Relations binaires : du dictionnaire au tore, pas à pas

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous. Vous écoutez le podcast du magazine Tangente. Ravie de vous retrouver pour cette nouvelle exploration. Bonjour,

Intervenant 20:08

ravi d'être là.

Intervenant 10:09

Alors, la Déclaration des droits de l'homme l'affirme de manière super solennelle. Les hommes naissent libres et égaux en droit. C'est un principe universel fondamental.

Intervenant 20:20

Tout à fait.

Intervenant 10:21

Mais comme le soulignait Coluche avec sa lucidité un peu tranchante, certains sont plus égaux que d'autres.

Intervenant 20:29

Ouais, la fameuse boutade.

Intervenant 10:31

Et au-delà de la blague, cette phrase soulève un vrai défi conceptuel pour les scientifiques. Parce que définir formellement ce qu'est une égalité ou concevoir une véritable hiérarchie, ça demande d'imposer des règles logiques d'une rigueur absolue.

Intervenant 20:46

C'est ça.

Intervenant 10:46

Du coup, comment on fait mathématiquement parlant ? Pour extraire de l'ordre à partir du chaos de notre monde. Aujourd'hui, on se base sur un article fascinant intitulé « Éblouissantes relations binaires » et on va essayer de comprendre comment les mathématiciens classent les choses.

Intervenant 21:04

C'est vraiment toute l'ambition des mathématiques de fournir une grammaire au réel pour le rendre intelligible. Si on prend un objet de notre quotidien, genre un simple dictionnaire, on mesure tout de suite la puissance de cette structuration.

Intervenant 11:20

Imaginez un instant un ouvrage de 2000 pages où les dizaines de milliers de mots seraient imprimés de manière totalement aléatoire.

Intervenant 21:29

Ah ouais, ce serait plus un outil, ce serait un labyrinthe complètement impraticable, quoi. Chercher une simple définition, ça prendrait des heures.

Intervenant 11:36

Des jours, même. Ouais, voilà. C'est vraiment l'ordre alphabétique qui donne sa fonction au dictionnel.

Intervenant 21:43

Exactement. Et cet ordre alphabétique, il repose sur une mécanique qui est extrêmement précise. Et c'est la même mécanique qui opère lors des Jeux olympiques, par exemple. Oui, on assiste à un immense processus de tri. Il y a des séries éliminatoires, des chronomètres comparés au millième de seconde près. Tout ça pour aboutir à un podium. On cherche continuellement à ordonner des performances. Mais pour qu'un classement soit valide, irréprochable, sans ambiguïté, il ne peut pas juste reposer sur notre intuition.

Intervenant 12:12

Bon, alors décortiquons tout ça. Si on observe ce qui relie le classement des mots dans un dictionnaire et celui des athlètes sur une piste, on voit bien qu'il y a un squelette logique commun. Comment l'algèbre définit ça, ce qu'on appelle formellement une relation d'ordre ?

Intervenant 22:27

Alors la définition mathématique, elle repose sur trois piliers, trois axiomes fondamentaux qu'une relation, on va l'appeler R, qu'elle doit respecter au sein d'un ensemble pour mériter le titre de relation d'ordre. Le premier de ces piliers, c'est la réflexivité.

Intervenant 12:47

La réflexivité.

Intervenant 22:48

Voilà. Ça signifie que pour n'importe quel élément X de notre ensemble, cet élément doit être en relation avec lui-même. X est en relation avec X.

Intervenant 12:59

En gros, c'est le principe du miroir, si on parle de taille, je suis au moins aussi grande que moi-même. Ça semble d'une évidence un peu triviale, non ?

Intervenant 23:09

C'est totalement trivial, oui, mais c'est indispensable pour construire l'édifice.

Intervenant 13:13

D'accord.

Intervenant 23:14

Le deuxième pilier, il est tout aussi intuitif, c'est la transitivité. Si un élément X est en relation avec Y et que ce même Y est en relation avec un troisième élément Z, la logique impose que X soit en relation avec Z. C'est la règle de la chaîne quoi.

Intervenant 13:31

C'est la logique implacable de la course. Si l'athlète A est plus rapide que le B et que le B est plus rapide que le C, on n'a même pas besoin de faire courir A contre C en fait.

Intervenant 23:41

On sait que A gagnera, exactement. Et enfin vient le troisième axiome, qui est vraiment la clé de voûte du système hiérarchique, c'est l'antisymétrie.

Intervenant 13:50

L'antisymétrie, d'accord.

Intervenant 23:52

Cette règle, elle dit que si on a X en relation avec Y, et que simultanément on a Y en relation avec X, alors la seule explication mathématiquement possible, c'est que X et Y sont un seul et unique élément.

Intervenant 14:05

Donc si l'athlète A a fait un temps inférieur ou égal au B, et que le B a fait un temps inférieur ou égal au A, c'est qu'ils ont franchi la ligne en même temps, ils sont ex aequo.

Intervenant 24:16

C'est exactement

Intervenant 14:17

ça. Mais attendez, il y a un truc qui me chiffonne là-dedans. L'inégalité large, le fameux inférieur ou égal qu'on voit à l'école primaire, ça valide parfaitement ces trois critères.

Intervenant 24:25

Absolument.

Intervenant 14:26

Mais si je prends l'inégalité stricte, le symbole strictement inférieur, dans l'absolu, c'est l'essence même d'un classement pur et dur. Il n'y a pas d'ambiguïté, il n'y a pas d'ex aequo, il y a un gagnant et un perdant. Et pourtant, j'ai l'impression que cette relation, elle fracasse vos règles dès le tout premier pilier en fait.

Intervenant 24:44

Ah mais c'est une excellente remarque, ça illustre vraiment bien la différence entre l'intuition de la vie courante et la taxonomie mathématique. Vous avez raison, l'inégalité stricte, elle s'effondre face aux critères de réflexivité.