jeu de façon mathématique, non ?

Intervenant 24:44

Exactement.

Intervenant 14:45

Parce que si notre observateur lève les yeux tout doucement, plus il regarde loin sur le sol, plus son regard se redresse.

Intervenant 24:52

C'est logique.

Intervenant 14:53

Et s'il regarde volant douanes en lui de façon totalement horizontale, son rayon visuel est parfaitement parallèle au sol. Il ne touchera jamais le sol, même à l'infini.

Intervenant 25:02

Et c'est le point fondamental de notre dispositif. Sur notre vitre transparente, ce regard horizontal correspond à une hauteur bien précise.

Intervenant 15:10

La hauteur H des yeux de l'observateur, c'est ça ?

Intervenant 25:13

Exact. Cette ligne horizontale tracée sur l'écran, d'équation Y indice E égale H, c'est la ligne d'horizon.

Intervenant 15:21

Ah d'accord.

Intervenant 25:22

Géométriquement, l'implication est vraiment vertigineuse. Cette simple ligne finie sur la vitre rassemble absolument tous les points qui, sur le sol, sont situés à l'infini. On a capturé l'infini, on l'a ramené à une distance finie et on l'a dessiné sous la forme d'une simple ligne droite.

Intervenant 15:37

Ok, décortiquons ça, parce qu'en épluchant les équations géométriques de ce modèle, il y a un détail complètement contre-intuitif qui saute aux yeux.

Intervenant 25:46

Ouais, lequel ?

Intervenant 15:47

C'est cette histoire de points situés mathématiquement derrière l'observateur.

Intervenant 25:51

Ah oui, bien sûr !

Intervenant 15:52

Bah oui, si la vitre est devant lui à une distance d, qu'est-ce qui se passe dans les équations pour les points du sol qui sont situés dans son dos ?

Intervenant 25:58

C'est-à-dire quand la coordonnée y sur le sol est inférieure à moins d ?

Intervenant 16:02

Exactement. Enfin, j'ai vraiment du mal à visualiser comment on peut projeter quelque chose qui est derrière nous, sur un écran qui est posé devant nous. C'est absurde physiquement.

Intervenant 26:12

C'est là que le modèle algébrique devient beaucoup plus puissant que la biologie humaine. Comment ça ? L'équation de projection trace une droite infinie entre le point sur le sol, l'écran et l'œil. Si le point sur le sol est très loin derrière l'observateur, il faut imaginer un rayon qui part de ce point, qui remonte en diagonale vers l'avant.

Intervenant 16:28

Ouais ?

Intervenant 26:29

Qui traverse carrément l'œil de l'observateur par l'arrière du crâne et qui continue sa route vers l'avant pour aller frapper la vitre tout en haut. Mais c'est totalement surnaturel ce truc. Mathématiquement, on dote notre observateur « Dieu derrière la tête ». C'est une bonne façon de le dire. Le rayon passe au travers de lui pour aller s'imprimer sur la partie supérieure de l'écran. C'est ouf !

Intervenant 16:48

C'est la beauté des maths. Les points qui fuient vers l'infini derrière le dos de l'observateur viennent se projeter sur la vitre au-dessus de la ligne d'horizon.

Intervenant 26:56

C'est fou. D'ailleurs, dans les logiciels de représentation graphique, on a pris l'habitude de dessiner ces points-là avec une couleur différente.

Intervenant 17:04

Souvent en vert, je crois.

Intervenant 27:05

Voilà, en vert, pour bien signifier qu'il s'agit d'une zone que l'œil humain physiologique ne pourrait jamais voir, mais que la géométrie algébrique, elle, calcule sans la moindre difficulté.