Séries de fonctions : une somme continue ici, discontinue là

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment un immense plaisir de vous retrouver aujourd'hui.

Intervenant 20:07

Bonjour.

Intervenant 10:07

Alors, pour commencer, j'aimerais que vous vous imaginiez en train de descendre un escalier.

Intervenant 20:13

D'accord.

Intervenant 10:13

Vous descendez marche par marche, inlassablement. La pente va indémiablement vers le bas, on est bien d'accord ?

Intervenant 20:20

Ouais, on visualise bien la descente.

Intervenant 10:22

Et pourtant, après avoir marché une éternité, vous regardez autour de vous et vous réalisez que vous êtes revenu exactement à votre point de départ, tout en haut.

Intervenant 20:32

Ah oui, le fameux paradoxe absolu, c'est très, très digne d'une lithographie des chaires, ça.

Intervenant 10:37

Exactement, voilà. Eh bien, aujourd'hui, on ne va pas parler d'art ou d'illusions d'optique, mais on va faire une plongée, une exploration passionnante tirée d'un article du magazine qui s'intitule Discontinuité et séries de fonctions.

Intervenant 20:50

Un très bel article, d'ailleurs.

Intervenant 10:52

N'est-ce pas ?

Intervenant 20:53

On va plonger dans une époque où les mathématiciens ont carrément donné naissance à des objets d'une logique implacable, mais qui en fait défient totalement notre bon sens visuel. Des véritables monstres mathématiques en gros.

Intervenant 11:07

Bonjour à toutes et à tous déjà. Et oui, votre analogie de l'escalier, elle est vraiment parfaite pour démarrer. Parce que c'est vrai que pour la plupart d'entre nous, l'idée qu'on se fait d'une fonction mathématique, ça vient de ce qu'on a appris au lycée quoi.

Intervenant 21:21

Bah oui, les courbes bien sages.

Intervenant 11:23

Voilà, on imagine une courbe qu'on trace avec un crayon, bien lisse, bien fluide, sans jamais lever la main de la feuille de papier en fait.

Intervenant 21:32

C'est ça. Mais le voyage d'aujourd'hui, ça va nous prouver que ces fonctions, on va dire sages, ce sont en réalité d'immenses exceptions. C'est bien ça, complètement. En fait, à partir du moment où, au XIXe siècle, les mathématiciens ont commencé à empiler des infinités de fonctions les unes sur les autres, Ils ont créé des structures aux propriétés mais complètement insolites.

Intervenant 11:54

Alors justement, commençons tout de suite par ce fameux escalier impossible dont je parlais. L'article ouvre sur une fonction qui est périodique. C'est-à-dire qu'elle répète le même motif à l'infini, un peu comme les saisons, non ?

Intervenant 22:07

C'est ça,

Intervenant 12:08

oui. Mais qui, de manière totalement paradoxale, passe son temps à décroître. Comment c'est mathématiquement possible de toujours descendre et de quand même revenir au début ?

Intervenant 22:20

Pour comprendre ce mécanisme, cette illusion en fait, il ne faut pas du tout regarder des équations compliquées, il faut juste visualiser la brique de base qu'ils ont utilisée.

Intervenant 12:28

D'accord.

Intervenant 22:28

Imaginez que l'on prenne un nombre, disons 2,7.

Intervenant 12:31

Ok.

Intervenant 22:32

Et on ne s'intéresse qu'à ce qu'il y a après la virgule.

Intervenant 12:35

Donc je jette le

Intervenant 22:36

2. Voilà, vous jetez le 2 et vous gardez uniquement le 0,7.

Intervenant 12:40

Ok, je

Intervenant 22:40

vois. C'est ce qu'on appelle en mathématiques la fonction partie fractionnaire.

Intervenant 12:44

D'accord, donc si je me représente ça dans ma tête, si j'avance sur l'axe horizontal de 0 jusqu'à 1, ma valeur elle monte doucement de 0 jusqu'à presque 1.

Intervenant 22:57

Tout à fait.

Intervenant 12:58

Et à l'instant très précis où j'arrive sur le chiffre 1 l'entier, bam, il n'y a plus de décimales du tout.

Intervenant 23:05

Puisque c'est un point zéro, ouais.

Intervenant 13:06

C'est ça, donc je retombe à zéro d'un coup sec. Donc visuellement, ça dessine une petite rampe inclinée vers le haut, suivie d'une grosse chute verticale.

Intervenant 23:14

Exactement. Et comme on ne garde toujours que les décimales, ce motif de petite rampe montant, il se répète entre chaque nombre entier.

Intervenant 13:21

Donc partout, la pente, elle monte.

Intervenant 23:23

Oui, mais sur chaque nombre entier exact, donc 1, 2, 3, il y a une cassure nette. La valeur, elle plonge brusquement.

Intervenant 13:32

Un saut négatif, en fait.

Intervenant 23:33

Voilà, un saut strictement négatif. Ça, c'est notre première étape. Mais c'est là que la magie de l'infini entre en jeu, si on veut.

Intervenant 13:41

Ah, parce qu'ils ne se sont pas arrêtés là ?

Intervenant 23:43

Ah ben non. Les mathématiciens, ils ne se sont pas arrêtés à une seule série de rampes. Ils en ont superposé une infinité.

Intervenant 13:50

Attendez, comment on peut superposer une infinité de ces rampes sans que le résultat n'explose vers l'infini ?

Intervenant 23:57

En modifiant la taille et la fréquence de ces briques à chaque nouvelle couche qu'on ajoute.

Intervenant 14:01

Ah d'accord !

Intervenant 24:02

La deuxième couche qu'on ajoute, on compresse les rampes pour qu'elles se répètent deux fois plus vite et on divise leur hauteur par deux.

Intervenant 14:08

Donc elles sont deux fois plus petites et deux fois plus serrées.

Intervenant 24:11

C'est ça. Et pour la troisième couche, on les fait se répéter encore plus vite et on écrase encore leur hauteur.

Intervenant 14:18

Et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Intervenant 24:19

Exactement. On additionne tout ça à l'infini ?

Intervenant 14:22

Wow. Alors si je visualise bien, on empile de grandes rampes lentes avec des rampes moyennes qui sont plus rapides, puis des petites rampes frénétiques et enfin des rampes microscopiques infiniment denses. C'est assez fascinant à imaginer. Mais quel est le résultat de toute cette superposition globale ?

Intervenant 24:42

Et bien c'est là que le cerveau humain décroche totalement de l'intuition visuelle. En additionnant tout ça, on obtient une fonction globale qui est parfaitement définie.

Intervenant 14:49

D'accord.

Intervenant 24:50

Si vous vous placez sur n'importe quel nombre irrationnel...

Intervenant 14:52

Donc comme pi ou la racine carrée de

Intervenant 24:56

2. Voilà ces nombres-là.