Série de Grandi : comment 1 − 1 + 1… mène-t-il à 1/2 ?

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un vrai plaisir de se retrouver aujourd'hui pour une nouvelle plongée mathématique.

Intervenant 20:08

Salut Evelyne. Oui, une exploration qui va nous emmener dans un problème qui a l'air tout simple mais qui a rendu fou pas mal de monde.

Intervenant 10:16

Exactement. Imaginons une addition infinie. 1 − 1 plus 1 moins 1 et on continue comme ça indéfiniment.

Intervenant 20:24

Sur le papier, ça a l'air inoffensif. Mais en fait, cette fameuse série de grandilis a carrément divisé les plus grands esprits pendant près de 300 ans.

Intervenant 10:31

C'est fou de se dire qu'une simple suite de 1 et de − 1 a pu servir de soi-disant preuve mathématique à la création du monde.

Intervenant 20:40

Ouais, c'est un peu le côté mystique de l'époque. Pour bien comprendre, il faut remonter au XVIIIe siècle. À ce moment-là, on veut absolument trouver une valeur précise à cette somme.

Intervenant 10:49

Et c'est là qu'intervient Luigi Guido Grandi en 1703, c'est ça ?

Intervenant 20:54

C'est ça. C'est un religieux et mathématicien italien. Il décide de traiter l'équation comme une série géométrique classique. Et sa conclusion, elle tombe comme un coup près. La somme vaut 1 demi.

Intervenant 11:06

Attends, pause. On additionne et on soustrait que des 1, donc on manipule uniquement des nombres entiers. Atterrir sur une fraction comme un demi, c'est super contre-intuitif.

Intervenant 21:15

Totalement. Mais heuilleur, un peu plus tard, il sort une manipulation algébrique assez léniale pour le prouver. On peut la poser rapidement. Disons qu'on appelle cette somme infinie grand S.

Intervenant 11:24

Ok. Donc S est égal à 1 − 1, plus 1, moins 1, etc.

Intervenant 21:30

Voilà. Et si tu mets de côté le tout premier 1 et que tu factorises tout le reste par moins 1,

Intervenant 11:34

Ah, je vois ! Les signes s'inversent, le moins 1 devient plus 1, le plus 1 devient moins 1, et on retombe pile sur moins S.

Intervenant 21:42

Sur la série départ, exactement. Du coup, l'équation, elle devient S égal 1 moins S.